Methoden en Technieken van Onderzoek

1. Methoden en Technieken van Onderzoek Thierry Marchant

2. Toevalsproces en gebeurtenis • Toevalsproces : process waarvan de uitkomst onvoorspelbaar is. • Gebeurtenis : deelverzameling van mogelijke uitkomsten • Voorbeeld : de worp van een dobbelsteen. • {1} is een gebeurtenis • {1,2,3} is een gebeurtenis (kleiner dan 4) • {2,4,6} is een gebeurtenis (even)

3. Voorbeeld : de hoogte van een bij toeval getrokkene persoon meten. • {1.75m} is een gebeurtenis • [1.75, 1.80] is een gebeurtenis • [1.80, + ] is een gebeurtenis • De zekere gebeurtenis E is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten. • Voorbeelden : {1,2,3,4,5,6} [0, + ]

4. Bewerkingen met gebeurtenissen • De unie : ABis de verzameling van alle elementen die in Aof in Bof in beide zijn. • {4,5,6} {2,4,6} = {2,4,5,6} • De doorsnede : ABis de verzameling van alle elementen die in Aen in B zijn. • {4,5,6} {2,4,6} = {4,6}

5. De complementaire gebeurtenis • De complementaire gebeurtenisA* van A is de gebeurtenis dat zich voordoet als en slechts als A zich niet voordoet. A A* =  en AA*= E • Voorbeeld : {1,3,5} en {2,4,6} zijn complementair. • Voorbeeld : munt en kruis zijn complementair. • Voorbeeld : mannelijk en vrouwelijk zijn complementair. • …

6. Kans : definitie Toevalsexperiment : worp van een munt Aantal herhalingen : n Aantal ‘munt’ : fmunt Proportie ‘munt’ :

7. Kans : definitie Proportie van de gebeurtenis “munt” bij n worpen. 1 1/2 0 Aantal worpen = n

8. 0 < P(A) <1 In het algemeen • De kans van een gebeurtenis A is bij een toevalsproces is de proportie van A als we het toevalsproces eindeloos zouden herhalen. Kans = proportie met n oneindig. Idealisering van het toeval.

9. De kans van een unie • Als A B =  danP(AB) = P(A) + P(B). • Voorbeeld : worp van een dobbelsteen • A = {1,2}, B = {3} , P(AB) = 2/6 + 1/6 = 1/2 • C = {2,3}. Hoeveel isP(AC) ? P(A) + P(C) = 2/6 + 2/6 = 2/3. MaarAC = {1,2,3} = AB. • P(AB) = P(A) + P(B) - P(A  B). • Voorbeeld : P(AC) = 2/6 + 2/6 - 1/6 = 1/2.

10. Voorbeeld: trekking van een student in een groep van 100. Afhankelijke gebeurtenissen • Twee gebeurtenissen zijn afhankelijk als het voorkomen van de ene de kans van de andere beïnvloedt. P(vrouw) = 70/100 = 0.7, P(lange haren) = 60/100 = 0.6 P(korte haren) = 0.4 P(vrouw als lange haren) = 50/60 = 0.83  0.7. De gebeurtenissen “vrouw” en “lange haren” zijn afhankelijk. P(korte haren als vrouw) = 20/70 = 0.29  0.4. De gebeurtenissen “korte haren” en “vrouw” zijn afhankelijk.

11. Voorbeeld: trekking van een student in een groep van 100. P(vrouw) = 70/100 = 0.7, P(bril) = 20/100 = 0.2 P(zonder bril) = 0.8 Onafhankelijke gebeurtenissen • Twee gebeurtenissen zijn onafhankelijk als het voorkomen van de ene de kans van de andere niet beïnvloedt. P(vrouw als bril) = 14/20 = 0.7 = P(vrouw) De gebeurtenissen “vrouw” en “met bril” zijn onafhankelijk. P(zonder bril als vrouw) = 56/70 = 0.8 = P(zonder bril) . De gebeurtenissen “zonder bril” en “vrouw” zijn onafhankelijk.

12. Voorbeeld : worp van een dobbelsteen. • A = {1,2,3} en B = {5,6}. A = {1,2,3} en D = {1,2,5}. F = {1,2,3,4} en G = {2,4,6}.

13. Voorwaardelijke kans • De kans dat A zich voordoet op voorwaarde dat B zich ook voordoet, wordt voorwaardelijke kans genoemd. Symbool : P(A|B) • Afhankelijkheid : formele definitie. • P(A|B) = P(A) voor onafhankelijke A en B. • P(A|B) P(A) voor afhankelijke A en B. • Voorbeeld : A = {1,2,3} en D = {1,2,5}. • P(A) = 1/2 , P(D) = 1/2 , P(A|D) = 2/3 P(A) • A enDzijn dus afhankelijk.

14. P(vrouw|lange haren) = 50 = 50/100 = P(vrouw lange haren) 6060/100 P(lange haren) • Voorbeeld: trekking van een student in een groep van 100. P(vrouw) = 70/100 = 0.7, P(lange haren) = 60/100 = 0.6 P(vrouw|lange haren) = 50/60 • Definitie : P(A|B) = P(A  B) / P(B)

15. De kans van een doorsnede • P(A|B) = P(A  B) / P(B). • Bijgevolg,P(A  B) = P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A) • Voor onafhankelijke gebeurtenissen,P(A|B) = P(A). Dus, P(A  B) = P(A) P(B). • Voorbeeld : A = {1,2,3,4} en B = {2,4,6}. We weten al dat P(B|A) = 1/2. Dus, P(A  B) = P(B|A) P(A) = 1/2 x 2/3 = 1/3. • Inderdaad, P(A  B) = P({2,4}) .