1 / 62

VEKTOR JAWAB

VEKTOR JAWAB. Xo. Xo. tidak khas/umum. khas. Matriks. b = l. b = l. b ≠ l ; b<l. M b. M b. M bxl. D = 0. M b. | M b | ≠ 0. | M <b | ≠ 0. | M ≤b | ≠ 0. M u. M -1. Xo. Xo. Lebih dari 1 jawaban. Hanya 1 jawaban. Persamaan linier. Vektor Jawab Khas.

melva
Download Presentation

VEKTOR JAWAB

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. VEKTOR JAWAB Xo

  2. Xo tidak khas/umum khas Matriks b = l b = l b ≠l ; b<l Mb Mb Mbxl D = 0 Mb |Mb| ≠0 |M<b| ≠0 |M≤b| ≠0 Mu M-1 Xo Xo Lebih dari 1 jawaban Hanya 1 jawaban

  3. Persamaan linier Vektor Jawab Khas 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 2 1 2 x1 = x2 x3 x1 = … x2 = … x3 = … 2 1 2 1 3 4 2 4 6 2 3 2 xo = y M

  4. Vektor Jawab Khas Matriks Kebalikan Matriks Ajugat Cara Penyapuan Transformasi Linier Metoda Cramer Metoda Doolittle

  5. Cara pengolahan : Matriks Kebalikan MXO= y XO=  Ubah susunan persamaan linier menjadi : 3 x 3 3 x 1 y11 y21 y31 m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 a. Matriks Ajugat  Tentukan matriks kebalikan M M-1 M b. Cara Penyapuan

  6. a. Matriks Ajugat Md= ( mij)d Tentukan determinan matriks Md ( DM ) m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 DM =  Kd’ = (nji)d Kd = (nij)d Tentukan matriks Kd dari matriks Md (unsur-unsur matriks Kd dihitung dengan cara kofaktor); putar *Algoritma (silang) *Minor & kofaktor *Cara penyapuan

  7. Tentukan kebalikan matriks Md ( M-1 ) |M| DM = M-1 = K’ Hitung vektor jawabnya XO= M-1 y 1 | M | 1 DM = K’

  8. CL VJ01A SL VJ01A 1. Tentukan vektor jawabnya (matriks ajugat) dari persamaan linier sbb : 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4 JCL VJ01A-1 : 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4

  9. Penyelesaian (matriks ajugat) :  Susun ulang menjadi : y M XO = 2 1 2 1 3 4 2 2 3 2 1 2 1 3 4 2 2 3 2 3 4 (3 x 3) (3 x 1) (3 x 1)  Menentukan determinannya : Det = -1 (berarti M matriks tak singular; berpangkat penuh)

  10.  Menentukan matriks kanoniknya : K’ = 1 1 -2 5 2 -6 -4-25 K = 1 5 -4 2 -2 -2-65 K a11 = 1 a12 = 5 a13 = -4 a21 = 1 a22 = 2 a23 = -2 a31 = -2a32 = -6a33 = 5 2 1 2 1 3 4 2 2 3  Putar matriks kanoniknya : 

  11.  Menghitung vektor jawabnya : XO = (1/-1) K’. y = M-1 . y = (1/-1) 2 3 4 1 1 -2 5 2 -6 -4-25 = 3 8 -6

  12. (transformasi dasar) b. Cara Penyapuan [penyapuan baris] Gandengkan matriks M dengan matriks identitas 1 0 0 0 1 0 0 0 1 m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 ( M I ) = Olah matriks M menjadi matriks I; Olah matriks I menjadi matriks M-1 Langkah  : Olah matriks M menjadi *matriks bawah (dlm proses pengolahan usaha-kan nilai unsur-unsur m12, m13, m23 bernilai 0) atau *matriks atas (dlm proses pengolahan usahakan nilai unsur-unsur m21,m31, m32 bernilai 0)

  13. Langkah  : Olah nilai unsur-unsur *matriks bawah (m21,m31, m32) bernilai 0 atau *matriks atas (m12,m13, m23) bernilai 0 Hasil pengolahan kedua langkah ini diperoleh : matriks M menjadi matriks Identitas matriks Identitas menjadi matriks M-1  Hitung vektor jawabnya XO= M-1 y

  14. CL VJ01B SL VJ01B 1. Tentukan vektor jawabnya (matriks ajugat) dari persamaan linier sbb : 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 4 JCL VJ01B-1 : 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 4

  15. Penyelesaian (cara penyapuan; transformasi linier) :  Susun ulang menjadi : y M XO = 2 1 2 1 3 4 2 4 6 2 3 4 (3 x 3) (3 x 1) (3 x 1)

