ELEMENTE DE CALCULUL PR ☺ BABILITĂŢIL ☺ R

1. ELEMENTE DE CALCULUL PR☺BABILITĂŢIL☺R

2. Teoria probabilităţilor studiază legile după care evoluează fenomenele aleatoare.Principalele noţiuni matematice care modelează fenomenele aleatoare sunt: *CÂMPUL DE PROBABILITATE ASOCIAT UNUI EXPERIMENT ALEATOR *EVENIMENTELE *VARIABILELE ALEATOARE

3. Prin experienţa în teoria probabilităţilor se înţelege orice act care poate fi repetat în condiţii date. Toate situaţiile legate de experienţă şi despre care putem spune, cu certitudine, că s-au produs sau nu, după efectuarea experienţei, poartă numele de eveniment.

4. Un experiment aleator este o acţiune ale cărei rezultate nu pot fi pronosticate cu certitudine. O efectuare a unui experiment,se numeşte probă. Prin eveniment se înţelege rezultatul unei probe. Evenimentele pot fi clasificate in trei mari categorii: *evenimente sigure; * evenimente imposibile; * evenimente întâmplătoare.

5. MULŢIMI Fie o mulţime nevidă Ω={ω1, ω2,..., ωn}. Dacă un element ωi, se află în Ω , îl notăm ωi∈ Ω (se citeşte: ωi aparţine mulţimii Ω). Mulţimea A este o submulţime a lui Ω dacă (∀) x ∈ A implică x ∈ Ω. Se notează A⊆Ω (se citeşte: A este inclusă în Ω). O submulţime a oricărei mulţimi este mulţimea vidă (fără nici un element) pe care o notăm Ø. Notăm P(Ω) toate submulţimile lui Ω, adică P(Ω) = {A | A⊆ Ω}.

6. Dacă A ∈ P(Ω), atunciĀ=CΩA= Ω –A reprezintă complementara lui A în raport cu Ω.

7. Dacă A, B ∈ P(Ω), atunci A∩B ={ ω∈Ω | ω∈A şi ω∈B} reprezintă intersecţia mulţimilor A , B.

8. Dacă A, B ∈ P(Ω), atunci A∪B ={ ω ∈Ω | ω∈A sau ω∈B} reprezintă reuniunea mulţimilor A , B.

9. Pentru A,B ∈ P(Ω) produsul cartezian al mulţimii A cu mulţimea B se defineşte prin : A XB={ (a,b) | a ∈ A şi b ∈ B }. Pentru A ={1,2,3,4} , B= {a,b,c} avem: A X B = { (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c), (4,a), (4,b), (4,c) }.

10. Acest produs poate fi reprezentat : 1)printr-o diagramă; 2)printr-un arbore.

11. UNIVERSUL PROBELOR Definiţie: Se numeşte universul probelor mulţimea Ω a tuturor rezultatelor posibile,incompatibile două câte două, care pot avea loc în cazul unei probe a unui experiment aleatoriu.

12. EXEMPLE 1.La aruncarea monedei omogene avem Ω={b,s}, unde b este banul iar s este stema. 2.La aruncarea unui zar omogen avem Ω={1,2,3,4,5,6} .

13. 3.O urnă conţine trei bile numerotate 1,2,3.Se extrag succesiv două bile din urnă: *cu repunerea primei bile extrase în urnă înainte de a doua extragere; Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) } *fără repunerea primei bile extrase în urnă înainte de a doua extragere; Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) }

14. EVENIMENTE Definiţie: Fie Ω un univers. Orice submulţime a lui Ω se numeşte eveniment. EXEMPLE1. Extragerea unei bile albe dintr-o urnă care conţine numai bile albe, este un eveniment sigur.2. Apariţia unui număr de 7 puncte la o probă a aruncării unui zar este un eveniment imposibil.3 Apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar este un eveniment întâmplător.

15. Evenimentele întâmplătoare se supun unor legităţi, numite legităţi statistice. În acest sens, nu se poate prevedea dacăîntr-o singură aruncare a unui zar se obţine faţa 1; dacăînsă se efectuează un număr suficient de mare de aruncări se poate prevedea cu suficientă precizie numărul de apariţii ale acestei feţe.Evenimentele întâmplătoare pot fi compatibile şi incompatibile. Două evenimente se numesc incompatibile, dacă realizarea unuia exclude realizarea celuilalt.

