1 / 33

Etudes des principales lois de probabilité

Etudes des principales lois de probabilité. Loi Binomiale probabilité d’une variable aléatoire discrète modèle : urne avec deux types de boules effectuer n tirages équiprobables avec remise . l’urne contient (N 1 +N 2 ) boules dont N 1 sont blanches et N 2 sont noires.

mercer
Download Presentation

Etudes des principales lois de probabilité

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Etudes des principales lois de probabilité Loi Binomiale • probabilité d’une variable aléatoire discrète • modèle : urne avec deux types de boules • effectuer n tirages équiprobables avec remise. • l’urne contient (N1+N2) boules dont N1 sont blanches et N2 sont noires. • probabilité de tirer une boule blanche B est

  2. Etudes des principales lois de probabilité • La probabilité de tirer une boule noire N est • L’univers des éventualités comprend uniquement deux éventualités :  = {B, N} • on peut alors construire une V.A.

  3. Loi binomiale : tirage d’une boule • L’univers des éventualités est  = {B, N}. On a : • telle que X(B) = 1 avec une probabilité Pr{X = 1} = p • et X(N) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q

  4. Loi binomiale : tirage de deux boules avec remise • L’univers des éventualités est  = {BB, BN, NB, NN} • X(BB) = 2 avec une probabilité Pr{X = 2} = p² • X(BN) = 1 et X(NB) = 1 avec une probabilité Pr{X = 1} = 2pq • X(NN) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q² • Les valeurs des probabilités sont obtenues par le développement de (p + q)² = 1

  5. Loi binomiale : tirage de trois boules avec remise L’univers des éventualités est  = {BBB, BBN, BNB, NBB, BNN, NBN, NNB, NNN} X(BBB) = 3 avec une probabilité Pr{X = 3} = p3 X(BBN) = 2, X(BNB) = 2, X(NBB) = 2 avec une probabilité Pr{X = 2} = 3p²q X(BNN) = 1, X(NBN) = 1, X(NNB) = 1, avec une probabilité Pr{X = 1} = 3pq² X(NNN) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q3

  6. Loi binomiale : tirage de quatre boules avec remise Pour quatre tirages avec remise, les probabilités s’obtiennent par le développement de : (p+q)4 = p4 + 4p3q + 6p²q² + 4pq3 + q4 = 1

  7. Généralisation • on effectue n tirages avec remise (tirage non exhaustif). Les probabilités Pr(X = x), d’obtenir x boules blanches en effectuant n tirages avec remise s’obtiennent par le développement de : • (p+q)n = + + ... + + ... + = 1

  8. Loi binomiale La probabilité Pr{X = x}, d’obtenir x boules blanches lors de n tirages avec remise est : Pr {X = x} = = loi binomiale Propriétés : E(X) = Var(X) = F(X) =Pr(Xx) =

  9. Histogramme et fonction de répartition de la loi binomiale n = 6, p=q=0,5 x Pr(X=x) 0 : 1(0,5)0 (0,5)6 = 1/64 = 0,016 1 : 6(0,5)1 (0,5)5 = 6/64 = 0,094 2 : 15(0,5)2 (0,5)4 = 15/64 = 0,234 3 : 20(0,5)3 (0,5)3 = 20/64 = 0,312 4 : 15(0,5)4 (0,5)2 = 15/64 = 0,234 5 : 6(0,5)5 (0,5)1 = 6/64 = 0,094 6 : 1(0,5)6 (0,5)0 = 1/64 = 0,016

  10. Fonction de répartition x F(x) = Pr(Xx) x = 0 : 1/64 = 0,016 x = 1 : 7/64 = 0,110 x = 2 : 22/64 = 0,344 x = 3 : 42/64 = 0,656 x = 4 : 57/64 = 0,890 x = 5 : 63/64 = 0,984 x = 6 : 64/64 = 1,000

  11. 0 1 2 3 4 5 6 F(X) = Pr(X  x)

  12. Exemple On considère un test constitué de QCM pour lesquelles cinq réponses sont présentées dont une seule est correcte. Le test comprend n = 6 questions. Quelle est : - la probabilité d’avoir au moins 4 bonnes réponses en répondant au hasard, soit Pr(X  4) - la probabilité d’avoir moins de 4 bonnes réponses en répondant au hasard, soit Pr(X < 4) - l’espérance mathématique E(X) - la variance Var(X)

  13. Exercice • Solution : En répondant au hasard à chaque question on a 1 chance sur 5 de répondre correctement à la question et 4 chances sur 5 de donner une réponse fausse. • p = 0,2 d’avoir une réponse juste et une probabilité q = 0,8 d’avoir une réponse fausse. • Le nombre de tirage est n = 6, le tirage peut être considéré avec remise puisqu’à chaque tirage les probabilités p et q ne changent pas.

