Otočení roviny do průmětny

1. Otočení roviny do průmětny Při práci s geometrickými útvary v rovině lze s výhodou užít toho, že geometrické útvary ležící v rovině rovnoběžné nebo splývající s průmětnou jsou shodné s pravoúhlými průměty těchto útvarů do průmětny. Otočíme-li rovinu obecně položenou vzhledem k průmětně kolem její stopy nebo kolem její hlavní přímky do polohy splývající nebo rovnoběžné s průmětnou, můžeme této shodnosti využít.

2. Otočení bodu roviny kolem půdorysné stopy do půdorysny Bod A roviny  se při otáčenípohybuje po kružnici k v rovině kolmé na půdorysnou stopu p1, v tzv. rovině otáčení bodu A. Střed S1 kružnice k, nebo-li střed otáčení bodu A, je průsečík roviny otáčení s půdorysnou stopou p1, tj. s osou otáčení. Poloměr kružnice k, tzv. poloměr otáčenírbodu A, je přepona pravoúhlého trojúhelníka, jehož odvěsny jsou S1A1 a zA. Otočená poloha A0 bodu A je průsečík kružnice k s půdorysnou.

3. Poznámka: Analogická situace platí pro otáčení bodu do nárysny. Přitom při otáčení do nárysny je osou otáčení nárysná stopa n2 roviny . Středem otáčení S bodu A je průsečík osy otáčení s přímkou, která prochází bodem A a je kolmá k ose otáčení. Poloměrem otáčení je skutečná velikost úsečky SA, kterou tentokráte získáme sklopením promítacího trojúhelníku ASA2do nárysny.

4. Rovinná osová afinita je zobrazení s následujícími vlastnostmi: - spojnice vzorů a obrazů v tomto zobrazení jsou navzájem rovnoběžné, tj. např. A0A1 // B0B1; - body ležící na ose otáčení jsou samodružné, tzn. při otáčení zůstávají neměnné; - zachovává se incidence bodů, tzn. leží-li bod A1 na přímce a1, pak musí ležet bod A0 na přímce a0; - odpovídající si přímky se buď protínají na ose otáčení, nebo jsou s ní rovnoběžné; - rovnoběžným přímkám a // a´ odpovídají rovnoběžné přímky a0 // a0´ ; - dělící poměr bodu C vzhledem k bodům A, B je týž jako dělící poměr bodu C0 k bodům A0, B0. Speciálně střed úsečky se zobrazí na střed úsečky.

5. Otočení dalších bodů a přímek roviny kolem půdorysné stopy do půdorysny Další body a přímky roviny  otáčíme pomocí tzv. osové afinity. Přičemž osová afinita je dána osou afinity, kterou je v našem případě půdorysná stopa p1 roviny  , a dvojicí bodů A0A1. Roviny otáčení bodů jsou navzájem rovnoběžné, proto platí např. A0A1 // B0B1. Průsečíky přímek spůdorysnou stopou p1 jsou samodružné body otáčení (např. body PA, PB na obrázku).

6. Příklad 20: V rovině  (68, 76, 44) sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF, jsou-li dány jeho vrcholy A[38, 0, ?] a B[31, 28, ?]. Poznámka: Základnici volte 120 mm od spodního okraje listu papíru a počátek 75 mm od levého okraje listu papíru.

7. Příklad 21: Sestrojte průměty pravidelného trojbokého hranolu ABCA´B´C´, je-li dáno:rovina (49, 72, 43), v níž leží trojúhelník ABC s vrcholem A[23, -34, ?], a bod B´[60, 43, 66] horní podstavy hranolu. Přitom rýsujte tak, aby xA xC. Poznámka: Základnici volte 140 mm od spodního okraje listu papíru a počátek 105 mm od levého okraje listu papíru. Návod řešení: Sestrojíme 1) přímku b kolmou k rovině  a procházející bodem B´; 2) bod B jako průsečík přímky b s rovinou ; 3) trojúhelník ABC ve skutečné velikosti, tj. otočíme body A, B roviny  kolem půdo- rysné stopy p1 do půdorysny; 4) první průmět A1B1C1 trojúhelníka ABC pomocí osové afinity; 5) druhý průmět A2B2C2 trojúhelníka ABC pomocí dohledání druhých průmětů vrcholů trojúhelníka ABC v rovině  ; 6) vrcholy A´, C´ tak, že BB´ // AA´ // CC´ a současně | BB´| = | AA´| = | CC´| .

9. Sklopení promítací roviny do průmětny Zvláštním případem otáčení roviny do průmětny je sklápění promítací roviny do průmětny nebo do polohy rovnoběžné s průmětnou. Je to otáčení o pravý úhel. Poloměry otáčení bodů jsou v tomto případě z-ové (x- ové) souřadnice při sklápění do půdorysny (nárysny) nebo rozdíly z-ových (x-ových) souřadnic otáčených bodů a hlavních přímek, kolem kterých je otáčíme, do polohy rovnoběžné s půdorysnou (nárysnou). Sklápění roviny jsme již užili např. při konstrukci skutečné velikosti úsečky.

