Ecualizadores y Filtros Terminales Óptimos

1. Ecualizadores y Filtros Terminales Óptimos Verónica M. Miró Comunicaciones Eléctricas 2008

2. Corrección de la Distorsión - ECUALIZADORES OBJETIVO • Compensar ó igualar respuestas de amplitud y fase no ideales de un canal cuya función transferencia es Hc(f).

3. ECUALIZADORES • El ecualizador se coloca en cascada con el canal de manera que la respuesta en frecuencia del conjunto sea ideal, al menos hasta la máxima frecuencia de interés fx.

4. ECUALIZADORES • La forma de implementar el igualador es mediante un filtro llamado Filtro Transversal. • Los filtros transversales pueden ajustarse a cualquier requerimiento.

5. ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL • Ck : Multiplicadores analógicos de 4 cuadrantes de ganancia ajustable. Son valores reales • TS : Unidades de retardo idénticas

6. ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL • Caso particular: 2 unidades de retardo, 3 ganancias ajustables, ( N = 3 )

7. ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL • La salida es la suma de un conjunto de ecos de la entrada

8. ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL • También podemos escribir la ecuación anterior en su forma simétrica • La forma simétrica: presencia de un término central C0 (el mayor de todos los términos).

9. ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL • Podemos ver que la respuesta impulsiva es finita y discontinua como un muestreo. • HFT(f) será periódica, período fS = 1/TS • Será necesario colocar un filtro pasabajos para permitir que sólo el primer período pase.

10. ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL

11. ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL • Procedimiento de diseño para un ecualizador basado en un Filtro Transversal. • Afecta en forma lineal la fase (1º término) • Serie de Fourier en frecuencia con un número finito de términos. • Ck = C (kTS) • Vamos a pedir que HFT(f) = Hec(f), "IfI Ð fx

12. ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL • Generalizando para (N – 1) unidades de retardo y N unidades de ganancia • Los coeficientes Ck se podrán calcular como los coeficientes de una serie de Fourier

13. ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL • Queremos que Hec(f) que se hace cero para . fx = fS /2

14. ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL Obtención del N • N se estima, no hay un método determinístico • Despreciar las muestras menores al 5% de la máxima muestra de hec(t). • Procedimiento alternativo para la obtención de hec(t). Se adopta un valor de N y se calcula HFT(f). Si lo obtenido difiere mucho de Hec(f), se va aumentando la cantidad de muestras (se aumenta N) hasta tener una diferencia aceptable ó se cumpla la condición de error solicitada.

15. ECUALIZADORES - FILTRO TRANSVERSAL – Puesta a punto • Pedimos • Antitransformando

16. Filtro Transversal - Conclusiones • Filtro general, se puede obtener cualquier función transferencia H(f). Filtro flexible, variando sus ganancias. Mantener TS mismo ancho de banda. • Para uso en aplicaciones lineales del mismo ancho de banda de señal. • Generación de códigos de línea • Desventajas: No es sencillo variar los TS (a menos que sea un filtro digital con registros de desplazamiento que se pueden variar modificando el clock general). • El número de unidades de retardo es N-1 y se lo hace par, es decir, N es impar. Las ganancias Ck, trabajan de a pares los del mismo IkI , con respecto a C0 son iguales en magnitud y de igual ó distinto signo dependiendo si debemos compensar amplitud ó fase. • Se utiliza como ecualizadores adaptativos automáticos, ya que manteniendo fijo TS y N, se pueden variar los Ck (canal + igualador).

17. Filtro Transversal → hec(kTS) Dos maneras de obtener hec(k.TS) por métodos discretos: • Por respuesta impulsiva hc(kTS)→Hc(nf0) • Por muestreo de Hc(f) @ n.f0 Hec(nf0) → hec(kTS)

18. Filtro Transversal → hec(kTS) • Se hace un ensayo impulsivo del canal hc(t). • Muestreándola tendríamos hc(kTS) • Por aproximación a la antitransformada tendríamos Hc(n.f0) pasando a Hec(n.f0) • A través de la IDFT (Inverse Discrete Fourier Transform) hec(k.TS) • Obteniendo C(k.TS). • O sea hc(t) define a hec(t). Ambas están relacionadas por hc(t) * hec(t) = k. δ(t – td) Si suponemos una igualación hasta un cierto ancho de banda = k. sinc (t – td)

19. Filtro Transversal → hec(kTS) • Con N mediciones del canal en frecuencia, obtenemos Hc(nf0) y luego usando la ecuación siguiente a frecuencias discretas • Además tenemos fS = 1/TS, fS :período de HecS(nf0), podemos proponer fS = N.f0 T0: duración útil de hec(t) = período de hecS(kTS)

20. Filtros Terminales Óptimos

21. Filtros Terminales Óptimos Objetivos • Eliminar la distorsión lineal de amplitud producida por el canal • Maximizar la relación (S/N)d ; W: Ancho de Banda del canal

22. Filtros Terminales Óptimos • Canal ruidoso ó ruido no blanco • La respuesta en frecuencia del canal varía con el ancho de banda del mensaje. • Se diseñan filtros Transmisores y Receptores para mejorar la relación S/N0

23. Filtros Terminales Óptimos • La optimización requiere de una característica adicional: la potencia transmitida ST deberá ser la mínima posible. • Maximizaremos la relación

24. Filtros Terminales Óptimos • Se elige HR (f) y HT(f) para cumplir la ecuación • Se elige HR(f) para minimizar el ruido en esta etapa. Entonces: • La señal de salida no está distorsionada • Se maximiza la relación (S/N)d FILTROS TERMINALES ÓPTIMOS

25. Filtros Terminales Óptimos • Haciendo K = 1 x0(t) = x(t – td) • E{x02(t)} = E{x2(t)} = Sd = • Nd = E{n02(t)} = • ST = E{XT2(t)} =

26. Filtros Terminales Óptimos Para minimizar

27. Filtros Terminales Óptimos • Minimización: Adecuada elección de HR(f) • Desigualdad de Schwarz • Con V(f) y W(f) funciones complejas de f

28. Filtros Terminales Óptimos • Igualdad: V(f) = c. W(f), c=ctte., c > 0 se minimiza

29. Filtros Terminales Óptimos NOTA: Los límites de la integral podrán ser cambiados por +/- fX dado que GX(f) = 0 para valorespor encima de fX.

30. Filtros Terminales Óptimos Conclusiones • El filtro de recepción atenúa las frecuencias donde el ruido (Gn(f)) es grande y la señal es pequeña, el de transmisión lo inverso. • La fase de HR y HT son arbitrarias, pero deben cumplir la ecuación • Mejora significativa frente a un ecualizador cuando HC(f) y/ó GX(f), Gn(f) varían apreciablemente en el ancho de banda del mensaje