Metody ekonometryczne

Metody ekonometryczne ćwiczenia 6 Modele z restrykcjami Testowanie stabilności Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

Ograniczenia dla parametrów minimalizacja względem b bez warunków ograniczających daje: możemy jednak nałożyć (i przetestować) na wektor parametrów b ograniczenia liniowe: w zapisie (krótszym i wygodniejszym) macierzowym: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

KMNK przy warunkach pobocznych p.w. : Oznaczmy: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Walda H0: H1: m – liczba warunków ograniczających Statystyka testowa ma rozkład F (m, n-K-1). Odrzucamy H0 przy wartości wyższej od wartości krytycznej dla danego poziomu istotności (p-value niższym od tego poziomu). Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test istotności zestawu zmiennych jako test Walda (1) • Czy cały zestaw zmiennych objaśniających jest istotny? H0: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test istotności zestawu zmiennych jako test Walda (2) • Czym jest RRSS? Jeżeli H0 jest prawdziwa, model zawiera tylko stałą i żadnych zmiennych. Jaka STAŁA jest najlepiej dopasowana do wszystkich y? Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Restrykcje liniowe w Gretlu • W oknie modelu (bez restrykcji), który wcześniej oszacowaliśmy: Testy / test liniowych restrykcji. • Wpisujemy kolejno równania liniowych restrykcji jak powyżej: • b[1] oznacza pierwszy w kolejności w równaniu oszacowany parametr (stała, jeżeli model ze stałą) • kolejne b[2], b[3] itd. • Otrzymujemy model oszacowany przy warunkach ograniczających i test zasadności tych ograniczeń. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Przykłady • Funkcja produkcji: Cobba-Douglasa vs translogarytmiczna (hipoteza zagnieżdżona) • Funkcja produkcji: stałe przychody skali (hipoteza dotycząca liniowej funkcji parametrów) • funkcja_produkcji.gdt Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Chowa (breakpoint) (1) • Potraktujmy założenie o niezmienniczości parametrów dla całego okresu próby jako hipotezę, którą można testować za pomocą testu Walda. Z T okresów wybierzmy dwie podpróby: (1,...,T1) i (T1+1,...,T), T1+T2=T. Model w pierwszej podpróbie ma parametry b1, w drugiej b2. dane do modelu z restrykcją H0: dane do modelu bez restrykcji Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Chowa (breakpoint) (2) • Model ogólny: • Model z restrykcjami (w sumie K restrykcji, każda dotycząca jednej „pary” parametrów): Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Chowa (breakpoint) (3) • Liczba warunków ograniczających: (K+1) • stałość parametrów przy K zmiennych i przy stałej • Liczba stopni swobody dla modelu bez ograniczeń: [n-2(K+1)] • liczba obserwacji minus liczba oszacowanych parametrów • Stąd statystyka testowa (test Chowa oparty na analizie wariancji): • Rozkład F z (K+1), (n-2K-2) stopniami swobody. Wysokie wartości statystyki (p-value niższe od założonego poziomu istotności) świadczą o odrzuceniu H0 o stabilności parametrów. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Chowa w Gretlu • Zbadaj stabilność parametrów funkcji produkcji. • Jaka jest wada tego testu? Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Chowa (forecast) (1) • Gdy jedna z podprób jest mała i nie można oszacować dla niej osobnych parametrów, porównujemy dwie inne sumy kwadratów reszt: • modelu oszacowanego na całej próbie (RRSS – dlaczego?) • modelu oszacowanego na „dużej” podpróbie (RRS1) Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Chowa (forecast) (2) • Statystyka testowa (pozostałe oznaczenia i decyzja weryfikacyjna jak poprzednio): • Interpretacja: • b jest wektorem parametrów oszacowanych na „dłuższej” podpróbie, jeżeli model jest stabilny, to wektor błędów prognozy ex post g (obliczony na podstawie tego