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Determinação de Vazões Extremas. Prof. Benedito C. Silva. Conteúdo. Conceitos básicos Funções de probabilidade Função de distribuição empírica Distribuições teóricas de probabilidade Procedimento geral de ajuste. Conceitos básicos.
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Determinação de Vazões Extremas Prof. Benedito C. Silva
Conteúdo Conceitos básicos Funções de probabilidade Função de distribuição empírica Distribuições teóricas de probabilidade Procedimento geral de ajuste
Conceitos básicos Probabilidade: A probabilidade é a chance de ocorrência de uma variável. Esta probabilidade pode ser individual ou cumulativa. Ex. No lançamento de um dado, a probabilidade de sair o número 3 é de 1/6 (individual); a chance de que ocorra um número maior que 3 é de 3/6 ou ½ (cumulativa) O objetivodaanálise de frequênciaouprobabilidades é obter a relação entre a variávelestudada e a probabilidade de ocorreremvaloresmaioresouiguais, quando se examinamvaloresextremossuperiores, e menoresouiguaisemcasocontrário. Ouseja, obter a Função de Probabilidade
Conceitos básicos A série de dados (amostra) utilizadanaanálise de probabilidadedevepossuir as seguintescaracterísticas: • Série de valores independentes entre si • A série deve ser estacionária, ou homogênea, no tempo • A sériedeve ser umaamostrarepresentativa
Conceitos básicos • Valores independentes: Os eventos são considerados independentes quando não existe correlação entre os valores da série • Ex.: Vazõesmáximas: • i.Valoresmáximosdiários de cadaano • ii. Um valor paracadaanohidrológico • iii. O anohidrológicocorrespondeaoperíodo de 12 meses, começando no início do períodochuvoso e terminandoao final daestaçãoseca. Para o Sudeste do Brasiliniciaemoutubro e terminaemsetembro do anoseguinte
Conceitos básicos Máx. de 1996 Máx. de 1995/96 Máx. de 1995 Ano civil Ano hidrológico
Conceitos básicos • Série estacionária: as estatísticas da série não podem se alterar ao longo do tempo Vazões do rio Paraná em Concórdia
Conceitos básicos • Séries não-estacionárias Vazões do rio Paraguai Vazões do rio Taquari (MT)
Conceitos básicos Amostra representativa: as estatísticas da amostras devem ser representativas da população. O número de anos de uma amostra de valores é importante, mas não significa tudo
f(x) x Funções de probabilidade Seja uma amostra com n valores da variável aleatória X, dividida em classes com largura igual a ∆x O número de observações no intervalo i é ni , cobrindo os valores [xi - ∆x, xi]. A função de freqüência relativa será: Graficamente: Histograma
Funções de probabilidade Para uma variável aleatório contínua X, a função densidade de probabilidade é uma função tal que 1) 2) 3) área sob f(x) de a a b, para qualquer a e b
Função distribuição de probabilidade acumulada Probabilidade de não-excedência Probabilidade da variável X ser menor ou igual ao valor x Probabilidade de excedência Probabilidade da variável X ser maior ou igual ao valor x
Tempo de retorno • O tempo de retorno (TR) em hidrologia é utilizado para caracterizar a freqüência de repetição de um evento. É dado por: • Ex. Uma inundação que tem a chance de ser maior ou igual num ano qualquer de 0,05 ou 5%, tem um tempo de retorno de 1/0,05 = 20 anos. • Significa que, em média, a inundação ocorrerá a cada 20 anos • Não significa repetição cíclica.
Risco hidrológico • O risco hidrológico (R) é a probabilidade de que um evento com determinada magnitude será igualado ou superado ao menos uma vez em um dado período de anos (N). É calculado por: • Onde, P é a probabilidade anual de excedência.
Risco hidrológico • Exemplo: • O vertedor de uma barragem foi dimensionado para uma vazão com TR de 50 anos. Qual o risco de sua capacidade seja excedida nos próximos 20 anos? E nos próximos 50 anos? • Solução:
Função de distribuição empírica • Ajuste gráfico dos pontos da amostra, utilizando equações de posição de locação ou plotagem para estimativa da probabilidade de excedência. Exemplo: Onde m é ordem dos valores (decrescente) da amostra n é o tamanho da amostra.
Exemplo de ajuste empírico Para o segundo valor:
Distribuições teóricas de probabilidade Distribuições usuais em hidrologia • Normal (simétrica e utilizada para vazões médias ou precipitações médias) • Log-Normal (vazões máximas) • Gumbel (extremo tipo I) (vazões máximas) • Extremo Tipo III ou Weibull (vazões mínimas) • Log Pearson Tipo III (vazões máximas) adotada em alguns países como padrão . Utiliza três parâmetros
Distribuição de Gumbel (Extremos I) A função densidade de probabilidade acumulada é Ou, passando para probabilidade de excedência Onde, s - desvio padrão da série - média da série
Distribuição de Gumbel (Extremos I) Passando o logaritmo 2 vezes
Distribuição Log-Pearson Tipo III Função densidade de probabilidade: Fórmula alternativa: A vazão para um tempo de retorno TR é calculada por, = Desvio padrão dos logaritmos da vazões
Distribuição Log-Pearson Tipo III O parâmetro K é calculado por: Com, G é o coeficiente de assimetria
Procedimento geral para ajuste de distribuição teórica • Verificar se a série de dados atende às condições básicas de ajuste • Escolher as distribuições mais prováveis, em função do tipo de variável a ser ajustada • Ajustar a distribuição empírica • Determinar os valores dos parâmetros das distribuições teóricas • Verificar o ajuste por: • Inspeção visual • Teste de aderência
Cálculo de Vazões Mínimas (Q7/10) • Vazão Q7/10 significa a vazão mínima média de 7 dias com 10 anos de tempo de retorno • Calcula-se a média móvel de 7 dias das vazões diárias, para toda a série de dados • Escolhe-se o menor valor de cada ano. Para a região Sudeste deve-se usar o ano civil • Para o calculo das probabilidades acumuladas e tempos de retorno os dados devem ser organizados em ordem crescente • O valor da Q7/10 pode ser estimado com a distribuição empírica, por interpolação dos valores
Vazão máxima para locais sem dados observados: método racional Qp=0,278 C I A Qp: vazãomáxima (m3/s) C: coeficiente de run-off I: intensidadeem mm/h A: áreaem km2 Área < 2 km2
Sequência de cálculo • Delimitar a bacia hidrográfica; • Divisão de áreas quanto a cobertura da bacia (C1, C2, C3, etc.); • Cálculo do C (média ponderada) • Determinação do comprimento do curso principal L e a sua declividade S (ou H, que é o desnível entre o ponto mais afastado da bacia e o exutório);
