ME623A Planejamento e Pesquisa

1. ME623APlanejamentoePesquisa

2. 4. ExperimentosemBlocos • BlocosCompletoseAleatorizados • Definição • AnáliseEstatística • Decomposiçãoda Soma de Quadrados • TabelaAnova • Estimação dos Parâmetros • Quadrados Latinos • Quadrados Greco-Latinos • BlocosBalanceadosIncompletos • DelineamentoCruzados

3. Blocos Completos Aleatorizados Completo indica que cada bloco contém todos os tratamentos

4. Exemplo da Ponteira • As observações para cada ponteira e placa de metal estão na Tabela abaixo • Vamos calcular as SS e testar se existe diferença entre as ponteiras na medição da dureza em placas de metal

5. Análise EstatísticaExemplo das Ponteiras Queremos testar se: • Calcular SST, SSA, SSBlocose SSE • Encontrar a tabela ANOVA Figura: Boxplot da dureza das placas de metais para cada ponteira

6. Tabela ANOVABlocos Completos AleatorizadosExemplo Ponteiras No R > dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE) > fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira) + factor(Placa), data=dados) > anova(fit) Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 14.438 0.0008713 *** factor(Placa) 3 0.825 0.275000 30.938 4.523e-05 *** Residuals 9 0.080 0.008889 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

7. Análise EstatísticaExemplo Ponteiras Gráfico da Distribuição F(3,9), α=0.05 Conclusão: Como F0 = 14.44 > 3.86 (ou p-valor < 0.01), rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem. Ou seja, o tipo de ponteira influencia na medida da dureza das placas de metal

8. Tabela ANOVAExperimento com Um FatorExemplo Ponteiras Não Rejeita H0 No R, desconsiderandooefeito dos blocos > dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE) > fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira), data=dados) > anova(fit) Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 1.7017 0.2196 Residuals 12 0.905 0.075417

9. Análise Estatística – Ignorando Efeito dos BlocosExemplo Ponteiras Gráfico da Distribuição F(3,12), p-valor=0.22 Conclusão: Como F0 = 1.70 < 3.49 (ou p-valor > 0.05), não temos evidência para rejeitar H0 e afirmar que as médias dos tratamentos diferem. Nesse caso, se ignorarmos o efeito dos blocos, tiramos conclusões erradas do experimento

10. Análise de Diagnóstico • Já vimos anteriormente a importância de checar se as suposições do modelo são satisfeitas • Isso é feito através da análise dos resíduos • No caso de experimentos com blocos, devemos verificar se existe algum problema com: • Normalidade • Variância dos erros não constante (em relação aos tratamentos ou blocos) • Interação entre tratamento e bloco

11. Análise de Diagnóstico • Interação: • Vergráfico de resíduosvsvaloresestimados • Se houvercurva: • Valoresbaixos(negativos) dos resíduos com valoresbaixos e altos ajustados; baixosparavaloresmedianosajustados. • Issopodeindicarintereção

12. Análise de ResíduosExemplo das Ponteiras • Alguma indicação de não-normalidade? E outliers? • Gráfico resíduos x ajustados: se houver uma tendência curvilínea, pode ser indício de interação entre tratamentos e blocos

13. Análise de ResíduosExemplo das Ponteiras É razoável assumir igualdade de variância tanto por tratamento quanto por bloco?

14. Estimação dos Parâmetros • No modelo com blocos completos aleatorizados os parâmetros são estimador por: • O valor ajustado é então calculado como:

15. Estimação dos Parâmetros pelo Método dos Mínimos Quadrados • Voltemos aos experimentos com um único fator, em que temos o modelo • Exercício:Osestimadores de mínimoquadrados (EMQ) de μe τisãovaloresqueminimizam a soma de quadrados dos erros emqueéovetor de parâmetros

16. Estimadores de Mínimos Quadrados • Os estimadores são então soluções das equações normais: quesimplificandoresultamem

17. Estimadores de Mínimos Quadrados • Note que a 1ª equação é a soma das demais, isto é, as equações normais não são linearmente independentes • Com isso, não temos uma solução única para os parâmetros do modelo • Mas lembram-se da restrição linear do modelo? Então é razoável aplicar o contraste • E assim obtemos a seguinte solução

18. Estimadores de Mínimos Quadrados • Exercício: De forma semelhante, mostre que no caso do experimentos com blocos completos, cujo modelo é os estimadores de mínimos quadrados são dados por

19. AlgunsAspectossobreosBlocos • O modelo linear queusamospara o desenho de blocosaleatorizadoécompletamenteadditivo • Ouseja, osblocos e ostratamentos tem um efeitoadditivonav.a.resposta

20. AlgunsAspectossobreosBlocos • Emalgumssituações o modeloaditivonãoéadequado. • Podehaverinterações entre osblocos e ostratamentos: lotes e fórmulasquímicas

21. AlgunsAspectossobreosBlocos • Podeocorrerquando a respostafoimedidanaescalaerrada • Podemosusarmodelosfatoriais

22. AlgunsAspectossobreosBlocos • Como escolher o tamanhoamostral? • Como escolherquantosblocos?

23. AlgunsAspectossobreosBlocos • Como escolher o tamanhoamostral? • Como escolherquantosblocos? • Note quequantomaisblocosaumenta o número de réplicas e o número de graus de liberdade do erro, fazendo o desenhomaissensitivo.

24. AlgunsAspectossobreosBlocos • Podemosescolheratravés das curvascaracterísticas (operacionais) usando

25. AlgunsAspectossobreosBlocos • Eficiência • Vamosestimar a eficiência do desenho com blocos contra semblocos • Uma maneiraéusar • onde e são as variâncias dos erros do modelobásico e com blocos, respect.

26. AlgunsAspectossobreosBlocos • Valoresfaltantes! • As vezesumaobservaçãoem um dos blocosestáfaltando • Quaispoderiamserosmotivos?

27. AlgunsAspectossobreosBlocos • Valoresfaltantes! • Introduz um problema: nãotemosmaistratamentosortogonaisaosblocos • Istoé, nemtodotratamentoocorreemtodobloco. • Aproximaçãoouanáliseexata(no futuro)

28. AlgunsAspectossobreosBlocos • Valoresfaltantes! • Suponhaque a resposta do tratamentoibloco j estáfaltando. Denote elapor x • Seja o total com a obs. faltante, o total do trat. com a obsfaltante o total do blococom a obsfaltante

29. AlgunsAspectossobreosBlocos • Valoresfaltantes! • Queremosestimar x talquetenhaumacontribuiçãomínima a soma dos quadrados dos erros. Jáque

30. AlgunsAspectossobreosBlocos • Valoresfaltantes! • Equivalenteà Ou Derivarem x!

31. AlgunsAspectossobreosBlocos • Valoresfaltantes! • Derivandoem x temos

32. Exercícios Exercícios do Montgomery, 6ª edição Capítulo 3: 3-1(c), 3-5, 3-6(b, c), 3-12(d, e, f), 3-16(a-f), 3-20(a, c), 3-25, 3-31, 3-32 Capítulo 4: 4-1, 4-5(b), 4-17, 4-18