APLICACIONES DE LAS DERIVADAS (Tema 12)

1. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS(Tema 12)

2. MONOTONÍA y EXTREMOS RELATIVOS (pág 194 y 288) (pág 195 y 289)

3. MONOTONÍA x1 < x2 de (a,b) / i.e. >0

4. x1 < x2 de (a,b) i.e. < 0

5. En la práctica:Si f(x) es derivable en x = a (Las demostraciones se basan en las definiciones de derivada y crecimiento) • Pero, si f ‘ (a) = 0, no podemos asegurar nada sobre el crecimiento. Por ejemplo, en x = 0 la 1ª función es est. creciente, la 2ª est. dec. y la 3º ni lo uno ni lo otro.

6. De forma análoga: si f(x) es derivable en (a,b) • (a,b)

7. EXTREMOS RELATIVOS Son los puntos de la función más altos o más bajos de un entorno de ellos. • f(x) tiene un Máximo relativo en x = a si f(x) < f(a) • f(x) tiene un mínimo relativo en x = a si: f(x) > f(a)

8. Ejemplos: • f(x) = x – E(x), tiene m.r. en x = Z • f(x) = |x2 – 4|, tiene un M.r. en x = o Y dos m.r. en x = -2 y x = 2.

9. CONDICIÓN NECESARIA (obligatoria) para la existencia de ext. relativos • Si en x = a, f(x) presenta un M.r. o un m.r. f’ (a) = 0 ó f’(a). • Esto es, si f’(a)0 x = a no es M.r. ni m.r.

10. No es una condición suficiente. Por ejemplo: f(x) = x3, cumple que f’(0) = 0 y sin embargo en x = 0 no hay un extremo relativo.

11. CONDICIÓN SUFICIENTE para que extremos relativos • En x = a, f(x) presenta un M.r. si es derivable en un entorno reducido de x = a y • En x = a, f(x) presenta un m.r. si es derivable en un entorno reducido de x = a y - Signo f’(x) + a Comportamiento de f(x)

12. Ejemplos: monotonía y ext. relativos • f(x) = x3 – 6x2 • g(x) = x2/(x-1)2 • h(x) = |x| • i(x) = |x2 – 4|

13. RESUMEN: • Para estudiar la monotonía y/o los extremos relativos de una función estudiaremos el signo de f ‘(x), buscando los valores de x que no pertenecen al dominio, los que la anulan y aquellos en los que la función cambia de expresión. • Serán extremos relativos aquellos valores de x D(f(x)) en los que f ‘(x) cambie de signo al pasar por ellos.

14. CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN (Pág. 292) (Pág. 293)

15. CONCAVIDAD • f(x) es cóncava hacia arriba en x = a si en un entorno suyo los puntos están por encima de la recta tangente en (a,f(a)) • f(x) es cóncava hacia abajo en x = a si en un entorno suyo los puntos están por debajo de la recta tangente en (a,f(a))

16. De lo que se deduce: • f(x) es cóncava hacia • arriba en (a,b) si lo es • en todos sus puntos. • f(x) es cóncava hacia • abajo en (a,b) si lo es • en todos sus puntos

17. En la práctica: si f(x) es derivable dos veces en x = a • Pero, si f ‘’(a) = 0 no podemos asegurar nada sobre la concavidad (Las demostraciones se basan en las definiciones de derivada segunda y concavidad)

18. Se deduce:

19. PUNTOS DE INFLEXIÓN • f(x) tiene un punto de inflexión en x = a si en ese punto cambia la concavidad.

20. CONDICIÓN NECESARIA (obligatoria) para la de puntos de inflexión • Si en x = a, f(x) tiene un P. I. f’’(a) = 0, ò f’’(a) • Esto es, si f’’(a)0 en x = a no hay P.I. • CONDICIÓN SUFICIENTE para la de P.I. • En x = a, f(x) presenta un P.I. si es derivable en • un entorno reducido de x = a y + / - Signo f’’(x) - / + a Comportamiento de f(x)

21. RESUMEN: • Para estudiar la concavidad y/o los puntos de inflexión de una función estudiaremos el signo de f ‘’(x), buscando los valores de x que no pertenecen al dominio, los que la anulan y aquellos en los que la función cambia de expresión. • Serán puntos de inflexión aquellos valores de x D(f(x)) en los que f ‘’(x) cambie de signo al pasar por ellos.