  16.  Menentukan matriks kebalikan M : 2 1 2 1 0 0 1 3 4 0 1 0 2 4 6 0 0 1 1 0 0 1 1 -1 -1 1 0 0 3 -2 1 1 2 0 -1 1 E3.2(-1) E1.3(-1) M I E2.3(-2) 1 0 0 1 1 -1 0 1 0 1 4 -3 0 0 1 -1 -3 5/2 E2.1(1) E3.1(-1) E3.2(-1) I M-1 E3(1/2)  Menghitung vektor jawabnya : XO = M-1= = 1 1 -1 2 4 -3 -1 -3 5/2 2 3 2 2 3 2 3 8 -6

  17. Transformasi linier Pengolahan baris matriks transformasi dasar (penyapuan baris) terhadap matriks gandengan (M,y) Cara pengolahan :  Ubah susunan persamaan linier menjadi : XO= y11 y21 y31 m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 MXO= y 3 x 3 3 x 1

  18. Gandengkan matriks M dengan vektor y. y11 y21 y31 m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 Lakukan pengolahan baris matriks M dengan arahan menjadi matriks bawah atau matriks atas. Tentukan pangkat : matriks gandengan dan matriks M p(M,y) dan p(M) Telaah lebih dulu apakah p(M,y) = p(M). Bila p(M,y) ≠ p(M), berarti Xo tidak khas.

  19. Susun matriks gandengan “hasil olahan” menjadi persamaan linier. Xo diperoleh dari hasil olahan substitusi.

  20. CL VJ02 SL VJ02 1. Tentukan vektor jawabnya (transformasi linier) dari persamaan linier sbb : 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4 JCL VJ02-1 : 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4 Persamaan linier :

  21. Penyelesaian : (transformasi linier)  Susun ulang menjadi : 2 3 2 2 3 4 2 1 2 1 3 4 0 1 1 2 1 2 1 3 4 2 2 3 E3.1(-1) y M XO = 2 1 2 1 3 4 2 2 3 (3 x 3) (3 x 1) 2 3 4 (3 x 1)  Pengolahan baris terhadap matriks gandengannya E2.3(-3)

  22. E1.2(-2) E3.1(-1) 5 2 -6 2 -3 2 5 8 -6 8 -3 2 8 -3 -6 -3 8 -6 2 1 2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 E1.2(1) E1.2 E2.3(1) p(M,y) = p(M) = 3 “persamaan linier di atas bersifat setara”

  23.  Susun persamaan linier hasil olahan dan tentukan Xonya x1 + x2 + x3= 5 x2 + x3= 2 x3 = -6 substitusi X0= 3 8 -6

  24. Metoda Cramer 1 |M| Xo = (mji)k.yk m11 m12………… mk1 m12 m22………… mk2 . . . . . . . . . m1k m2k………… mkk (mji)n.yn = Y1 y2 . . . yk = (m1j.y1+ m2j.y2+ …… + mkj.yk)

  25. atau 1 |M| XOj = (m1jy1+ m2jy2+ …. + mkjyk) 1 |M| mi1yi mi2yi . . . mikyi = Tiap pengolahan disisipkan nilai vektor y ke dalan tiap jalur dalam matriks untuk m11 m12 …… m1.j-1y1m1.j+1 …… m1k m21 m22 …… m2.j-1y2m2.j+1 …… m2k . . . . . . . . . . . . mk1 mk2 …… mk.j-1 yk mk.j+1 …… mkk 1 |M| =

  26. Cara pengolahan :  Ubah susunan persamaan linier menjadi : MXO= y 3 x 3 3 x 1 XO= y11 y21 y31 m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 Sisipkan nilai vektor y ke dalan tiap jalur dalam matriks : y11 m12 m13 y21 m22 m23 y31 m32 m33 m11y12 m13 m21y22 m23 m31y32 m33 = = 1 2

  27. m11 m12 y13 m21 m22 y23 m31 m32 y33 =  Tentukan determinan matriks M dan ketiga Segitiga-Matriks : a. algoritma M b. minor-kofaktor M c. cara penyapuan a. algoritma j 3 b. minor-kofaktor c. cara penyapuan

  28.  Tentukan vektor jawabnya : X0j X01 X0= X02 X03 1 |M| =

  29. CL VJ03 SL VJ03 1. Tentukan vektor jawabnya dari persamaan linier sbb : (determinan dihitung dengan cara algoritma) 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4 2. Bila determinan matriks dihitung dengan cara minor-kofaktor, tentukan vektor jawabnya. 3. Bila determinan matriks dihitung dengan penyapuan, tentukan vektor jawabnya.

