1 / 42

Statystyka w biznesie

Statystyka w biznesie. Wykład 5 ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2 Przykłady zmiennych losowych dyskretnych – rozkłady dwumianowy i Poissona Rozkład normalny Centralne Twierdzenie Graniczne *Rozkład Studenta. Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa. Daniel Bernoulli (1700-1782).

mdale
Download Presentation

Statystyka w biznesie

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Statystyka w biznesie Wykład 5 ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2 Przykłady zmiennych losowych dyskretnych – rozkłady dwumianowy i Poissona Rozkład normalny Centralne Twierdzenie Graniczne *Rozkład Studenta

  2. Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa Daniel Bernoulli (1700-1782) Rozkład dwumianowy Niech będzie liczbą sukcesów w niezależnych doświadczeniach, z których każde może zakończyć się sukcesem z prawdopodobieństwem lub porażką z prawdopodobieństwem , . Wtedy gdzie (nsilnia)

  3. Rozkład dwumianowy Niech będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym . Wtedy

  4. Funkcje prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego

  5. Funkcje prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego

  6. Rozkład dwumianowy Przykład Wiadomo, że bezrobocie w pewnym mieście wynosi 20%.Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wylosowanej grupie 14 osób. • Dokładnie 3 są bezrobotne? • Co najmniej 3 są bezrobotne? Niech będzie liczbą bezrobotnych w wylosowanej grupie 14 osób. ma rozkład dwumianowy z 4 i 2.

  7. Rozkład dwumianowy. Przykład c.d.

  8. Rozkład dwumianowy. Przykład c.d. Zatem

  9. Rozkład dwumianowy. Przykład c.d. Średnia liczba bezrobotnych w badanej grupie: przy odchyleniu standardowym

  10. Wybrane rozkłady dyskretne – rozkład Poissona Siméon Denis Poisson (1781-1840) Rozkład Poissona, Po(λ) NiechX będzie liczbą zdarzeń w określonym odcinku czasu oraz gdzie • jest średnią liczbą zdarzeń w rozważanym czasie

  11. Funkcje prawdopodobieństwa rozkładu Poissona

  12. RozkładPoissona Przykład. Średnia liczba reklamacji zgłaszanych w ciągu godziny w pewnym punkcie obsługi klienta w godzinach 10-14wynosi 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że o tej porze dnia • dojdzie do 2 zgłoszeń w ciągu godziny? • nie będzie żadnej reklamacji przez godzinę? • dojdzie do co najmniej 5 zgłoszeń w ciągu godziny? Niech będzie liczbą zgłoszonych reklamacji w ciągu godziny o rozważanej porze dnia. ma rozkład Poissona ze średnią .

  13. RozkładPoissona. Przykład c.d. • =1-0,6288=0,3712

  14. Rozkład normalny Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Rozkład normalny Rozkład normalny o średnieji wariancji (równoważnie odchyleniu standardowym ) dany jest gęstością: gdzie , ,

  15. Wartość oczekiwana-– parametr położenia; odchylenie standardowe – parametr skali

  16. Rozkład normalny Jeśli i są, stałymi, , a jest zmienną losową o rozkładzie normalnym to ma również rozkład normalny o wartości oczekiwanej i wariancji .

  17. Rozkład normalny. Zasada 68-95-99,7 (zasada , 3) •68%; •95%; •99,7% Zmienna o rozkładzie normalnym –średnia, –odchylenie standardowe, podlega zasadzie68-95-99,7

  18. Standardowy rozkład normalny Jeśli ma rozkład normalny wtedy zmienna losowa ma rozkład normalny standardowy rozkład normalny.

  19. Własności ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa

  20. Własności ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa

  21. Własności standardowego rozkładu normalnego,

  22. Własności standardowego rozkładu normalnego,

  23. np.

  24. Rozkład normalny Przykład Dzienne zużycie wody na osobę ()w pewnym mieście jest zmienna losową o rozkładzie normalnym ze średnią 20() litrówi odchyleniem standardowym 5() litrów. • Jaki procent mieszkańców ma dzienne zużycie wody między 15 a 25 litrów? • Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba zużywa między 20 a 24 litrów wody dziennie?