16. EXEMPLE 1.Evenimentele: apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia feţei 2 la aruncarea unui zar, sunt incompatibile. 2. Evenimentele: apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia unei feţe cu un număr impar de puncte la aruncarea unui zar, sunt compatibile.

17. OPERAŢII CU EVENIMENTE NEGAŢIA Definiţie: Fie A un eveniment, atunci Ā (se citeşte: non A) este evenimentul care se realizează dacă şi numai dacă nu se realizează A. Întrucât A aparţine P(Ω),atunci : Ā = CA = Ω –A ∈ P( Ω )

18. EXEMPLU La aruncarea zarului dacă A ={1,2,3} (care înseamnă că A se realizează dacă la o probă apare una din feţele cu 1, 2 sau 3 puncte), atunci Ā = {4,5,6} (care se realizează dacă nu se realizează A, adică dacă într-o probă apare una din feţele care conţin 4, 5 sau 6puncte).

19. REUNIUNEA Definiţie: Fie A, B douăevenimente.Definim reuniunea evenimentelor A,B evenimentul notat A∪B (se citeşte: A sau B),care se realizează dacă şi numai dacă, se realizează cel puţin unul dintre evenimentele A, B.

20. EXEMPLU La aruncarea zarului fie evenimentele : A={1,2,3}, B={4,5}, C={1,3}, D={2,3,5}. Atunci A∪B= {1,2,3,4,5} şi C∪D= {1,2,3,5}.Se observă că A∪B este format din două evenimente pentru care A∩B=Ø, ceea ce înseamnă că A∪B are loc dacă are loc fie A ,fie B. În cazul C∪D avem C∩D= {3}, adică apariţia feţei care conţine trei puncte realizează atât evenimentul C cât şi evenimentul D.

21. INTERSECŢIA Definiţie : Fie A,B două evenimente. Definim intersecţia evenimentelor A şi B evenimentul notat A∩B (se citeşte: A şi B), care se realizează dacă şi numai dacă se realizează simultan A şi B.

22. EXEMPLU La aruncarea zarului fie evenimentele A= {1,2,3,4}, B= {2,4,6}. Atunci A∩B= {2,4} şi se realizează dacă la aruncarea zarului apare faţa cu două puncte sau faţa cu patru puncte.

23. EVENIMENTE INCOMPATIBILE Definiţie : Două evenimente A,B se numesc incompatibile dacă şi numai dacă A∩B=Ø. EXEMPLUEvenimentele: apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia feţei 2 la aruncarea unui zar, sunt incompatibile.

24. EVENIMENTE ELEMENTARE Definiţie : Fie Ω un univers finit Ω={ω1, ω2,...,ωn}. Evenimentele {ω1},{ω2},…, {ωn} se numesc evenimente elementare. EXEMPLE 1)La aruncarea monedei Ω= {s,b} când avem evenimentele elementare {s} (apariţia stemei), {b} (apariţia banului). 2)La aruncarea zarului Ω= {1,2,3,4,5,6}, evenimentele elementare sunt : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.

25. FUNCŢIA PROBABILITATE Definiţie : Fie Ω un univers .Se numeşte probabilitate pe P(Ω) ,aplicaţia P: P(Ω)R, dacă au loc axiomele: A1) P(A) ≥ 0 , (∀) A ∈ P(Ω) (Probabilitatea oricărui eveniment este un nr pozitiv). A2) P(Ω)=1 (Probabilitatea evenimentului sigur este egală cu unu). A3) P(A∪B) = P(A) + P(B), dacă A∩B =Ø (Probabilitatea reuniunii a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităţilor lor).

26. CÂMP DE PROBABILITATE Definiţie : Fie F un fenomen aleatoriu. Se numeşte câmp de probabilitate asociat fenomenului F , tripletul (Ω, P(Ω), P). Mulţimea tuturor evenimentelor legate de o experienţă împreună cu probabilităţile respective, formează un câmp de probabilitate.

27. EXEMPLU La aruncarea monedei Ω={s,b}, P(Ω)={ Ø, {s}, {b}, {s,b} } iar P : P(Ω)  [0,∞) , unde P(Ø)=0 P({s})=P({b})=1/2 , P({s,b})=1.

