Biostatistique et Introduction à la Santé Publique

1. Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM2 Biostatistique et Introduction à la Santé Publique Echantillonnage et estimation statistique

2. Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM2 Echantillonnage statistique • Un échantillon statistique est constitué d’un nombre limité d’individus tirés au sort dans la population étudiée. • C’est le tirage au sort qui assure la représentativité. • Un échantillon de taille n d’une v.a. X est obtenu en répétant n fois l’épreuve qui donne X. • Notation : (X1, X2, … , Xn) • Une réalisation particulière : (x1,x2, … ,xn)‏

3. Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM2 Moyenne et variance de la somme de v.a. • Soit S la somme des v.a. X et Y : S = X + Y • E(S) = E(X) + E(Y)‏ • Var(S) = Var (X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y)‏ • Si X et Y sont indépendantes, alors Cov(X,Y) = 0 Var(S) = Var (X) + Var(Y) • La variance de la somme de variables aléatoires indépendantes est la somme de leurs variances.

4. Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM2 La moyenne d’un échantillon est une variable aléatoire • Soit une variable X de moyenne  et de variance ² • La moyenne Mn d’un échantillon de taille n est la moyenne arithmétique de ses valeurs X1, … , Xn • Mn a pour moyenne  et pour variance

5. Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM2 Théorème central limite • Quand la taille de l’échantillon est grande (tend vers l’infini), la distribution de la moyenne M des valeurs d’un échantillon tend vers une loi normale, quelle que soit la loi parente. • Soit une variable X de distribution quelconque, de moyenne  et de variance ² • La moyenne des valeurs d’un échantillon de taille n a une probabilité 1- d’appartenir à l’intervalle : • Condition de validité : n 30 • Il s’agit de l’intervalle de pari de la moyenne.

6. Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM2 Intervalle de pari d’une proportion • Quand la taille de l’échantillon est grande (tend vers l’infini), la distribution de la proportion P d’une caractéristique dans un échantillon tend vers une loi normale de moyenne p et de variance pq/n(la loi parente est une binomiale de paramètres n et p). • La proportion observée dans un échantillon de taille n a une probabilité 1- d’appartenir à l’intervalle : • Condition de validité : np et n(1-p) 5

7. Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM2 Estimation • Estimateur : c’est une caractéristique calculée en fonction des observations destiné à estimer la valeur d’un paramètre inconnu d’une loi de probabilité. • Estimateur sans biais : il donne en moyenne la valeur recherchée • Estimateur convergent : tend à se rapprocher de plus en plus de la valeur recherchée quand n augmente

8. Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM2 Estimation de la moyenne et de la variance d’un échantillon de taille n • Estimation de la moyenne  • Estimation de la variance ²estimateur sans biais

9. Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM2 Estimation de la moyenne et de la variance d’un échantillon de taille n • Estimation de la moyenne  • Estimation de la variance ²

10. Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM2 Estimation par intervalleIntervalle de confiance de la moyenne • Un intervalle de confiance d’un paramètre inconnu est une fourchette de valeurs construite de telle sorte qu’une proportion 1- des intervalles ainsi construits recouvrent la vraie valeur du paramètre estimé. • On dit aussi que le paramètre inconnu a une probabilité 1- de se trouver à l’intérieur de cet intervalle. • Intervalle de confiance au risque  de la moyenne  condition n  30m et s observés

11. Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM2 Intervalle de confiance d’une proportion • Intervalle de confiance au risque  d’une proportion  inconnue à partir d’un échantillon de taille n présentant une proportion p • conditions de validité : n  et n (1-) 5à vérifier aux bornes de l’intervalle

12. Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM2 Intervalle de confiance d’une proportion : exercice • Dans un registre de 11 712 naissances, enregistrées de façon systématique, le nombre de filles est égal à 5 778. • Donner une estimation de la proportion de filles, et du sexe-ratio (rapport G/F) au risque 5%. • Ce résultat vous fournit-il une information sur la vraisemblance de l’équiprobabilité des sexes dans la population étudiée ? • Proportion de filles 5778/11712 = 0,493 estim. Ponctuelle • Sexe-ratio1 est inclus dans l’intervalle

13. Pr P. Ingrand - Biostatistique PCEM2 Attention à bien distinguer : • Intervalle de variation • Concerne une variable aléatoire • Intervalle de pari • Concerne la loi connue d’un paramètre (moyenne, proportion, …)‏ • Intervalle de confiance • Concerne l’estimation d’un paramètre inconnu à partir d’observations tirées d’un échantillon