LA NUMERATION AU CYCLE 3

1. LA NUMERATION AU CYCLE 3 Comment aborder, programmer et mettre en œuvre l'enseignement des nombres décimaux au cycle trois ? Quels préalables stabiliser? Quels enjeux viser pour les apprentissages en mathématiques au collège ?

2. L'animation est centrée sur l'introduction de nombres décimaux au cours du cycle 3.Pour cela il est nécessaire que les élèves aient préalablement une bonne connaissance de la numération. Questions qu’il nous faudra aborder: • Quels sont les éléments permettant une bonne compréhension du nombre au CE2 ? • Qu'est il important de faire au CE2 en vue de l'approche de nouveaux nombres au CM1? • Quel type d'introduction des décimaux au CM1 ? Quels rapports entre fractions et décimaux ? • Quels sont les principaux obstacles ? Que proposent divers manuels ? • Quels enjeux en CM2 pour la sixième?

3. Compétences attendues en fin de Cycle 3 Fractions simples et décimales • écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs • écriture comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 • somme de deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur Nombres décimaux • désignations orales et écritures chiffrées • valeur des chiffres en fonction de leur position • passage de l’écriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement • comparaison et rangement • repérage sur une droite graduée • valeur approchée d’un décimal à l’unité près, au dixième près, au centième près.

4. Évaluations nationales CM2 2010

5. Rappels sur les décimaux • La rupture essentielle entre nombres naturels et nombres décimaux est marquée par les propriétés relatives à l’ordre sur ces nombres, donc à leur comparaison. • Ainsi : • L’idée de successeur qui a un sens pour les naturels (après 7, il y a 8) n’a plus de sens chez les décimaux (quel nombre décimal vient après 2,75?..). • L’idée d’intercalation n’a pas le même type de solution : entre 2 nombres entiers naturels, il y a un nombre fini de nombres entiers naturels ; entre 2 nombres décimaux, il y a une infinité de nombres décimaux !... • L’idée d’ordre sur les nombres n’a plus le même sens : chez les nombres naturels, 5 est plus petit que 438 mais chez les nombres décimaux 3,5 n’est pas plus petit que 3,438 parce que 5 est plus petit que 438 ou parce qu’il n’y a qu’un seul chiffre après la virgule!...

6. Un peu d’histoire L’invention des nombres décimaux se produit de façon indépendante au Moyen-Orient (Al-Kasi, XVème siècle) et en Europe (Bonfils, Viète et Stévin, XVIème siècle). Dans un ouvrage de 1427, « La clé de l’arithmétique », Al-Kasi expose la manière d’opérer dans le système sexagésimal (base 60) de position utilisé par les astronomes. Ainsi, l’expression « 2 43 9 8 57 secondes » correspondait au nombre : 2 x 602 + 43 x 60 + 9 + 8 x 60-1 + 57 x 60-2. En Occident, la numération décimale de position se généralise au XVIème siècle et en 1852, le mathématicien belge Simon Stévin dans son fascicule de dix pages «la Disme», introduit pour la première fois, les fractions décimales sous une forme simplifiée. Vers 1615, l’écossais John Napier utilise la virgule. Activités de classe (dès le CM1) On peut faire écrire des nombres décimaux selon les écritures de Al-Kasi, de Stévin ou de Napier pour que les élèves comprennent qu’il s’agit d’écritures différentes d’un même nombre et surtout, pour qu’ils comprennent la signification de chacun des chiffres qui composent les nombres donnés. D’après « Apprentissages numériques et résolution de problèmes » - ERMEL (Hatier) et Nouvel Objectif Calcul (Hachette).

7. ATELIERS • CE2: quelles compétences en numération à retravailler? Importance de la division. • CM1: quelles difficultés à surmonter? Comment introduire les décimaux? • CM2: Comment développer les compétences acquises en CM1? • Liaison CM2/Sixième: Bilan des actions mises en place. Propositions pour les généraliser • Dans tous les ateliers: • gardez à l’esprit de travailler sur a/b DE U mais aussi que a/b = a : b • Pensez à l’importance des manipulations et aux mentalisations associées • Utilisez les productions des élèves aux évaluations nationales CM2 • Regardez ce que proposent les nouveaux manuels • OBJECTIF: Proposer une progression avec un plan de séquence

8. Exemple de progression au CM1Jean-François Favrat, Eric Le Geron… • Introduction de l’écriture a/b U (le « de » reste implicite) avec les mesures de longueur. • Sens de l’expression a/bième de U dans un contexte généraliste • Travail du genre « parts de tarte » • Travail sur les aires, partages en unités d’aires • Approfondissement des fractions par les aires • Fractions décimales • Écritures à virgule

9. Expérimentation menée par Jean-François Favrat.Les documents A, B, C et D ainsi que l’ensemble du document seront en ligne sur le site de la circonscription.

10. Sites utiles Des exercices d’entraînement en ligne • http://sylvain.obholtz.free.fr/cariboost1/crbst_5.html • http://pagesperso-orange.fr/blsmcpce1/nombresdecimaux.html • http://www.ecoles.cfwb.be/nicolas7/P4.html • http://mathenpoche.sesamath.net/index.php?page=120 (Application téléchargeable) • http://www.monhebergement.fr/aelc/sharewares/deci2000.htm (Télécharger Décimaux et fractions) • http://pedagologic.chez-alice.fr/pages/logiciels.htm (des logiciels gratuits : des exerciseurs) • http://astro52.com/pedagoaccueil.htm (d’autres exercices en ligne) • http://pagesperso-orange.fr/fabien-emprin/fractions/fractions.htm (entraînement à la simplification de fractions ) Des outils d’évaluation • http://www.banqoutils.education.gouv.fr/ (Mettre en relation des fractions simples et leurs représentations) • http://www.banqoutils.education.gouv.fr/fic/C6MRSDI04.pdf

11. Des manuels du CDDPS’il vous plait, n’oubliez pas de me les rapporter! CE2 • Maths tout terrain chez Bordas CM1 • Maths tout terrain chez Bordas • La tribu des maths chez Magnard (Guide du maître, cahier de géométrie, cahier des nombres) • Pour comprendre les mathématiques chez Hachette • J’apprends les maths chez Retz (manuel élève et fichier d’activités) CM2 • J’apprends les maths chez Retz (manuel élève et fichier d’activités) • Au rythme des maths chez Bordas • Collection Petit phare « Mathématiques » chez Hachette (manuel de l’élève)