10. Příklad 22: Sestrojte průměty pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV s podstavou ABCD ležící v nárysně promítací rovině  (+∞, -69, 48), je-li dáno:bod A[24, -29, ?], střed S[47, 0, ?] podstavy ABCD a výška jehlanu v = 94. Poznámka: Sestrojte řešení pouze pro yV<yS. Základnici volte 100 mm od spodního okraje papíru, nad ní ponechte 150 mm volného místa. Počátek volte 110 mm od levého okraje listu papíru.

11. Zobrazení kružnice v rovině  Předpokládejme, že máme dánu kružnici k (S, r), pak sdružené průměty kružnice k v Mongeově promítání se liší v závislostina tom, v jaké rovině daná kružnice k leží. Rozlišujeme 3 případy: 1. Kružnice k leží v rovině, která je rovnoběžná s jednou z průměten Je-li rovina  rovnoběžná s půdorysnou (nárysnou), pak prvním průmětem kružnice k je kružnice k1 (S1, r) (úsečka k2 délky 2r rovnoběžná se základnicí) a druhým průmětem kružnice k je úsečka k1 délky 2r rovnoběžná se základnicí (kružnice k2 (S2, r)).

12. 2. Kružnice k leží v rovině, která je kolmá k průmětně Je-li rovina  kolmá k půdorysně, pak prvním průmětem k1 kružnice k je úsečka C1D1 délky 2r ležící na půdorysné stopě p1 roviny . Střed kružnice k se zobrazído středu S1 úsečky C1D1. Druhým průmě- tem k2 kružnice k je elipsa se středem v bodě S2, s hlavní poloosou A2S2 velikosti poloměru kružnice r rovnoběž- nou s nárysnou stopou n2roviny  a s vedlejší poloosou C2S2 rovnoběžnou se základnicí.

13. 3. Kružnice k leží v rovině, která je v obecné poloze vzhledem k průmětnám Je-li rovina  obecnou rovinou, pak se kružnice k zobrazí v obou průmětech jako elipsa. Oba průměty elipsy však nejsou shodné. Liší se ve velikostech vedlejších poloos. V prvním průmětu k1 kružnice k se skutečná délka poloměru r kružnice promítá do hlavní poloosy A1S1 elipsy ležící na prvním průmětu h1S hlavní Přímky roviny  procházející středem S1 elipsy. Na vedlejší poloose C1S1 Elipsy se poloměr kružnice zkracuje na velikost b vedlejší poloosy elipsy. Tu sestrojíme pomocí tzv. rozdílové proužkové konstrukce (viz níže), anebo pomocí osové afinity.

14. Analogická situace platí i pro druhý průmět k2 kružnice k s tím rozdílem, že poloměr r kružnice se nezkrácený promítá do hlavní poloosy E2S2 elipsy ležící na druhém průmětu f2 hlavní přímky roviny  procházející středem S2 elipsy. Na vedlejší poloose G2S2 elipsy se poloměr kružnice opět zkracuje na velikost b´ vedlejší poloosy elipsy. Tu sestrojíme stejně jako v půdorysu, tj. pomocí rozdílové proužkové konstrukce.

15. Rozdílová proužková konstrukce elipsy Rozdílové proužkové konstrukce užíváme v případě, kdy je elipsa určena hlavní osou AB a bodem elipsy M. Velikost b vedlejší poloosy CS elipsy sestrojíme následovně. Sestrojíme kružnici se středem v bodě M a s poloměrem velikosti a hlavní poloosy elipsy. Tam, kde nám kružnice protne vedlejší osu CD elipsy, získáváme pomocný bod 1. Sestrojíme úsečku 1M. Průsečík úsečky 1M s hlavní osou AB je bod 2. Délka úsečky 2M je rovna velikosti b vedlejší poloosy elipsy.

16. Příklad 23: Sestrojte průměty kružnice k, která je dána středem S[36, 0, 30] a tečnou t ≡ PL, kde P[18, 80, 0] a L[10, 36, 30] . Poznámka: Základnici volte uprostřed listu papíru a počátek 75 mm od levého okraje listu papíru.

17. Viditelnost v Mongeově promítání K názornějším představám o skutečném tvaru a poloze tělesa v prostoru, rozlišujeme při jeho zobrazování v Mongeově promítání jeho viditelné (plná čára) a neviditelné (čárkovaná čára) hrany. Problém viditelnosti je v Mongeově promítání řešen zvlášť v prvním průmětu a zvlášť ve druhém průmětu. Viditelnost v prvním průmětu odpovídá situaci, kdy pozorovatel hledí na těleso ve směru „shora dolů.“ Tzn., leží-li dva body A a B na stejné promítací přímce, která je kolmá k půdorysně, můžeme vidět pouze „vyšší“ bod A. Bod B je schován pod bodem A (zA< zB).

18. Viditelnost ve druhém průmětu odpovídá situaci, kdy pozorovatel stojí před tělesem. Tzn., že leží-li dva body C a D na téže promítací přímce, která je kolmá k nárysně, uvidíme „bližší“ bod D. „Vzdálenější“ bod C je schován za bodem D (xC<xD).

19.  Daniela Bímová Obrázky v programu Cabri 3D byly sestrojeny za podpory projektu FRVŠ 400/2012