ME623A Planejamento e Pesquisa

1. ME623APlanejamentoePesquisa

2. ExperimentosFatoriais 2k • Experimentos com kfatoresecadafator tem apenasdoisníveis • Caso especial dos experimentosfatoriais com kfatores • Os fatorespodem ser: • Quantitativos: doisvalores de temperatura, pressãoou tempo • Qualitativos: níveis “alto” e “baixo”, presençaeausência de um fator, duasmáquinas, doisoperadores, gênero • Um replicaçãocompletarequer: 2 x 2 x 2 x … x 2 = 2k observações

3. ExperimentosFatoriais 2k • Os fatoriais 2k sãomuitoúteis no primeirosestágiosdaexperimentação, quandomuitosfatorespodem ser de interesse (screening) • Permitetestarkfatores num fatorialcompleto com omenornúmero de rodadas • Assume-se que a respostaéaproximadamente linear entre osdoisníveis • Continuaremosassumindoque: • osfatoressãofixos • o experimentoécompletamentealeatorizado • as suposições de normalidadesãosatisfeitas

4. ExperimentosFatoriais 22 • Casomais simples do experimentosfatoriais 2k • Temosdoisfatores (k=2) com 2 níveiscada • Cadareplicaçãocompleta do experimentorequer 22=4 observações, ouseja, 4 tratamentos • Os níveis dos fatoressãodenominados: baixo (−) e alto (+)

5. Fatoriais 22 - RepresentaçãoGeométrica • Os quatrotratamentospodem ser representadosdaseguinte forma:

6. Fatoriais 22 - Exemplo • Pipoca de Microondas • Problema: grãosquesobramsemestourar

7. Exemplo – Pipoca no Microondas • Possíveisfatoresqueinfluenciamnaquantidade de grãosquesobrasemestourar • Marcadapipoca • Tempo no microondas • Potência • … • Vamosselecionardoisfatores com doisníveiscada: Marcadapipoca (1 e 2) Tempo no microondas (4 e 6 minutos) • Variávelresposta: peso (g) dos grãossemestourar • Repetiremosoexperimento 3 vezes (replicação)

8. Exemplo – Pipoca • Existem 4 tratamentos e 3 replicações, resultando num total de 12 observações • As 12 rodadas foram executadas em ordem completamente aleatória • Os dados estão na tabela abaixo

9. Exemplo – Pipoca • O modelo linear paraesseexperimentoaindapode ser escritoda forma usual: • E as SS podem ser calculadascomo antes • No entanto, veremos um maneiraalternativa de calcular as SSparaessetipo particular de modelo • Na notaçãousadaaqui, letrasmaiúsculasdenotamosfatores (A e B) e as letrasminúsculasdenotamostratamentos (a, b, ab)

10. EfeitosPrincipais e Interação • No desenhofatorial22 podemosdefinir o efeitomédio de um fatorcomo a mudançanarespostaproduzidopelamudança no nível do fator, tirando a médiasobreos outros níveis do outro fator.

11. EfeitosPrincipais e Interação • No desenhofatorial22 podemosdefinir o efeitomédio de um fatorcomo a mudançanarespostaproduzidopelamudança no nível do fator, tirando a médiasobreos outros níveis do outro fator. • O efeito de A no nívelbaixo de B é • O efeito de A no nível alto de B é

12. EfeitosPrincipais e Interação • O efeitomédio da interação AB é a diferençamédia entre o efeito de A no nível alto de B e o efeito de A no nívelbaixo de B

13. EfeitosPrincipaiseInteração • Efeitos principais • Interação

14. EfeitosPrincipaiseInteração • Efeitos principais • Interação

15. Exemplo - Pipoca • Calculamos os efeitos principais e a interação no exemplo da pipoca • Examinar a magnitude e direção dos efeitos para determinar quais variáveis são importantes

16. Exemplo - Pipoca • Calculamos os efeitos principais e a interação no exemplo da pipoca • A = 8.33, B = -5, AB = 1.67 • O efeito de A é positivo: aumentar A de “baixo” para “alto” aumenta o peso dos graus sem estourar • O contrário para B • A interação parece ser pequena em relação aos efeitos principais

17. Fatoriais22– Análise de Variância • Apesar que na maioria das vezes utilizaremos um software para fazer essa análise, aprenderemos alguns truques para fazer os cálculos manualmente • O contraste usado para estimar o efeito de A é: • Esse contraste é chamado de efeito total de A • Similarmente, temos os contrastes para B e AB: • Note que esses contrastes são ortogonais • Lembram como calcular a SS de contrates?

18. Fatoriais 22 – Análise de Variância • A SS dos contrastes é dada por: • Dessa forma, no exemplo da pipoca temos:

19. Fatoriais 22 – Análise de Variância • É conveniente escrever a seguinte tabela: • Por exemplo, para estimar o efeito de A, o contraste é:

20. Fatoriais 22 – Análise de Variância • A SST é calculada da mesma forma que antes: • E aSSE é calculada pela subtração: • No exemplo da pipoca

21. Exemplo – Pipoca • Tabela ANOVA: • Ambos efeitosprincipais (marcadapipocae tempo no microondas) sãosignificantes, istoé, influenciamnaquantidade de grãosqueficamsemestourar • E a interação?

22. Exemplo – Pipoca • Interação AB nãoésignificante

23. Regressão • Em um experimentofatorial22, éfácilexpressarosresultadosem um modelo de regressão • Para o exemplo da pipocatemos • Onde x1érepresenta o fator 1, assumindo -1 ou 1 e x2 representa o fator 2, tambémassumindo -1 ou 1

24. Regressão • Em um experimentofatorial22, éfácilexpressarosresultadosem um modelo de regressão • Para o exemplo da pipocatemos Lembrandoque A = Marcada pipoca (1 e 2) B = Tempo no microondas (4 e 6 minutos)

25. Regressão • Em um experimentofatorial22, éfácilexpressarosresultadosem um modelo de regressão • Para o exemplo da pipocatemos • Temos as relações

26. Regressão • Em um experimentofatorial22, éfácilexpressarosresultadosem um modelo de regressão • Para o exemplo da pipocatemos • No exemplo da Pipoca

27. Regressão • A regressãoajustadaéentão • Onde o interceptoé a médiageral

28. Fatoriais 23 • Experimentos com 3 fatores e 2 níveis cada 2 x 2 x 2 = 23 = 8 tratamentos • Representação geométrica

29. Fatoriais 23 • Tabela dos sinais para calcular os efeitos

30. Fatoriais 23 • Cálculo dos efeitos principais:

31. Fatoriais 23 • Cálculo das interações de 1ª ordem (dois a dois): • E a interacão ABC:

32. Fatoriais 23

33. Fatoriais 23 – Exemplo 6.1 do livro • Os dados estão na tabela abaixo

34. Exemplo 6.1 • Visualização dos dados no cubo: bc= 2138 abc = 1589 Exercício: Calcular todos os efeitos, as SS e obter a tabela ANOVA para esse exemplo c = 2089 ac= 1617 ab = 1277 b = 1234 Fator B a = 1319 (1) = 1154