Erwartungswert und Varianz I

1. Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz

2. Gegeben seien nZufallsvariablen Dann gilt immer: Wenn gilt dann hat man auch Gleichheit von Bienaymé

3. Die Binomialverteilung

4. Erwartungswert Varianz

5. Erwartungswert und Varianz II Der diskrete unendliche Fall Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz

6. Die Poisson-Verteilung

7. Erwartungswert Varianz

8. Erwartungswert und Varianz III Der stetige Fall f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass

9. Erwartungswert Varianz

10. Die Gauß- oder Normalverteilung

11. Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

12. Erwartungswert Varianz

13. Die hypergeometrische Verteilung Notation

14. Erwartungswert Varianz

15. Die geometrische Verteilung Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:

16. Erwartungswert Varianz

17. Die Exponential-Verteilung

18. Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

19. Erwartungswert Varianz

20. Ein Tetraeder wird dreimal geworfen. Auf den 4 Flächen des Tetraeders sind die Zahlen 1, 2, 3 und 4 aufgetragen. Jede Seite erscheint mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Die Zufallsvariable X gebe die Differenz zwischen der Summe der Augenzahlen der beiden ersten Würfe und der Augenzahl des dritten Wurfes an. Wir groß sind Erwartungswert und Varianz von X? 3 1 2

21. Statistische Methoden I WS 2006/2007 Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales Datenmaterial 2.1. Der Häufigkeitsbegriff 2.2. Lage- und Streuungsparameter 2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve) 3. Mehrdimensionales Datenmaterial 3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung 3.2. Indexzahlen 3.3. Saisonbereinigung

22. II. Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1.1. Kombinatorische Formeln 1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2.1. Der diskrete Fall 2.2. Der stetige Fall 2.3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3.1. Grundbegriffe 3.2. Erwartungswert und Varianz 3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

23. 4. Markov-Ketten 4.1. Übergangsmatrizen 4.2. Grenzverhalten irreduzibler Markov-Ketten 4.3. Gewinnwahrscheinlichkeiten 4.4. Beispiel „Ruin der Spieler“ 4.5. Anwendungen

24. Insekteneier N : Anzahl der Eier, die ein bestimmtes Insekt legt M : Anzahl der Eier, die sich entwickeln N - M : Anzahl der Eier, die unentwickelt bleiben Annahmen Die Wahrscheinlichkeit, dass das Insekt genau n Eier legt, beträgt d. h. Jedes Ei entwickelt sich mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p Die Eier beeinflussen sich nicht in ihrer Entwicklung

25. Dann gilt: 1 2 3

26. Beispiele Poisson-verteilter Zufallsvariablen Anzahl der pro Zeiteinheit abgestrahlten Teilchen eines radioaktiven Präparats Anzahl der pro Zeiteinheit an einer Tankstelle tankenden PKW Anzahl der Sechser pro Ausspielung im Lotto Anzahl der pro Jahr von einer Versicherung zu regulierenden Schadensfälle Anzahl der inner halb eines Tages geborenen Kinder

27. Bäckerei Brösel X : Anzahl der Kunden in der Bäckerei Brösel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhr n : Anzahl der betrachteten Haushalte Annahmen Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Haushalt zu der Zeit bei Brösel einkauft, ist bei allen Haushalten gleich Die Haushalte entscheiden unabhängig voneinander, ob sie bei Brösel einkaufen oder nicht

28. Dann gilt: d. h.

29. Nun wird die Anzahl n der betrachteten Haushalte vergrößert. Die „Einkaufswahrscheinlichkeit“ p hänge dabei so von n ab, dass gilt: Dann konvergiert die Verteilung von X gegen eine Poisson- Verteilung. Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich

30. Die Gauß- oder Normalverteilung

31. Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

32. Erwartungswert Varianz

33. Der Zentrale Grenzwertsatz

34. Simulation unter http://www.gams.com/~erwin/cenlim/cenlim.html#Java-applet

36. Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

37. Beispiel Gewicht vonÄpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von 

38. Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängigenormalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

39. Endliche Markov-Ketten Der Aktienkurs der ZB-Aktie zeige das folgende etwas merkwürdige Verhalten: • Wenn der Kurs heute gegenüber gestern gestiegen • ist, dann steigt er morgen ebenfalls mit der Wahr- • scheinlichkeit 2/3 und fällt morgen mit der Wahr- • scheinlichkeit 1/3 (gegenüber heute). • Ist jedoch der Kurs heute gegenüber gestern gefallen, • dann fällt er morgen ebenfalls mit der Wahr- • scheinlichkeit 3/4 und steigt morgen mit der Wahr- • scheinlichkeit 1/4 (gegenüber heute).

40. Wir versehen jeden Tag mit einem Plus (+) oder mit einem Minus (-) je nachdem, ob der Kurs an diesem Tag gegenüber dem Vortag gestiegen oder gefallen ist. Dann hängt die Prognose dafür, ob der Kurs morgen gegenüber heute steigt oder fällt, nur davon ab, ob die Aktie heute mit einem + oder mit einem – versehen ist. + - 3/4 1/4 1/3 2/3 + - - +

41. 1/3 - + 1/4

42. Problem 1: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in 10 Tagen einen Minus-Tag zu haben, wenn heute ein Plus-Tag ist? Problem 2: Wie entwickelt sich die Wahrscheinlichkeit, in n Tagen einen Minus-Tag zu haben, wenn heute ein Plus-Tag ist, für großes n? Strebt diese Wahrscheinlichkeit für n →∞ gegen einen festen Wert? Was passiert, wenn man von einem Minus-Tag aus startet?

43. 3 1/2 1 1/4 1/2 2 1 3/4