PRZETWARZANIE INFORMACJI NIEPEWNEJ

1. PRZETWARZANIE INFORMACJI NIEPEWNEJ Nguyen Hoang Viet Instytut Podstawowych Problemów Techniki Polska Akademia Nauk

2. Plan prezentacji • Wprowadzenie • Losowość vs. niedokładność • Modelowanie niepewności • Układ równań liniowych z niepewnością N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

3. Wprowadzenie • Niepewności w praktyce: niedokładności danych, problem brakujących danych, niedeterminizm eksperymentów, lingwistyczna ocena ekspertów itp.. • W rzeczywistych problemach inżynierskich, niepewności nie da się uniknąć. • Celem prezentacji jest przedstawienie istoty przetwarzania różnorodnych rodzajów niepewności w jednym, spójnym środowisku N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

4. Losowość i niedokładność • Niepewności najczęściej są podzielone na dwie grupy: • Niepewność związana z niedeterminizmem danego zjawiska (ang. randomness) • Niepewność związane z niemożliwością precyzyjnego określenia pojęć (ang. impreciseness) • Różnice między tymi rodzajami niepewności są zasadnicze i mają one charakter różnych natur. Stąd nie da się modelować jeden typ niepewności za pomocą drugiego. Muszą współistnieć! N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

5. Losowość i niedokładność • Przykład: • Jak prawdopodobne jest to aby w najbliższych sondażach, notowanie PO znacznie przewyższało notowanie Samoobrony • Analiza rynku finansowego, • Analiza niezawodności konstrukcji N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

6. Losowość i niedokładność • Próby transformacji losowość – niedokładność: • (Sztuczne) przekształcenie funkcji przynależności zbioru rozmytego w funkcję gęstości zmiennej losowej (possibility- probability transformation) • Transformacja z zachowaniem entropii • Obydwie wymienione wyżej metody okazały się sztuczne, nie efektywne i nie skupią większych uwag badaczy. N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

7. Losowość i rozmytość • „Naiwna” transformacja Niech będzie przestrzenią probabilistyczną. Niech A będzie zbiorem rozmytym: Naiwna transformacja polega na przekształceniu funkcji zależności zbioru A do funkcji gęstości „równoważnej” zmiennej losowej B: N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

8. Losowość i rozmytość • Transformacja z użyciem entropii: • Entropia zmiennej losowe X z gęstością f: • Entropia zbioru rozmytego A: • Wyrównując H i G, można znaleźć „równoważną” zmienną losową Y dla zbioru rozmytego A. N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

9. Modelowanie niepewności • Niepewność stochastyczna – probabilistyka: potężna, dobrze opracowana machina matematyczna. • Jak modelować niedokładność (impreciseness)? • Analiza przedziałowa (ang. interval analysis): zmienne i parametry systemu są modelowane za pomocą przedziałów (liczb przedziałowych). Arytmetyka przedziałowa. Optymalizacja przedziałowa. • Logika rozmyta. Possibility theory. Liczby przedziałowe mogą być traktowane jako poszczególnym przypadkiem liczb rozmytych. N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

10. Modelowanie niepewności • Łączenie losowości z niedokładnością w jednym, spójnym środowisku. Niepewność Losowość Niedokładność Zmienna losowa Przedziały, zbiory rozmyte Rozmyta Zmienna losowa N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

11. Modelowanie niepewności • Rozmyta zmienna losowa (RZL): • Niech będzie przestrzenią probabilistyczną. jest rozmytą zmienną losową jeśli: jest -mierzalna. • Zmienna losowa (rzeczywista), liczby rozmyte, liczby przedziałowe są szczególnymi przypadkami rozmytej zmiennej losowej. N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

12. Modelowanie niepewności • Wprowadzono pojęcia wartości średniej, wariancji, gęstości RZL. • Większość prac dot. RZL obecnie rozważają aspekty teoretyczne. • Celem pracy jest opracowanie techniki przetwarzania informacji niepewnej umożliwiającej łatwego zastosowania w praktycznych zadaniach. N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

13. Modelowanie niepewności • Gaussowska rozmyta zmienna losowa (GRZL): zmienna losowa rozmyta, która może być przedstawiona jako suma (rzeczywistej) zmiennej losowej z zerową wartością średnią i liczbą rozmytą: • Ograniczenie na RZL typu Gaussowskiego pozwala na parametryzację RZL za pomocą ZL i liczby rozmytej N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

14. Układ równań liniowych z niepewnością • Dlaczego układ równań liniowych? • Wystąpienie niepewności w układach równań liniowych. • Jakiego typu niepewności mogą się znaleźć w zadaniu? N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

15. Układ równań liniowych z niepewnością • Układ równań liniowych przedziałowych: • Zadanie: rozwiazanie układu • Zadanie rozwiązania tego typu układu jest problemem NP-trudnym • Powszechne są tzw. wewnętrzne i zewnętrzne przybliżenie rozwiązania (inner/outer approximation) N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

16. Układ równań liniowych z niepewnością • Układ równań liniowych przedziałowych • Zadanie optymalizacyjne: N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

17. Układ równań liniowych z niepewnością • Układ równań liniowych przedziałowych: • Zadanie optymalizacji – problem z arytmetyką przedziałową: • Idea: sieć neuronowa S aproksymująca operację mnożenie przedziałów. N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

18. Układ równań liniowych z niepewnością • Układ równań liniowych przedziałowych: • Funkcja f jest różniczkowalna i jej optymalizacja może być zrealizowana za pomocą algorytmów gradientowych. • Idea nr. 2: Algorytm genetyczny [w opracowaniu] N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

19. Układ równań liniowych z niepewnością • Do rozwiązania: • Układ równań liniowych z rozmytymi parametrami [obecnie brak jakichkolwiek efektywnych metod do rozwiązania tego problemu] • Przypadek ogólny: układ z RZL N.H. Viet: Przetwarzanie informacji niepewnej

20. Dziękuję za uwagę