Aplicaciones de las Ecuaciones Cuadráticas

1. Aplicaciones de las Ecuaciones Cuadráticas

2. Ejemplo 1 (Jardinería): Un jardín rectangular es 60 por 80 pies. Parte del jardín ha sido removido para instalar una acera de ancho uniforme alrededor de el. El área del nuevo jardín es ½ del viejo jardín. Indique el ancho de la acera.

3. Como no sabemos el ancho de la acera, llamamos a su ancho x. Ejemplo 1 (Jardinería) … • Planteamiento del problema. x x Jardín viejo x x Acera 60 pies 60 – 2x Jardín nuevo 80 – 2x x x x x 80 pies

4. Ejemplo 1 (Jardinería) … • Traduzca en una ecuación. El área de un rectángulo es largo por ancho. Área del jardín viejo =60 ∙ 80; Área del nuevo jardín = (60 - 2x)(80 – 2x) Debido a que el área del nuevo jardín es ½ del viejo jardín, tenemos: (60 – 2x)(80 – 2x) = ½ ∙ 60 ∙ 80

5. Solucionar la ecuación: Multiplicando en ambos miembros. Agrupando y transponiendo términos. Dividiendo entre 4 Factorizando Usando el principio de cero como producto

6. Comprobación: Sustituimos en la ecuación original. x = 60 no puede ser porque el ancho y largo dan negativo y no puede ser negativo. Solución verdadera porque el ancho y largo dan números positivos 5. Respuesta: El ancho de la acera es de 10 pies.

7. Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) : Una escalera se reclina contra un edificio, como se indica en el dibujo. La escalera mide 20 pies de largo. La altura donde se apoya la escalera es 4 pies mayor que la distancia (d) de la escalera al edificio. Encuentre la distancia d y la altura donde se apoya la escalera.

8. 20 ft Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) … • Planteamiento del problema. Primero hacemos un dibujo y lo identificamos. Queremos encontrar d y d + 4. 20 ft d + 4 d

9. Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) … • Traduzca en una ecuación. Usando el Teorema de Pitágoras, dado que se forma un triángulo rectángulo en la figura, tenemos:

10. Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) … • Resolver la ecuación. Elevando al cuadrando. Agrupando y transponiendo términos. Dividiendo por 2. Factorizando. Usando los productos nulos.

11. Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) … • Resultado final. La distancia d es 12 pies y la altura a la que se apoya la escalera es 12 + 4 (d + 4), o 16 pies.

12. Ejemplo 3 (localización de la Escalera) . Suponga que la escalera en el Ejemplo 2 tiene una longitud de 10 ft. Encuentre la distancia d y la distancia d + 4. Usando el mismo razonamiento del problema anterior (Ejemplo 2), traducimos el problema a la ecuación 102 = d2 + (d + 4)2.

13. Usando la fórmula cuadrática: Ejemplo 3 (localización de la Escalera) … Elevando al cuadrando Agrupando términos. Multiplicando por ½, o dividiendo entre 2

14. Ejemplo 3 (localización de la Escalera) … Respuesta: d = 4.782 pies. d + 4 = 8.782 pies.

15. Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente) : • La temperatura T, a la cual hierve el agua, se relaciona con la altitud h, en metros sobre el nivel del mar, mediante la fórmula: • Válida entre . • La elevación aproximada del Monte Everest es de 8840, ¿cuál será la temperatura a la cual hierve el agua en la cima de esa montaña ?

16. Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente) • 1.- Obtención de la ecuación: • Se sustituye h = 8840 en la fórmula, esto es: • Ahora se sustituye temporalmente , resultando: • Que también se puede representar como: • Dividiendo entre 10, tenemos:

17. Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente) • 2.- Solución de la ecuación: • Se aplica la ecuación cuadrática con: a = 58, b = 100, c = -884.

18. Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente) • 3.- Solución del problema: • Se sustituyen los resultados en la expresión x = 100 – T, y obtenemos: • 100 – T = 3.135 y 100 – T = -4.86 • Por lo que T toma los Valores: T = 96.86, y T = -104.86 • Examinando con detenimiento el problema, en el enunciado se señala que la fórmula es válida para 95  T  100, por lo que la solución T = -104.86 no es válida y se debe desechar. • En conclusión, la temperatura a la que hierve el agua en la cima de monte Everest es: • T = 96.86 °C.