1 / 19

2.4.1. Geometrinen jono Jonon seuraava termi saadaan kertomalla edellinen termi samalla luvulla

2.4.1. Geometrinen jono Jonon seuraava termi saadaan kertomalla edellinen termi samalla luvulla Määritelmä Jono (a n ) on geometrinen, jos kaikilla n:n arvoilla pätee, että a n+1 / a n = q = vakio, jonka arvo ei riipu n:stä E.1. Voiko jono a) 3, 6, 12, 24, … b) -1, -8, -27, -81,…

marsden-emerson
Download Presentation

2.4.1. Geometrinen jono Jonon seuraava termi saadaan kertomalla edellinen termi samalla luvulla

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 2.4.1. Geometrinen jono Jonon seuraava termi saadaan kertomalla edellinen termi samalla luvulla Määritelmä Jono (an) on geometrinen, jos kaikilla n:n arvoilla pätee, että an+1 / an = q = vakio, jonka arvo ei riipu n:stä E.1.Voiko jono a) 3, 6, 12, 24, … b) -1, -8, -27, -81,… olla geometrinen a) Kyllä q = 2 b) Ei

  2. Lukujonon osoittaminen geometriseksi Lasketaan an+1 / an mielivaltaisella kohtaa n. Jos tämä arvo ei riipu kohdasta n, on jono geometrinen. E.2. Osoita, että jono an = 4·5n on geometrinen n:stä riippumaton vakio, joten lukujono on geometrinen

  3. Geometrisen jonon yleinen termi an an = aqn-1 missä a = jonon ensimmäinen termi q = suhdeluku Geometrisen jonon ratkaiseminen Lasketaan kaavan an = aqn-1 yhtälöstä kysytyn suureen (an, a, n tai q) arvo TAI ratkaistaan a ja q eo. yhtälöstä saatavan yhtälöparin avulla, sillä geometrinen jono on täsmälleen määrätty, jos tunnetaan a ja q.

  4. E.3. Mikä on geometrisen jonon 3, 6, 12, 24, … kymmenes termi? a = 3 q = 6 / 3 = 2 a10 = 3  210-1 = 1536

  5. E.4. Luku 8 on geometrisen jonon …, 4, 8, … kahdeksas termi. Mikä on ensimmäinen termi? q = 8/4 = 2 a8 = 8 8 = a  27 a = 1/16 an = aqn-1

  6. E.5. Monesko termi on luku 1 geometrisessa jonossa 256, 128, 64, …? a = 256 q = 128/256 = ½ 1 = 256  (½)n-1 (½)n-1 = 1/256 lg(½)n-1 = lg(1/256) n - 1 = lg(1/256)/lg(½) n – 1 = 8 n = 9 TAI (½)n – 1 = (½)8 n – 1= 8 n = 9 an = aqn-1

  7. E.6. Geometrisessa jonossa a1 = 8 ja a13 = 1/8. Mikä on jonon suhdeluku? 1/8 = 8  q 13- 1 q 12 = 1/64 q = an = aqn-1

  8. E.7. Geometrisen jonon suhdeluku on ½ ja a7 = 3. Mikä on jonon ensimmäinen termi? a = 192 an = aqn-1

  9. E.8. Geometrisen jonon a3 = 6 ja a7 = 24. Määritä a1 ja q. an = aqn-1

  10. E.9. Määritä x siten, että jono x , x - 2, 2x – 1,… on geometrinen. 2x2 – x = x2 – 4x +4 x2 + 3x – 4 = 0 Ratkaisukaavalla x = 1 tai x = -4 an = aqn-1

  11. 2.4.2. Geometrinen summa = on summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat geometrisen jonon Sn = a1 + a1q+ a1q2 + … + a1qn-1 = missä (ak) on päättyvä geometrinen jono ks. E.1. s. 106

  12. EI KIRJOITETA Onko summa geometrinen a) 8 + 16 + 32 + 64 on b) k:sta riippumaton vakio on c) 4 + 6 + 9 + 13 ei

  13. Geometrisen summan kaava Sn = kun q ≠ 1 Sn = kun q = 1 missä a = ensimmäinen yhteenlaskettava q = suhdeluku n = yhteenlaskettavien lkm

  14. E.10. Laske S10 summasta 2 + 4 + 8 + … a = 2 q = 4 : 2 = 2

  15. E.11. Geometrisessa summassa S10 = 1000 ja q = 2. Mikä on ensimmäinen termi? a(1 – 210) = -1000 a = 1000/1023

  16. E.12. Montako termiä summan 5 + 10 + 20 + … alusta on otettava, jotta summa ylittäisi 5115? a = 5 q = 2 5(1 – 2n) = -5115 1 – 2n = -1023 -2n = -1024 2n = 1024 2n = 210 n = 10 V: 11 termiä, jotta summa ylittäisi 5115

  17. Ks. kirjan esimerkit 2 – 3, s. 108 - 109 1.9. 10 senttiä 2.9. 20 senttiä 3.9. 40 senttiä jne. a) Kuinka paljon 10:ssä päivässä b) Kuinka paljon syyskuun lopussa? a = 10 q = 2 a) n = 10 b) n = 30 V: 102,30 € V: 107 374 182,30 €

  18. E.3. Joka kuukauden alussa 500 euroa tilille Vuotuinen korko 3,0 %. Korko tilille kuukausittain a) Kolmen vuoden kuluttua? b) Milloin 41 000 €? Korko kuukautta kohden 3/12 = 0,25 % 1. talletus 500  1,002536 (36 kuukautta tilillä) 2. talletus 500  1,002535 (35 kuukautta tilillä) … viimeinen 500  1,0025 (kuukauden tilillä) 3. vuoden kuluttua rahaa tilillä: 500  1,002536 + 500  1,002535 +…+500  1,0025 = 500(1,0025 + 1,00252 +…+1,002536 )

  19. b) Säästämisaika n kuukautta 1. talletus 500  1,0025n 2. talletus 500  1,0025n-1 … Viimeinen 500 1,0025 500  1,0025n + 500  1,0025n-1 +…+500  1,0025 = 500(1,0025 + 1,00252 +…+1,0025n ) -200 500(1 - 1,0025n) = 41000 1 - 1,0025n = -82/401 -1,0025n = -483/401 1,0025n = 483 / 401 n = lg (483/401)/lg 1,0025  74,5

More Related