Stereometrie

1. Stereometrie Řezy hranolu I VY_32_INOVACE_M3r0108 Mgr. Jakub Němec

2. Řez tělesa rovinou • Řezem tělesa rozumíme průnik tělesa a roviny. • Získáme tak rovinný útvar, jehož hranice jsou tvořeny průnikem hranice tělesa (u hranolů a jehlanů tvoří hranice tělesa jeho stěny) a rovinou řezu. • Hlavním úkolem při hledání řezu hranolu je najít průsečnice zadané roviny s rovinami jednotlivých stěn hranolu.

3. Pravidla pro sestrojení řezu • Pro sestrojení řezu tělesa máme několik vět, které nám jej pomohou jednoznačně určit (všechny již známe z předchozích lekcí): • Pokud leží dva různé body v rovině, leží v této rovině i přímka, která je těmito body určena. • Dvě různé rovnoběžné roviny protíná třetí různoběžná rovina ve dvou navzájem rovnoběžných přímkách. • Pokud jsou tři navzájem různoběžné roviny, které mají společný právě jeden společný bod, procházejí tímto bodem všechny tři průsečnice daných rovin. • Tato pravidla použijeme v následujících příkladech.

4. Na začátek opět začneme s jednoduchou úlohou: V krychli ABCDEFGH mějme rovinu ACH. Určete řez krychle danou rovinou. Dle prvního pravidla můžeme spojit dva body náležející téže rovině, v našem případě v rovinách stěn krychle. Tím získáme kýžený řez, protože jsme získali uzavřený rovinný geometrický útvar.

5. Na závěr každého příkladu, v němž hledáme řez tělesa, je třeba vyznačit viditelnost. Části řezu, které leží ve stěnách, u nichž vidíme všechny hrany (jsou plnou čarou), znázorníme plnou čarou. Části řezu, které leží ve stěnách, u nichž nevidíme všechny hrany (některé jsou přerušovanou čarou), znázorníme přerušovanou čarou.

6. Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

7. V krychli ABCDEFGH mějme rovinu ABG. Určete řez krychle danou rovinou. Na základě prvního pravidla spojíme body ve stejných rovinách stěn.

8. Díky druhém pravidlu můžeme nalézt rovnoběžné průsečnice dané roviny s rovnoběžnými stěnami krychle. Rovnoběžky však musí procházet body, které již do hledaného řezu patří, jsou jimi totiž určeny. Stěna BCF je rovnoběžná se stěnou ADE, a proto můžeme vést v rovině stěny ADE rovnoběžku s přímkou BG z bodu A. Získáme tak část řezu, který je určený přímkou AH. Obdobný postup zvolíme i pro část řezu, který je vymezen body AB.

9. Určíme viditelnost.

10. Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

11. V krychli ABCDEFGH mějme rovinu DFG. Určete řez krychle danou rovinou. Na základě prvního pravidla spojíme body ve stejných rovinách stěn. Vidíme, že v tomto případě nelze daný řez znázornit (čáry se překrývají).

12. Proto můžeme využít jiný pohled na krychli, u něhož bude nalezení řezu snadným cvičením. Postupujeme obdobně jako u předchozího příkladu. Spojíme body roviny, které leží ve stejné stěně. Na základě rovnoběžnosti nalezneme zbývající části řezu. Poté určíme viditelnost.

13. Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

14. V krychli ABCDEFGH mějme rovinu KBG, kde bod K leží ve středu hrany AE. Určete řez krychle danou rovinou. Na základě prvního pravidla spojíme body ve stejných rovinách stěn.

15. Na základě druhého pravidla můžeme bodem K vést rovnoběžku s přímkou BG. Získáme průsečík L s hranou EH, která je průsečnicí levé boční stěny a horní podstavy.

16. Na základě prvního pravidla můžu spojit bod G a průsečík L. Získali jsme tak celý řez.

17. Určíme viditelnost.

18. Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

19. V krychli ABCDEFGH mějme rovinu KLM, kde bod K leží na hraně AE a rozděluje ji v poměru |AK| : |EK| = 2 : 1, bod L leží na polopřímce AB a platí |AB| : |AL| = 2 : 3 a bod M je střed hrany CG. Určete řez krychle danou rovinou.

20. Bod L leží v rovině přední stěny, a proto jej můžeme na základě prvního pravidla spojit s bodem K. Přímka KL protne hranu BF, která je průsečnicí roviny přední stěny a boční stěny, a vzniká průsečík P.

21. Průsečík P tak můžeme spojit s bodem M opět na základě prvního pravidla.

22. Na základě prvního a druhého pravidla dokončíme celý řez.

23. Určíme viditelnost.

24. Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

25. V krychli ABCDEFGH mějme rovinu určenou přímkou p, která leží v rovině podstavy, ale nemá žádný společný bod s dolní podstavou, a bodem M, který lež na hraně AE a platí |AM| : |EM| = 1 : 2.

26. Zde je ukázáno, že přímka p může ležet v rovině podstavy.

27. Pro nalezení první části řezu si musíme pomoci průsečnicí dolní podstavy a přední stěny, protože potřebujeme vědět, který bod přímky p náleží do obou rovin.

28. Jakmile tento bod R nalezneme, víme, jak bude určen řez v přední stěně, protože jej můžeme spojit s bodem M.

29. Na základě podobné úvahy nalezneme i část řezu v boční stěně. Využijeme průsečnici roviny dolní podstavy a roviny boční stěny.

30. Společný bod této průsečnice S a bodu R na hraně BF tvoří přímku, která určuje řez v boční stěně a průsečík T s hranou CG.

31. Na základě prvního a druhého pravidla dokončíme celý řez.

32. Určíme viditelnost.

33. Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

34. Úkol závěrem • Urči řez krychle ABCDEFGH, který je určen rovinou: • a) BEK, kde bod K je střed hrany FG • b) GKL, kde jsou body K a L po řadě středy hran AB a BC • c) KLH, kde bod K leží na hraně BF a rozděluje ji v poměru |BK| : |FK| = 3 : 1 a bod L leží na polopřímce AD a platí |AD |: |DL| = 2 : 3 • d) KLC, kde bod K je průsečík přímky EG a spojnice středů hran EF a EH a bod L je střed hrany FG.

35. Zdroje • Literatura: • POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. • Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.