22. Ejemplos: concavidad y P.I. • f(x) = x3 – 6x2 • r(x) = x2/(x-1)2 • h(x) = |x2 – 4|

23. EJERCICIOS: • Pág308: 2 a, b, c, f, i (mon, extremos, conc, P.I.) • Sea f(x) = , calcula a y b para que f(x) sea derivable. Analiza si f(x) tiene un punto de inflexión en x = 0. • Pág 284: 17 (f’’) • Pág 284: 18,pág 312: 56 gráficas de f y f’ • Pág 306: 2 (desigualdades). Pág. 311: 41, 42

24. TEOREMA DE CONTINUIDAD • TEOREMA DE WEIERSTRASS (pág 247) Si f(x) es continua en [a,b], tiene máximo y mínimo absolutos en dicho intervalo

25. Ejercicios: • Pág 255 y 256: 21, 22, 35 • Pág 257: 5

26. OPTIMIZACIÓN (Pág 290)

27. En muchas situaciones sociales, políticas, económicas… se plantean problemas en los que hay que conseguir máximos beneficios, mínimos costes, máxima velocidad…; i.e., situaciones en las que hay que optimizar algo que se puede expresar mediante una función. • Los casos más sencillos de optimizar (calcular el máximo o el mínimo de una función) son aquellos en los que la función depende de una variable; pero puede depender de más (dos a lo sumo en nuestro caso) • En la práctica: • Escribir la función a optimizar • Si depende de dos variables, relacionarlas de manera que la función dependa de una sola variable. La relación es una condición que da el problema ( a veces es intrínseca) • Obtener el máximo o mínimo según corresponda • Comprobar que la/s solución/es se adecúa/n al enunciado

28. EJEMPLOS: • Disponemos de 100 m. de alambre para vallar un campo rectangular. Calcula las dimensiones que debe tener dicho campo para que la superficie vallada sea máxima. * La función a optimizar es Área = f(x,y) = xy * Condición: 2x + 2y = 100 x + y = 50. Ponemos una incógnita en función de la otra y = 50 – x, y sustituimos en la función * Área = f(x) = x(50-x) = 50x –x2 * Calculamos el máximo de esta función: f’(x) = 50 – 2x = 0 x = 25 Signo f’(x) + 25 - f(x) * Por tanto en x = 25m e y = 50 – 25 = 25 m. se obtiene el máximo de la superficie.

29. De entre todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mide 50 m., encuentra el que tiene área máxima. *Función a optimizar: Área = A(x,y) = xy/2 * Condición: Teorema de Pitágoras: x2 + y2 = 502 * Despejamos una de las incógnitas y la sustituimos en la función a maximizar *Calculamos el máximo: A’(x) = 0 x=25 Signo A’(x) -50 - -25 + 25 - 50 A(x) * El máximo se produce en x = 25m e y = 25 m.

33. EJERCICIOS: • Pág 307: 2 (está hecho) • Pág 309: 13, 15, 16, 18, 21, • Autoevaluación: 3 • Halla las coordenadas del punto de f(x) = en el que la pendiente es mínima. • Una pista de atletismo consiste en dos semicírculos adosados a los lados opuestos de un rectángulo. Si el perímetro de la pista es de 400m, calcular las dimensiones de la misma que hacen máximo el área del rectángulo. • Dadas la parábola y la recta y = 9, hallar las dimensiones y el área del rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola. (Sol: Dimensiones del rectángulo: cuadrado de lado 6u. Área 36u2)

34. Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 €/ m2y para la base un material un 50 % más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo. (Sol: lado base 6 cm, altura 7’5 cm) • Se divide un alambre de 100 m. de longitud en dos segmentos de longitud x y 100 – x. Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas. ¿Para que valores de x dicha suma es mínima? (Sol: x = -600 + 900 m)