  14. Exercice Donc loi binomiale : avec n = 6, p = 0,2, q= 0,8. X ; Formule de calcul ; Pr(X=x) 0 : 1(0,2)0 (0,8)6 = 0,262 1 : 6(0,2)1 (0,8)5 = 0,393 2 : 15(0,2)2 (0,8)4 = 0,245 3 : 20(0,2)3(0,8)3 = 0,082 4 : 15(0,2)4 (0,8)2 = 0,015 5 : 6(0,2)5 (0,8)1 = 0,001 6 : 1(0,2)6 (0,8)0 = 0,00006

  15. exercice • La probabilité Pr(X  4) est obtenue en faisant la somme des probabilités suivantes • Pr(X  4) = Pr(X=4) + Pr(X=5) + Pr(X=6) = 0,015 + 0,001 + 0,000006  0,017 • La probabilité Pr(X < 4) est obtenue en faisant la somme des probabilités suivantes • Pr(X < 4) = Pr(X=0) + Pr(X=1) + Pr(X=2) + Pr(X=3) = 1- Pr(X  4) = 0,983

  16. exercice • Espérance mathématique : E(X) = np = 6 * 0,2 = 1,2 • Variance : Var(X) = npq = 6 * 0,2 * 0,8 = 0,96

  17. Exercice 2 • Epidémie de méningite à méningocoque • 7 sujets atteints • Purpura Fulminans dans 21% des cas en général • Probabilité d’avoir au moins 1 cas ? • Probabilité d’avoir plus de 3 cas ?

  18. Exercice 2 • Soit X le nombre de PF • Pr(X = 0) = 1 * 0,210 * 0,797 = 0,192 • Pr(X = 1) = 7 * 0,211 * 0,796 = 0,357 • Pr(X = 2) = 21 * 0,212 * 0,795 = 0,285 • Pr(X = 3) = 35 * 0,213 * 0,794 = 0,126 • Pr(X = 4) = 35 * 0,214 * 0,793 = 0,034

  19. Exercice 2 • Pr(X = 5) = 21 * 0,215 * 0,792 = 0,005 • Pr(X = 6) = 7 * 0,216 * 0,791 = 0,0005 • Pr(X = 7) = 1 * 0,217 * 0,790 = 0,00002 • Donc Pr(X >0) = 1-0,192 = 0,808 • Pr(X>2) = 0,166

  20. Exemple : Essai Th. phase II • Développement médicaments : 4 phases Phase : I / II / III / IV • Phase II : Étudie l’efficacité thérapeutique (relation effet dose) • Efficacité « pharmacologique » (critère de substitution) : pharmacodynamie • médicament n ’a pas encore fait ses preuves : sécurité max et minimiser nombre de sujets

  21. Exemple : Essai Th. phase II • Principe : • inclusion de n1 sujets dans la première étape, • puis selon les résultats, ajout ou non d ’une seconde étape avec n2 sujets. • On considère ici uniquement la première étape qui consiste à arrêter l’étude lorsque le nombre de succès du traitement est insuffisant. • Drogue jugée inefficace si série « longue » de patients sans succès thérapeutique ou sans effet pharmacologique.

  22. Exemple : Essai Th. phase II Habituellement, rejet d’une molécule si moins de 20% de succès. Donc : urne, p = 0,2 rejet de la molècule si n sujets consécutifs sans succès : si n « grand » : indicateur d ’un taux de succès insuffisant (d ’une efficacité insuffisante) d ’où calcul du nombre de sujets n devant ne pas répondre au traitement justifiant l ’arrêt du développement de la molécule Choisir un risque de rejeter à tort la molécule : 5%.

  23. Exemple : Essai Th. phase II On sait que : Pr{X = x} = Cxn pxqn-x Pr{X = 0} = C00p0qn = 0,8n < 0,05 d ’où : n = ln(0,05)/ln(0,8) = 13.42 et Pr(X=0|p=0,2) = 0,044. Donc, si 14 sujets sans efficacité, on rejete la molécule, considéré comme ayant un taux de succès inférieur à 0,20.

  24. Exemple : Essai Th. phase II • Quelques autres valeurs du risque si n<14 : • n=13, p=0,055 • n=12, p=0,069 • n=11, p=0,086 • n=10, p=0,107 • Si, parmi 14 sujets, un ou plusieurs sujets répondent, on passe à la deuxième étape de l’étude (non étudiée ici).

  25. Loi de Poisson C’est la loi des événements rares (événements se produisant peu souvent). Ceci se traduit par une probabilité p faible (correspond à quelques boules blanches et un grand nombre de boules noires dans une urne). Cette loi peut se déduire de la loi binomiale. Définition : une loi de probabilité suit une loi de Poisson si Pr(X=x) =

  26. Loi de Poisson • x est entier, E(X) = Var(X) = np =  • Exemple : X = 1 l = 0,6 Pr(X=1) = = 0,33 • On peut montrer que la loi Binomiale tend vers une loi de Poisson dans certaines conditions lorsque n  et p  0 Pr{X = x} =

  27. Densité de probabilité d ’une loi de Poisson

  28. Loi de Poisson • Soit n = 600 p = 0,001 ( np = 0,6 et nq = 0,4 ) Poisson Binomiale • x Pr{X = x} = Pr{X = x} = • 0 0,5488 0,5486 • 1 0,3292 0,3295 • 2 0,0987 0,0988 • 3 0,0197 0,0197 • 4 0,00296 0,00295

  29. Loi de Poisson Applications : calcul du nombre de patients consultant aux urgences entre 22 et 23 h. Soit 100 plages horaires Objectif de plannification

  30. Loi de Poisson Si moyenne = l = 3 Pr(X = 0) = 0,0498  5% des tranches horaires Pr(X = 1) = 0,1494 Pr(X = 2) = 0,2240 Pr(X = 3) = 0,2240 Pr(X = 4) = 0,1680 Pr(X = 5) = 0,1008 Pr(X = 6) = 0,0504 Pr(X > 6) = 0,0335

  31. Exercice 2 (J. Bouyer) • Dpt Calvados : 600 000 h. et 15 cas par an de K thyroïde. • Proba d’observer 10 nouveaux cas en une année : Pr(X=10) = e-15 1510/10! • Plus long à calculer avec Binomiale

More Related