Crescimento Populacional

1. Crescimento Populacional

2. 1. Terminologia

3. “Crescimento populacional”O que significa este termo? • No seu uso moderno o termo “crescimento populacional” tornou-se muito vago devido principalmente aos extensos significados dados, nos nossos dias, a “populacional” e “crescimento”.

4. Daqui concluímos que, na sua interpretação original, a palavra refere-se a populações humanas.Por essa razão quando se fala em crescimento populacional muitas vezes se pensa em populações humanas.

5. Entretanto, este campo de acção expandiu-se de modo a incluir qualquer colecção de objectos (animados ou inanimados) acerca das quais nós queremos elaborar um estudo quantitativo. Assim,podemos falar, por exemplo, da população dos pinguins, pneus, bactérias, euros e cêntimos.

6. A palavra “crescimento” • Pensamos normalmente nesta palavra como aplicada a coisas que crescem, que se tornam maiores...mas... • ATENÇÃO!!...nem sempre é assim!! Mapa 1 CRESCIMENTO ANUAL MÉDIO (%) FONTE: INE - Recenseamento Geral da População

7. “Crescimento” pode significar: crescimento negativo ou declínio crescimento positivo a população aumenta a população diminui

8. 2. Generalidades

9. Ao analisarmos a história, vimos que a evolução da matemática sempre teve um papel fundamental no desenvolvimento cientifico-cultural das sociedades.

10. Desde os inícios da civilização que existe uma ligação entre a matemática e o estudo das populações. Uma das razões pela qual os humanos inventaram os sistemas numéricos foi a sua necessidade de manejar os princípios de contagem de populações.

11. Sentiram necessidade de, por exemplo, contar as ovelhas do seu rebanho, o número de pessoas da sua tribo, etc.

12. Hoje em dia, os modelos matemáticos de crescimento populacional são uma ferramenta fundamental para o nosso • esforço de perceber o fluxo e refluxo das populações selvagens em perigo, • lotes piscatórios, pragas agrícolas, doenças infecciosas, estrago radioactivo, lixo comum, por aí fora.

13. Disciplinas modernas completas, tais como “ecologia matemática”, “biologia populacional”, e “bioestatística” são construídas à base da matemática do crescimento populacional.

14. 3. Objectivos

15. Neste trabalho, daremos alguns exemplos elucidativos do tipo de problemas de “crescimento populacional”que podem surgir.Vamos apresentar alguns dos modelos mais simples que podem ser usados no estudo da sua dinâmica: modelo de crescimento linear modelo de crescimento exponencial modelo de crescimento logístico.

16. 4. A dinâmica do crescimento populacional

17. O crescimento de uma população é um processo dinâmico, logo quer dizer que a situação muda ao longo do tempo. Podem distinguir-se dois tipos de situação: Crescimento contínuo Crescimento discreto

18. No crescimentocontínuo :as mudanças ocorrem permanentemente.(Ex.: contas bancárias de juros compostos continuamente.) No crescimentodiscreto : as mudanças efectuam-se periodicamente (transições).

19. O nosso trabalho estudará o crescimento discreto.Este tipo de crescimento é o caminho mais comum e natural pelo qual as populações mudam. As mudanças - transições - efectuam-se periodicamente, isto é, as alterações não ocorrem sistematicamente, havendo intervalos de tempo em que a população se mantém constante.

20. Por uns tempos nada acontece ; depois, existe uma mudança repentina na população e assim sucessivamente. O período entre as transições tanto pode ser fracções de segundos, minutos, horas, dezenas de anos ou séculos. Para o nosso estudo este período de tempo entre as transições não nos interessa. O problema principal do crescimento populacional é prever o que acontecerá a uma dada população ao longo do tempo.

21. A forma mais comum para lidar com esta questão é descobrir as regras pelas quais se regem as transições . Para estudar o que acontece entre dois períodos de tempo, analisam-se as regras de transição, ou seja, as regras que determinam as transições.

