LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

1. LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2. Dati due insiemi A e B, sottoinsiemi dell’insieme dei numeri reali, si definisce una FUNZIONE fra i due insiemi una relazione che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento dove: x è detta VARIABILE INDIPENDENTE y è detta VARIABILE DIPENDENTE f è la legge matematica Funzione definita a tratti Esempio di funzione

3. CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI Le funzioni possono essere classificate in ALGEBRICHE e TRASCENDENTI Se l’espressione analitica che descrive una funzione contienesolo addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, elevamento a potenza, estrazione di radice la funzione si dice ALGEBRICA • Tra le funzioni algebriche troviamo: • razionali intere • razionali fratte • irrazionali Le funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche sono chiamate funzioni TRASCENDENTI

4. DOMINIO DI UNA FUNZIONE Data una funzione di equazione y=f(x) si definisce il DOMINIO (campo di esistenza o insieme di definizione) della funzione l’insieme dei valori reali di x per i quali l’espressione f(x) ha significato. Si indica con D o C.E.

5. SEGNO DI UNA FUNZIONE Studiare il SEGNO di una funzione vuol dire determinare gli intervalli nei quali la funzione è positiva o negativa Esempio: + -

6. I GRAFICI DELLE FUNZIONI Traslo il grafico della funzione y=f(x) a destra di un certo vettore a ottenendo y=f(x-a) Per disegnare y=f(x+a) traslo il grafico a sinistra di un certo vettore a Traslo il grafico della funzione y=f(x) in alto di un certo vettore b ottenendo y = f (x)+ b Per disegnare y=f(x)- b traslo il grafico verso il basso di un certo vettore b

7. LE SIMMETRIE y=f(-x) y=f(x) y=f(x) y=f(x) Grafico di y = f (-x) Simmetria rispetto all’asse y FUNZIONE PARI y=-f(-x) y = - f (x) Grafico di y = - f (-x) Simmetria rispetto ad O FUNZIONE DISPARI Grafico di y = - f (x) Simmetria rispetto all’asse x

8. Grafico di y = |f (x)| Simmetria rispetto all’asse delle x della parte negativa del grafico Grafico di y = f ( |x| ) Per x>0 il grafico rimane uguale, per x<0 il grafico è il simmetrico rispetto all’asse y

9. LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE Una funzione si dice INIETTIVA se due qualunque elementi distinti di A hanno immagini distinte in B Una funzione si dice SURIETTIVA se tutti gli elementi di B sono immagini di almeno un elemento di A Una funzione si dice BIIETTIVA (o biunivoca) se è iniettiva e suriettiva

10. è suriettiva se si considera come insieme B quello degli y tali che y < 4, ma non è iniettiva perché scelto nel codominio un y diverso da 4, esso è immagine di due valori distinti di x. y = 2x-1 è sia iniettiva che suriettiva: a ogni valore scelto sull’asse y corrisponde un valore (suriettiva) e un solo (iniettiva) valore sull’asse x. La funzione è quindi biiettiva.

11. FUNZIONI CRESCENTI e DECRESCENTI Data una funzione y=f(x) di dominio D Si dice che f è CRESCENTE in senso stretto in un intervallo Si dice che f è DECRESCENTE in senso stretto in un intervallo Una funzione sempre crescente o decrescente si dice MONOTONA Decrescente in senso lato Crescente in senso lato

12. FUNZIONI PERIODICHE La funzione f è periodica con periodo T se Esempi:

13. LA FUNZIONE INVERSA definita per x>0 è BIETTIVA Data una funzione biunivoca, allora si può definire una nuova funzione detta funzione INVERSA di f che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y = f (x) La sua funzione inversa è: Per rappresentare la funzione inversa insieme alla funzione f, scambiamo le variabili, ottenendo così: Se una funzione ammette l’inversa allora è invertibile. Graficamente la funzione inversa è simmetrica a f rispetto alla bisettrice del 1°/3° quadrante Esempio:

14. LA FUNZIONE COMPOSTA Date due funzioni e Si indica con o La funzione composta da A a C che si ottiene associando a ogni x di A l’immagine mediante f dell’immagine di x mediante g Esempio: