Mérnöki Fizika II. 4.-5. előadás

1. PTE-PMMK Környezetmérnöki Szak Mérnöki Fizika II.4.-5. előadás Anyagi pont kinetikája Dittrich Ernő egyetemi adjunktus dittrich@witch.pmmf.hu

2. Anyagi pont kinetikája - alapfogalmak • A kinetika a test mozgásállapotának megváltozásának okait tárgyalja • Tömeg: jele m mértékegysége [kg] • Erő: jele F mértékegysége [N] • Newton második axiómája: Ahol R a testre ható erők eredője • Adott pályán vagy derékszögű koordináta rendszerben vizsgálva:

3. Kinetikai egyensúly • D’Alembert elv: Az (ma) mennyiséget D’Alembert tehetetlenségi erőnek nevezte el. A D’Alembert segítségével a mozgó testekre ható erők egyensúlya magyarázható. Az így fennálló egyensúly kinetikai egyensúlynak nevezzük. • A kinetika két alapfeladata: • Ismert mozgás létrehozásához szükséges erő meghatározása (példa) • Adott erők hatására létrejövő mozgás meghatározása (példa)

4. A mozgásmennyiség változásának tétele (impulzus tétel) és a mozgásmennyiség megmaradásának tétele • A mozgásmennyiség változásának tétele (impulzus tétel): A tömegre ható erő adott időtartamra vett határozott integrálja megegyezik a mozgásmennyiség adott időtartam alatti megváltozásával. Az egyenlet jobb oldalán található kifejezést az erő impulzusának [Ns] nevezzük. (példa) • A mozgásmennyiség megmaradásának tétele: Ha egy anyagi pontrendszerre külső erő nem hat, a rendszer mozgásmennyisége állandó. (példa)

5. A perdület változásának tétele - alapfogalmak • Egy m tömegű anyagi pont mozgásmennyiségének és helyzetvektorának vektoriális szorzatát perdületnek vagy más néven kinetikai nyomatéknak nevezzük. • Az m tömegű anyagi pont helyzetvektorának és a rá ható erők eredőjének vektoriális szorzatát az anyagi pontra ható nyomatékösszegnek nevezzük. Levezethető, hogy ez egyenlő a perdület idő szerinti deriváltjával.

6. A perdület változásának tétele • Perdület változásának tétele: egy m tömegű anyagi pontra ható erők eredőjének egy fix pontra vonatkozó nyomatékösszegének két pont közti idő szerinti integrálja egyenlő az anyagi pont ugyanarra a pontra vonatkozó perdületének két időpont közötti megváltozásával. • Ha az anyagi pontra ható erők eredőjének hatásvonala átmegy a fix ponton (nyomatékösszeg értéke: 0), akkor az anyagi pont centrális erőtérben mozog. (pl. gravitációs erőtérben szabadon esés esete). Igazolható, hogy amennyiben az anyagi pont centrális erőtérben mozog, a mozgása állandó perdületű síkmozgás lesz. (példa)

7. Az erő munkája I. • A munka az F erő hatására történő elemi lemozdulások kezdeti és végállapotok közötti helyzetvektor szerinti határozott integrálja: • A munka jele L, mértékegysége 1 Nm=1 J (Joule) • Egyenes vonalú mozgás esetén az elmozdulás irányú erőkomponenst vesszük figyelembe a munka számításánál:

8. Az erő munkája I. – rugón végzett munka • Egyik végén rögzített rugó másik végére anyagi pontot helyezünk. Az anyagi pont mozgatásával a kialakuló rugóerő arányos az elmozdulással (F=-k*x). Így a rugó két állása között végzett munka: • Amennyiben a kezdeti állapot kinyúlás mentes állapot volt (x1=0):

9. A mozgási energia változásának tétele • Az anyagi pont mozgási energiája [Nm]: • A mozgási energia változásának tétele: az m tömegű anyagi pont mozgási energiájának valamely útszakaszon történő megváltozása egyenlő a pontra ható erők által ugyanazon útszakaszon végzett munkával.

10. A teljesítmény • Az átlagos teljesítmény: adott idő alatt végzett munka (ΔL/Δt). Ennek határátmenetét képezve a teljesítmény összefüggését kapjuk: • A levezetésből jól látható, hogy a teljesítmény adott időpontban egyenlő a pont sebességvektorának és a pontra ható erő vektorának skaláris szorzatával. • A teljesítmény mértékegysége a watt [W]=[J/s]=[Nm/s] (példa)

11. Potenciális energia, a mechanikai energia megmaradásának törvénye • A helyzeti potenciál és a potenciális (helyzeti) energiát már előző félévben definiáltuk, mely szerint az anyagi pont helyzeti energiája gravitációs erőtérben: • A potenciálos erőtérben végzett munka a kezdeti és végállapothoz tartozó helyzeti energiák különbségével egyenlő: • Mechanikai energia megmaradásának tétele: a potenciális térben lévő anyagi pont kinetikai és helyzeti energiájának összege állandó: (példa)

12. Járművek mozgása • Menetellenállás: a jármű mozgása során a belső súrlódásból, a gördülési ellenállásból és a közegellenállásból összeadód ellenállás érték: Ahol µ [N/N] az ún. menet ellenállási tényező, melyet jelen tárgy kapcsán közelítőleg állandónak tekintünk. Mivel értéke általában elég kicsi, ezért praktikussági szempontok miatt a nagyított értékét fogjuk használni, melynek a mértékegysége [N/kN].

13. Kis hajlásszögű lejtőn való mozgás • Kis hajlásszögű lejtő esetében bizonyos közelítésekkel egyszerűsíthetőek a számítások: • Kis hajlásszög esetén a sinα≈tgα közelítés is alkalmazható. Az ezrelék bevezetésével e=1000*tg α[‰] a súlyerő lejtő irányú komponense: (Példa)

14. Köszönöm a figyelmet!