35. RECTA TANGENTE y RECTA NORMAL (Pág 262)

36. RECTA TANGENTE a f(x) en x = a • Para determinarla es necesario • conocer: • Alguna de las coordenadas del • punto de tangencia • ó • La pendiente de la recta en ese • punto RECTA NORMAL a f(x) en x = a

37. Ejemplos: • Pág 263: 2: Encuentra la ec. de la recta tangente a la curva y = xex en el punto de abscisa x = 1.

38. Pág 263: 3. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 – 3x + 1 que sea paralela al eje OX

39. Pág 280: 2b. Halla un punto de y = x2+x+5 en el cual la recta tangente es paralela a la recta y = 3x-8.

40. TEOREMA DE DERIVABILIDAD • TEOREMA DE LAGRANGE o DE LOS INCREMENTOS FINITOS (pág 297) Si f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b) → Geométricamente: existe un punto en (a,b) en el que la recta tangente es paralela a la que pasa por los puntos (a,f(a)), (b,f(b))

41. Ejemplos: • Pág 297: 14. Encuentra un punto de la parábola f(x) = 3x2 donde la tangente sea paralela a la cuerda que une los puntos A(0,0) y B(3,27)

42. EJERCICIOS: • Pág 282: 5 (recta tg y normal), 6, 8, 9, 10 • Pág 284: 21, 22 • Calcula las rectas tangentes y normales en los puntos de inflexión de la función f(x) = x3 – 3x2 + 2 • Dada la función f(x) = Calcula a y b para que f(x) sea derivable. Escribe la derivada de f(x). Calcula la recta tangente a f(x) que sea paralela a la recta y- 15x + 3 = 0. • Sea h(x) una función derivable en R, de la que se conoce que h (2) = 3 y que h’(2) = -1. Calcula la ecuación de la recta tangente a f(x) = en x = 2.

43. Ejemplos APLICACIONES del teorema • Pág297: 15. Estudia si se puede aplicar el T. de Lagrange a y = x2-2x+3 en [1,3] y halla el valor en el que se da el teorema.

44. Demostrar desigualdades en las que intervengan números o letras: Pág 307: 1. De una función f, se sabe que es derivable en R y que f’(x) 3 . Además f(1) = 1. ¿Hay suficientes datos para asegurar que f(21) 61? Razona la respuesta

45. Pág 311 43. Haciendo uso del T. de Lagrange demuestra que cosb - cosa b - a

46. Ejercicios: • Pág 311: 37 • Sea f una función continua y derivable tal que f (0) = 3. Calcula cuánto tiene que valer f (5) para asegurar que en [0, 5] existe un c tal que f ' (c) = 8.

47. CÁLCULO DE PARÁMETROS

48. En la práctica, • El ejercicio debe dar tantas condiciones como parámetros haya que calcular • Cada condición hay que expresarla en forma de ecuación • Los parámetros se calculan resolviendo el sistema resultante • Si el enunciado del ejercicio diera menos condiciones que parámetros o el sistema resultante fuera compatible indeterminado, unos parámetros dependerían de otros

49. EJEMPLOS: • Pág 308: 3, 4. Pág 311: 46 • Sea y = x3 + bx2 + mx + 1. Hallar b y m para que la curva tenga en (0,1) un punto de inflexión y la pendiente de la recta tangente en ese punto valga 1. • Sea f(x) = ax3 + bx. Hallar a y b para que f(x) pase por (-1,1) y en ese punto su tangente sea paralela a la recta 3x + y = 0. Para esos valores estudiar la monotonía, concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión. • Calcular a, b y c para que f(x) = x3 + ax2 + bx + c tenga un punto de derivada nula en (1,1) que no sea un extremo relativo.

50. TEOREMAS DE CONTINUIDAD • TEOREMA DE BOLZANO (pág 244) Si f(x) es continua en [a,b] y signo(f(a))≠ signo(f(b)) → Geométricamente: f(x) corta al menos una vez al eje X en el intervalo (a,b)