  30. JCL VJ03-1 : Hitung determinan cara algoritma

  31. Cara minor-kofaktor JCL VJ03-2 : XO= 2 1 2 1 3 4 2 4 6 2 3 2 Det = 2 2 2 2 1 3 4 2 2 6 2 1 2 3 3 4 2 4 6 2 1 2 1 3 3 2 4 2

  32. 2 1 2 3 3 4 2 4 6 = (-1)1+1 2 (-1)1+2 1 (-1)1+3 2 3 4 4 6 3 4 2 6 3 3 2 4 = +2 (2) -1(10) +2(6) = +6 2 2 2 1 3 4 2 2 6 = (-1)1+1 2(-1)1+2 2(-1)1+3 2 3 4 2 6 1 3 2 2 1 4 2 6 = +2 (10) -2(-2) +2(-4) = +16

  33. 2 1 2 1 3 3 2 4 2 = (-1)1+1 2(-1)1+2 1(-1)1+3 2 3 3 4 2 1 3 2 2 1 3 2 4 = +2 (-6) -1(-4) +2(-2) = -12 3 8 -6 X0= X01= ½ (6) = 3 X02= ½ (16) = 8 X03= ½ (-12) = -6

  34. Cara penyapuan JCL VJ03-3 : 2 1 2 3 3 4 2 4 6 3 0 0 5 1 0 -1 1 2 E3.2(-1) = 6 E1.3(-1) E2.3(-2) 2 2 2 1 3 4 2 2 6 = 16 2 2 2 0 2 3 0 0 4 E2.1(-1/2) E3.1(-1)

  35. E2.1(-1)E3.1(-1) E1.3(-1/3)E2.3(-2/3) 2 1 2 1 3 3 2 4 2 -1 0 1 0 3 0 0 0 4 = -12 E1.2(2)E2.3E1.3 X01= ½ (6) = 3 3 8 -6 X0= X02= ½ (16) = 8 X03= ½ (-12) = -6

  36. Metoda Doolittle Persyaratan matriks yang dapat diolah dengan metoda Doolittle Matriks Setangkup segi bernilai sama tidak samadengan nol khas penuh khas Matriks Unsur2 yang bersebarangan Determinan Kebalikan Pangkat Vektor jawab

  37. CL VJ04 SL VJ04 1. Tentukan vektor jawabnya dengan metoda Doolittle dari persamaan linier berikut. 2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 2

  38. M L1 L2 L3 I K1 K2 K3 Pengolahan baris y LP Brs B1 B2 B3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 • 1 2 • 1 3 4 • 2 4 6 2 3 2 8 12 15 R1 r1 R2 r2 R3 r3 B1 R1/2 2 1 • 1 2 • 1 ½ 1 1 0 0 ½ 0 0 8 8/2 T1’ t1’ 5/2 3 1 6/5 2 4/5 B2 – ½ R1 R2/(5/2) -½ 1 0 -1/52/5 0 8 16/5 T2’ t2’ B3 – 6/5 R2 – 1 R1 R3/(2/5) -13/5 -3/2 2/5 1 -2/5 -6/5 1 -1 -3 5/2 T3’ t3’ -12/5 6 JCL VJ04-1 : Pengolahan metoda Doolittle

  39. Langkah2 pengolahan : 1. Unsur2 pada baris R1 = unsur2 pada baris B1 2. Unsur pada baris R1 dan lajur L1 bernilai 2; nilai ini harus bernilai 1 pada baris r1 dan lajur L1. Berarti nilai2 tersebut dibagi 2 atau dikali dengan ½. Berarti pula untuk semua unsur pada baris R1 dibagi 2 dan hasilnya diletakkan pada baris r1 r1 = R1/2

  40. 3. Unsur pada baris R2 dan lajur L1 haris bermilai nol; berarti : R2 = B2 - ½ R1 Matriks M :R2 & L2 = 3 – (1/2)(1) = 5/2 L3 = 4 - (1/2)(2) = 3 Lajur y = 3 - (1/2)(2) = 2 Matriks I :R2 & K1 = 0 – (1/2)(1) = - 1/2 K2 = 1 - (1/2)(0) = 1 K3 = 0 - (1/2)(0) = 0

  41. 4. Unsur2 pada baris R2 dan lajur L2 bernilai 5/2 ; nilai ini harus bernilai 1 pada baris r2 dan lajur L2. Berarti dikali-kan dengan 2/5 dan demikian pula untuk semua unsur pada baris R2. Hasilnya merupakan unsur-unsur pada baris r2. r2 = R2 / (5/2) 5. Unsur pada baris R3 dan lajur L2 harus bernilai nol R3 = B3 - (6/5) R2 - 1 R1