22. Se soubermos como se altera uma certa população em cada transição, podemos geralmente determinar como se altera a mesma após muitas transições. Neste sentido, podemos associar convenientemente o declínio ou o aumento de uma população ao longo do tempo a uma lista infinita de números chamada sequência populacional.

23. Como se gera a sequência populacional? Toda a sequência populacional começa com a população inicial (geração “zero”). Vamos denominar por a população inicial. A sequência continua com , etc. Onde é o tamanho da população na n-ésima geração.

24. 5. Crescimento Linear

25. O modelo de crescimento linear é o mais simples de todos. Neste modelo, em cada geração a população muda (aumenta ou diminui) por uma quantidade fixa, uma constante. Vamos ver como este modelo funciona através dum exemplo.

26. Exemplo 5.1. Fábrica de bolachas “Estaladiças”

27. A “Estaladiças” esteve em actividade durante 6 meses. • Durante o primeiro mês de negócio, a empresa teve 80 encomendas. • Durante o segundo mês, teve 205 encomendas. • 3º mês : 330 encomendas • 4º mês : 455 encomendas • 5º mês : 580 encomendas

28. Actividades propostas: • Crie uma tabela que descreva esta sequência. • Crie um gráfico de linha que descreva a sequência • Faça o eixo horizontal o eixo dos meses • Faça o eixo vertical o eixo das encomendas. • Crie um gráfico de barras que descreva a mesma informação.

29. Crescimento da empresa nos primeiros 5 meses Três modos de descrever os mesmos dados.

30. Este valor é chamado de diferença comum. • Encontre a diferença entre o numero de encomendas em meses consecutivos. • PN - PN-1 • 205 - 80 = 125 • 330 - 205 = 125 • 455 - 330 = 125 • 580 - 455 = 125 • Que repara em relação a estas diferenças?

31. Defina por descrição recursiva a sequência que traduz o crescimento desta empresa. • Quando as diferenças entre valores consecutivos da “sequência populacional” (aqui a nossa “população” são as “encomendas feitas”) são sempre iguais (ou muito aproximadas), um modelo de crescimento linear pode ser utilizado para descrever o crescimento da população. • Actividade proposta:

32. Este é um exemplo típico do modelo de crescimento linear, que se caracteriza pelo facto de, em cada transição, se adicionar um valor constante, que designaremos por d, à população anterior. Descrevamos, então, este modelo matematicamente: Modelo de Crescimento Linear (Descrição Recursiva) População Inicial: P1 PN = PN-1 + d população na geração N população na geração N-1 razão da sequência

33. A equação anterior dá-nos uma descrição recursiva da sequência da população pois através dela é possível obter valores da sequência usando valores anteriores a esses. Embora esta fórmula seja simples, tem uma grande desvantagem: para obter um determinado termo da sequência, é necessário calcular primeiro todos os termos anteriores.

34. No entanto, podemos descrever a sequência da população de uma outra forma: • Modelo de Crescimento Linear (Descrição Explícita) • PN = P1 + (N-1)d Esta equação dá-nos uma descrição explícita da sequência da população, já que através dela é possível obter qualquer termo da sequência conhecendo apenas o primeiro e a razão da sequência.

35. Nota: A soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética é dada por , onde p1 e pn são o primeiro e último termo, respectivamente. Obtivemos assim uma progressão aritmética de razão d cujo termo geral é: PN = P1 + (N-1)d

36. Número de encomendas feitas durante o mês anterior. Número de encomendas feitas durante o N-ésimo mês. O valor inicial tem de estar especificado. • Uma descrição recursiva utiliza valores prévios da sequência para calcular um novo valor. • Neste exemplo, uma descrição em linguagem corrente da sequência deste exemplo seria: • “O número de encomendas feitas durante o próximo mês será de mais 125 do que as feitas durante o mês corrente.” Matematicamente, a descrição recursiva : • PN = P N-1 + 125 onde N = o número do mês PN = o número de encomendas feitas no mês N e P1 = 80