modelu dla „krótszej” podpróby) powinien nie różnić się statystycznie istotnie od zera Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Chowa (forecast) (3) • Ćwiczenie: wykonaj predykcyjny test Chowa dla funkcji produkcji, odpowiadając na pytanie, czy parametry modelu w ostatnich 7 latach próby nie uległy zmianie. • W Gretlu ten test nie jest oprogramowany. Ale możemy: • oszacować model (1) na podstawie całej próby • oszacować model (2) na podstawie podpróby (T-7) pierwszych obserwacji • znając sumy kwadratów reszt obu modeli i odpowiednie stopnie swobody, obliczyć statystykę testową • za pomocą Narzędzia/Tablice statystycze/ albo Narzędzia/Wyznaczanie wartości p zweryfikować hipotezę. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Hansena (1) • Jeżeli oszacujemy model za pomocą MNK, to mamy następujące własności reszt et • t-ty składnik sumy w pierwszym równaniu to wektor Kx1, w drugim – skalar. Niech wektor ft o wymiarach (K+1)x1 będzie tym wektorem z dołączonym (jako K+1-sza współrzędna) skalarem. • Niech Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Hansena (2) • Statystyka testowa Hansena jest obliczana jako ślad (suma elementów diagonalnych) macierzy F-1S: • Wysokie wartości H świadczą o niestabilności modelu. • Pakiet PcGive ma zaimplementowany test Hansena dla całego modelu, jak i dla pojedynczych parametrów. • Asymptotyczne wartości krytyczne podane przez Hansena: 1.01 (K=2), 1.9 (K=6), 3.75 (K=15), 4.52 (K=19). • Zaleta: hipoteza alternatywna nie zakłada konkretnego momentu zmiany, a głosi niestabilność modelu w ogóle. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test Hansena w Excelu • Szacujemy model KMNK. Mnożymy każdy element wiersza macierzy X dla danej obserwacji (łącznie z 1 dla „stałej”) przez resztę losową dla tej obserwacji. Obliczamy też dla każdej reszty odchylenie jej kwadratu od średniego kwadratu reszty losowej. • Obliczamy wektory st jako sumy (od pierwszej obserwacji do danej) wektorów ft. • Dla każdej obserwacji obliczamy wszystkie możliwe dwuczynnikowe iloczyny elementów wektora ft. To samo powtarzamy dla st. • Sumujemy iloczyny. Dla sum ft, sumy mnożymy przez ilość obserwacji. • Sumy układamy w odpowiednich elementach macierzy F i S. Pamiętamy o symetryczności tych macierzy. • Obliczamy sumę elementów diagonalnych macierzy F-1S. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test CUSUM (1) • Dla każdego okresu, szacujemy model na podstawie wszystkich poprzednich okresów (z parametrami bt) i obliczamy jednookresowy błąd predykcji. • Jak wiemy z Ekonometrii I, średni błąd tej predykcji to: • Skalujemy każdy błąd predykcji: • Szacujemy wariancję reszt: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test CUSUM (2) • Obliczamy statystykę testową CUSUM: • Hipoteza o stabilności modelu jest odrzucana, gdy statystyka wychodzi poza przedział ufności. • Test nie wymaga założenia o konkretnym punkcie przełomu. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Test CUSUM w Gretlu Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Literatura do ćwiczeń 2 • Maddala 4.8, Welfe 2.9 • Aby dowiedzieć się więcej o działaniu testu F i testowaniu liniowych restrykcji dla parametrów • Maddala 4.12 • Alternatywne testy restrykcji (przy założeniu, że próba jest duża) – dla miłośników tematu  • Maddala 4.11 • Powtórzenie o testach stabilności parametrów, omówienie ich wad i zalet • Dla chętnych: • testy Hansena i CUSUM opisane m.in. w Greene (2000, s. 134 nn.); • KMNK przy warunkach pobocznych – zob. Welfe. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Praca domowa • Dla chętnych: słynny tekst R. Lucasa o zmianach w systemach gospodarczych i ich ekonometrycznych konsekwencjach („krytyka Lucasa”). Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Wiosna 2007/2008

Metody ekonometryczne