Gráficos de Ligaduras I

1. Hasta ahora hablamos de modelado orientado a objetos, de los sistemas EDA que resultan de aquellos modelos y de los algoritmos de la manipulación simbólica de formulas que se requieren para convertir sistemas EDA implícitos a sistemas EDO explícitos. No discutimos todavía de donde vienen los sistemas EDA. Por esa razón tuvimos que limitar la discusión a sistemas muy simples (circuitos eléctricos y sistemas mecánicos en el plano) para las cuales ya conocemos los modelos de sus elementos. Ahora se desarrollará una metodología de modelado de sistemas menos bien conocidos y discutimos como pueden obtenerse modelos físicamente correctos para ellos. Gráficos de Ligaduras I

2. Energía y potencia Flujos de potencia Gráficos de ligaduras no causales Un ejemplo Gráficos de ligaduras causales Contenido

3. Todos los sistemas físicos tienen en común las leyes de laconservación de la energía y de la masa. Los gráficos de ligaduras tratan íntimamente con la conservación de la energía en un sistema físico. Ya que energía se conserva en un sistema cerrado, la energía en un tal sistema puede modificarse solamente por tres mecanismos: Energía y Potencia Energía puede ser almacenada. Energía puede ser transportada de un sitio a otro. Energía puede ser convertida de una forma a otra.

4. La energía (E) acumulada en un lugar puede cambiar solamente si energía adicional llega o si energía sale. En los dos casos se necesitan flujos de energía que pueden modelarse como derivadas de la energía con respecto al tiempo. La variable P se llama la potencia. La energía tiene la unidad de Joule [J] mientras que la potencia tiene la unidad de Watt [W]. P = dE/dt Energía y PotenciaII

5. En todos los sistemas físicos flujos de potencia pueden escribirse como productos de dos variables físicos diferentes. Una entre ellas es una variable extensiva (es decir, proporcional a la cantidad), mientras que la otra es un variable intensiva (independiente de la cantidad). En el caso de flujos de energía acoplados puede suceder que un solo flujo de energía tiene que modelarse por la suma de productos de tales variables adjuntas. Ejemplos: [W] = [V] · [A] Pel = u · i Pmech = f · v = [N] · [m/s] = [kg · m2 · s-3] Energía y Potencia III

6. El modelado de sistemas físicos usando gráficos de ligaduras se efectúa por una descripción gráfica de flujos de potencia. Los flujos de potencia se representan por arpones. Las dos variables adjuntas que representan el flujo de potencia se anotan por encima (variable intensiva: el “potencial” e) y por debajo (variable extensiva: el “flujo” f) del arpón. El anzuelo del arpón siempre se pone a la izquierda del arpón en la dirección del flujo positivo y el término “por encima” se refiere al lado del anzuelo. e:Esfuerzo f:Flujo e P = e · f f Flujos de Potencia

7. i Se + i 0 0 Energía se añade al sistema I Voltaje y corriente tienen direcciones opuestas 0 v v v u u U v U b a a b I 0 I 0 Sf U 0 Gráficos de Ligaduras no Causales  

8. R i R C I Voltaje y corriente tienen dirección idéntica i i i C i u v v u v v v u u u v u b b a b a a Energía se desangra del sistema L i Elementos Eléctricos Pasivos en la Representación de Gráficos de Ligaduras   

9. e2 e2 e1 = e2 e2 = e3 f1 – f2– f3 = 0 f2 f2 e1 e1 0 1 e3 e3 f1 f1 f3 f3 f1= f2 f2 = f3 e1 – e2– e3= 0 Uniones  

10. v0 iL iL uL iL i1 v1 u1 u2 i2 v2 v2 v1 v0 i1 i1 i2 i2 v2 iC v1 i0 iC iL v2 U0 v1 uC i1 i0 i2 i0 v0 iC i0 v0 iC v1 Un Ejemplo I v2 v0

11. iL v0 iL uL v1 u2 i2 iL u1 i1 v1 v2 v2 v0 i1 i1 i2 i2 v2 iC v1 i0 iC U0 uC i0 v0 iC v0 i0  v0 = 0 P = v0 · i0 = 0 Un Ejemplo II

12. uL iL u1 i1 v1 v2 u2 i2 i1 i1 uC iC i0 U0 Un Ejemplo III

13. Cada ligadura define dos variables separadas: el esfuerzo e y el flujo f. Por consecuencia se necesitan dos ecuaciones para obtener los valores numéricos de estas dos variables. Resulta que una de esas dos variables se evalúa en un lado de la ligadura y la otra en el lado opuesto. Una barra vertical simboliza el lado donde se evalúa el flujo. e f Gráficos de Ligaduras Causales

14. El flujo tiene que evaluarse en el otro lado. Se i 0 La fuente define el esfuerzo. U u I 0 Sf La fuente define el flujo.  La causalidad de las fuentes es fija. “Causalización” de las Fuentes U0 = f(t) I0 = f(t)

15. I R C R u = R · i i = u/ R i i i i  La causalidad de resistores es libre. u u u u du/dt = i / C di/dt = u / I  La causalidad preferida de los elementos de almacenaje es decidida por el deseo de usar integradores en lugar de diferenciadores. “Causalización” de los Elementos Pasivos

16. e2 e2 e2 = e1 e3 = e1 f1 = f2+ f3 f2 f2  e1 e1 1 0 e3 e3 f1 f1 f3 f3 f2= f1 f3 = f1 e1 = e2+ e3  “Causalización” de las Uniones Uniones del tipo 0 definen una sola ecuación de flujos. Por consecuencia tienen una sola barra de causalidad. Uniones del tipo 1 definen una sola ecuación de esfuerzos. Por consecuencia tienen exactamente (n-1) barras de causalidad.

17. U0 .e = f(t) U0 .f = L1 .f + R1 .f dL1 .f /dt = U0 .e / L1 R1 .e = U0 .e –C1 .e U0.e R1.e R1 .f = R1 .e / R1 C1 .f = R1 .f –R2 .f C1.e C1.e U0.e dC1 .e /dt = C1 .f / C1 R2 .f = C1 .e / R2 C1.f R1.f R1.f R1.f L1.f U0.f R2.f C1.e U0.e Un Ejemplo IV

18. Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 7. Cellier, F.E. (1992), “Hierarchical non-linear bond graphs: A unified methodology for modeling complex physical systems,” Simulation, 58(4), pp. 230-248. Cellier, F.E., H. Elmqvist, and M. Otter (1995), “Modeling from physical principles,” The Control Handbook (W.S. Levine, ed.), CRC Press, Boca Raton, FL, pp. 99-108. Referencias I

19. Cellier, F.E. (1997), “World Wide Web - The Global Library: A Compendium of Knowledge About Bond Graph Research,” Proc. ICBGM'97, 3rd SCS Intl. Conf. on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, AZ, pp.187-191. Referencias II