37. O valor inicial está especificado na formula. • Para este exemplo o termo geral da descrição explicita será: PN = 80 + (N-1) x 125 onde N e PN são definidos como anteriormente Deverá notar que 80 é o número inicial de encomendas feitas e que em cada mês posterior acrescenta-se 125. Isto é, no segundo mês 125 é adicionado uma vez… No terceiro mês 125 é adicionado duas vezes…

38. Note que: • P1 = 80 + (1-1)x125 • P2 = 80 + (2-1)x125 ... • P5 = 80 + (5-1)x125 • Actividade proposta: • Se o crescimento da empresa continuar a seguir estes parametros, quantas encomendas serão feitas depois de 100 meses em actividade?

39. Resolução da actividade... P100 = 80 + (99)x125 P100 = 12,455 encomendas

40. 6. Crescimento Exponencial

41. Malthus era um pessimista que considerava a pobreza como um destino ao qual o homem não pode fugir. O economista e demógrafo britânico Thomas Malthus ficou conhecido sobretudo pela teoria segundo a qual o crescimento da população tende sempre a superar a produção de alimentos, o que torna o que torna necessário o controle da natalidade.

42. Thomas Robert Malthus nasceu entre 14 e 17 de fevereiro de 1766, em Rookery, Surrey, Inglaterra. Malthus morreu em Saint Catherine, Somerset, em 23 de dezembro de 1834

43. A ideia de Malthus era que a taxa de crescimento de uma população é directamente proporcional ao seu tamanho. Isto deve-se ao facto que as populações crescem porque as pessoas têm bebés. Quanto mais pessoas houver mais bebés elas terão. Ou seja, o número de bebés nascido é um múltiplo constante do número de pessoas presentes napopulação.

44. Obviamente, as pessoas também morrem, logo também há uma taxa de mortalidade. Esta taxa será simplesmente uma certa percentagem do tamanho da população em qualquer tempo dado, pois quanto maior for a população de um local, maior número de pessoas morrerá por motivos naturais desse local. Assim, deve-se combinar a taxa positiva de natalidade com a taxa negativa de mortalidade, de modo que a diferença entre elas seja constante.

46. Exemplo 6.1.

47. A quantia de 1000€ é depositada numa conta poupança-reforma que paga 10% de juro anual (isto é, o juro é pago uma vez por ano no final do ano). Actividade proposta:Quanto dinheiro estará na conta após 30 anos, se o juro for deixado na mesma?

48. Sendo a quantia inicial de 1000 €, no final desse ano, ela será adicionada de 10% do seu total, isto é, 10% de 1000, ou seja, no final desse ano ficaremos com 110% dos 1000 € iniciais (1,1 × 1000). Continuando, no final do 2º ano, teremos (Quantia do início do 2º ano) × 1,1 = 1000 × (1,1)2 sendo a quantia do início do 2º ano a do final do 1º ano (já que os juros são pagos apenas no final de cada ano).

49. Ao fim do 1º ano tem 1000 + 0,1x1000 = 1,1 x 1000 = 1100 € .Ao fim do 2º ano, 1000 x 1,12 = 1210 € .Ao fim de 15 anos, 1000 x 1,115 = 4177 € . Assim, o balanço da conta após 30 anos (ou seja, a quantia no início do 31º ano) será: 1000 × (1,1)30 = 17.449,40227 €

50. Neste exemplo, cada transição (que ocorre no final do ano) corresponde a tomar 110% do balanço do início desse ano. Podemos ainda dar uma regra geral para obter o balanço na conta deste exemplo: no início do (N+1)º ano, a conta tem a seguinte quantia, em euros, PN+1 = 1000 × (1,1)N. Este actividade proposta é um exemplo clássico de crescimento exponencial: o dinheiro inicial rende juros; depois, os juros sobre o dinheiro inicial adicionado de juros são também capitalizados, e por aí adiante...