  42. Matriks M : R3 & L3 = 6 – (6/5)(3) – (1)(2) = 2/5 Lajur y= 2 – (6/5)(2) – (1)(2) = -12/5 Matriks I : R3 & K1 = 0 – (6/5)(-1/2) – (1)(1) = -2/5 K2 = 0 – (6/5)(1) – (1)(0) = -6/5 K3 = 1 – (6/5)(0) – (1)(0) = 1 6. Unsur pada baris R3 dan lajur L3 bernilai 2/5 dan harus bernilai 1 pada baris r3 dan L3. Selanjutnya semua unsur pada r3 harus di kalikan dengan 5/2. r3 = R3 / (2/5)

  43. Dari hasil pengolahan diperoleh : 1. unsur2 pada R1, R2 & R3 menyusun R & T’ T’ = R = 2 1 2 0 5/2 3 0 0 2/5 1 0 0 -1/2 1 0 -2/5 -6/5 1 2. unsur2 pada r1, r2 & r3 menyusun r & t’ r = 1 1/2 1 0 1 6/5 0 0 1 1/2 0 0 -1/52/5 0 -1-35/2 t ’ =

  44. Penyelesaian : X0=M-1 y • CARA PERTAMA M-1 diperoleh tT’ atau Tt’ # bila dipilih M-1 = tT’ d11 d12 d13 d21 d22 d23 d31 d32 d33 1/2 -1/5 -1 0 2/5 -3 005/2 1 0 0 -1/2 1 0 -2/5 -6/5 1 =

  45. Lajur 1 : d11 = (1/2)(1) + (-1/5)(- 1/2) + (-1)(-2/5) = 1 d21 = 0 + (2/5) (- 1/2) + (-3)(-2/5) = 1 d31 = 0 + 0 + (5/2)(-2/5) = -1 Lajur 2 : d12 = 0 + (-1/5)(1) + (-1)(-6/5) = 1 d22 = 0 + (2/5) (1) + (-3)(-6/5) = 4 d32 = 0 + 0 + (5/2)(-6/5) = -3 Lajur 3 : d13 = 0 + 0 + (-1)(1) = -1 d23 = 0 + 0 + (-3)(1) = -3 d33 = 0 + 0 + (5/2)(1) = 5/2

  46. # bila dipilih M-1 = Tt’ = d11 d12 d13 d21 d22 d23 d31 d32 d33 1/2 0 0 -1/52/5 0 -1-35/2 1 -1/2 -2/5 0 1 -6/5 0 0 1 Lajur 1 : d11 = (1)(1/2) + (- 1/2)(-1/5) + (-2/5)(-1) = 1 d21 = 0 + (1)(- 1/5) + (-6/5)(-1) = 1 d31 = 0 + 0 + (1)(-1) = -1

  47. Lajur 2 : d12 = 0 + (-1/2)(2/5) + (-2/5)(-3) = 1 d22 = 0 + (1)(2/5) + (-6/5)(-3) = 4 d32 = 0 + 0 + (1)(-3) = -3 Lajur 3 : d13 = 0 + 0 + (-2/5)(5/2) = -1 d23 = 0 + 0 + (-6/5)(5/2) = -3 d33 = 0 + 0 + (1)(5/2) = 5/2 M-1 = 1 1 -1 1 4 -3 -1 -3 5/2

  48. X0= M-1y = = 2 3 2 1 1 -1 1 4 -3 -1 -3 5/2 3 8 -6 • CARA KEDUA Cara penyelesaian seperti Persamaan Biasa rX0 = yr atau RX0 = yR # bila dipilih rX0 = yr x1 x2 x3 1 1/2 1 0 1 6/5 0 0 1 = 1 4/5 -6

  49. X0 = X3 = -6 3 8 -6 X2+6/5X3= 4/5X2 = 8 X1 + ½ X2 + X3= 1 X1 = 3 # bila dipilih RX0 = yR x1 x2 x3 = 2 2 -12/5 2 1 2 0 5/2 3 0 0 2/5 X0 = 2/5 X3= -12/5 X3 = -6 3 8 -6 5/2 X2 + 3 X3= 2 X2 = 8 2 X1 + X2 + 2 X3 = 2 X1 = 3

  50. LAJUR PENGUJI (LP) Manfaatnya untuk memeriksa apakah jumlah unsur tiap baris yang diolah samadengan nilai unsur lajur penguji (LP) yang seletak Misal periksa barisr1 r1 = R1/2 * Nilai unsur pada lajur penguji adalah 8 x ½ = 8/2 * Jumlah nilai unsur pada M, y dan I adalah ( 1 + ½ + 1 ) + 1 + ( ½ + 0 + 0 ) = 8/2

More Related