  25. Rozkład normalny. Przykład c.d. 0,7881-0,5=0,2881

  26. Rozkład normalny Przykład Ocena z egzaminu. Egzaminator zbadał, że rozkład wyników z egzaminu z ekonomii jest normalny ze średnią 72 i odchyleniem standardowym 5. Zapowiedział, że 15% osób o najlepszych wynikach otrzyma ocenę bardzo dobrą.Jaki jest najniższy wynik, który zapewnia studentowi ocenę bardzo dobrą? Niech będzie zmienną o rozkładzie normalnym z i . Oznaczmy przez a graniczny wynik, który oddziela ocenę +dbod bdb. Jeśli 15%studentów uzyskało wynik co najmniej a, to 85%miało mniej niża.Czyli: .

  27. Rozkład normalny. Przykład c.d. Szukamy takiego, że: , gdzie jest dla z=1,04 Zatem oraz

  28. Własności rozkładu normalnego Rozkład sumy zmiennych o rozkładach normalnych Niech i będą zmiennymi losowymi o rozkładach i , odpowiednio. Wtedy zmienna losowa ma również rozkład normalny, o wartości oczekiwanej . Jeśli i są dodatkowo niezależne, to .

  29. Własności rozkładu normalnego Przykład W badaniach prowadzonych przez NASCAR okazało się, że komplet opon nowego typu zużywa się średnio po przejechaniu 168mil z odchyleniem standardowym 14 mil. „Czas życia” (liczony w liczbie przejechanych mil) zestawu opon ma rozkład normalny i nie zależy od żywotności innych opon. • Jeśli zespół planuje zmienić opony raz podczas wyścigu o długości 500mil, jaka jest wartość oczekiwana i odchylenie standardowe dystansu, jaki pokona samochód? • Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie trzeba będzie zmieniać opon drugi raz w trakcie wyścigu?

  30. Rozkład normalny. Przykład c.d. Niech dystansem przejechanym na pierwszym zestawie opon, a – dystansem przejechanym na drugim zestawie opon. i są niezależne i o tym samym rozkładzie. Ponieważ ma rozkład normalny,

  31. Przykład W badaniu zapytano losowo wybraną próbę 2500 dorosłych o to, czy zgadzają się ze stwierdzeniem „lubię kupować nowe ubrania, ale zakupy często okazują się frustrujące i czasochłonne”. Załóżmy, że 60% wszystkich dorosłych zgadza się z tym stwierdzeniem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odsetek osób o tych poglądach w próbie przekracza 58%? Niech X będzie liczbą osób w próbie o rozważanym poglądzie. X ma rozkład dwumianowy o i. – odsetek osób o rozważanej opinii, proporcja próbkowa Obliczymy:

  32. =0,9782

  33. Przykład c.d. Ddwumianowy

  34. Centralne Twierdzenie Graniczne Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa z wartością oczekiwaną i wariancją Wtedy gdzie ma rozkład

  35. Centralne Twierdzenie Graniczne Z CTG wynika, że rozkład sumy rozważanych zmiennych - , dla dużych można przybliżać rozkładem normalnym Równoważnie: ma w przybliżeniu rozkład normalny

  36. Centralne Twierdzenie Graniczne dla rozkładu dwumianowego Załóżmy, że jest liczbą sukcesów w niezależnych próbach kończących się sukcesem z prawdop. albo porażką z prawdop. . Zauważmy, że gdzie: gdy w -ta próba kończy się sukcesem, gdy -ta próba kończy się porażką, Zatem na mocy CTG: ma w przybliżeniu rozkład normalny

  37. Centralne Twierdzenie Graniczne dla rozkładu dwumianowego Rozkład dwumianowy można przybliżać rozkładem normalnym

  38. Centralne Twierdzenie Graniczne Przykład c.d. Niech będzie zmienną o rozkładzie dwumianowym o i. Rozkład ten można przybliżyć rozkładem normalnym o średniej i wariancji Liczymy . (wartość dokładna 0,9782)

  39. Rozkład Studenta William Gosset(1876-1937) lub rozkład , oznaczany , – liczba stopni swobody. Rozkład zmiennej losowej: gdzie są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie

  40. Dla rozkład Studenta można przybliżać rozkładem normalnym

More Related