28. DEFINIŢIA GENERALĂ A PROBABILITĂŢII Definiţie : Se numeşte probabilitate o funcţie P : P(E)  ℝ cu următoarele proprietăţi: 1) P(A)≥0, ∀ A ∈ P(E) ; 2) P(E)=1; 3) P(A∪B)=P(A) + P(B) ,dacă A∩B= Ø.

29. OPERAŢII CU PROBABILITĂŢI TEOREMĂ: Fie A, B ∈ P(Ω) ,atunci P(B∩Ā) = P(B) – P(B∩A).

30. COROLAR 1) P(Ø) =0; 2) P(Ā)=1 – P(A); 3) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B); 4) Dacă A⊂B, atunci P(A) ≤ P(B); 5) 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; (∀) A⊂Ω.

31. REMARCĂ IMPORTANTĂ ! Axiomele din definiţia probabilităţii şi rezultatele precedente sunt insuficiente pentru a preciza probabilităţile diferitelor evenimente ale unui univers Ω. Alte consideraţii sau experienţe practice sunt indispensabile pentru a da aceste probabilităţi sau cel puţin o parte dintre ele.

32. EVENIMENTE ELEMENTARE ECHIPROBABILE Definiţie: Fie Ω ={ω1, ω2,…., ωn}. Evenimentele elementare {ω1},{ω2},…,{ωn}se numesc echiprobabile dacă au aceeaşi probabilitate P({ω1})=P({ω2})=…=P({ωn}). TEOREMĂ: Dacă Ω este un univers format din n evenimente elementare echiprobabile ,iar A este un eveniment format din reuniunea a k evenimente elementare, atunci P(A)=k/n=card(A)/card(Ω ) .

33. PROBABILITĂŢI CONDIŢIONATE Definiţie: Fie A,B ⊂Ω. Numărul notat PB(A) definit prin:PB(A)=P(A∩B)/P(B) P(B) ≠ 0, se numeşte probabilitate a evenimentului A condiţionată de evenimentul B. TEOREMĂ : Fie A,B,C…evenimente ale unui univers Ω.Atunci: 1) P(A∩B)=P(A) PA(B) 2) P(A∩B∩C)=P(A) PA(B) PA∩B(C)

34. EVENIMENTE INDEPENDENTE Definiţie : 1)Fie A,B⊂Ω. Evenimentele A,B sunt independente dacăP(A∩B) =P(A) P(B). În caz contrar,evenimentele sunt dependente. 2)Fie A,B,C⊂Ω. Evenimentele A,B,C sunt independente dacă: P(A∩B) = P(A) P(B) , P(A∩C) = P(A) P(C), P(B∩C) = P(B) P(C), P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C).

35. VARIABILE ALEATOARE Definiţie : Fie (Ω, P(Ω), P) un câmp de probabilitate. Orice aplicaţie X : Ω  ℝ, se numeşte variabilă aleatoare relativă la probabilitatea P. Definiţie : O variabilă aleatoare se numeşte discretă dacă are o mulţime finită, sau numărabilă de valori. O variabilă aleatoare se numeşte continuă dacă are ca mulţime de valori un interval mărginit al dreptei reale.

36. Variabilele aleatoare întâlnite în practică sunt de două tipuri: calitative sau cantitative. Variabilele aleatoare calitative au, de obicei, un număr mic de valori distincte. Variabilele aleatoare cantitative sunt mărimi măsurabile, cum ar fi numărul de defecţiuni care se identifică la controlul unui aparat electronic, înălţimea unor plante,greutatea corporală a unor oameni, sumele depuse de clienţi la o bancă etc.

37. A.Caracteristici de poziţie ale unei variabile aleatoare X, pentru care P(X=xi)=pi, i=1,…,r. *MEDIA este valoarea numerică asociată variabilei X care se calculează după formula : M(X) = x1p1 + x2p2+ … + xrpr . *MEDIANAeste o valoare numerică notată Me(X) , care împarte valorile lui X în două grupe de probabilităţi aproximativ egale. Ea se defineşte astfel : Se consideră valorile variabilei ordonate crescător , x1 ≤ x2 ≤ ...≤ xr. Mediana este acea valoare a variabile X care satisface proprietăţile P(X<Me(X)) ≤ 1/2, P(X ≤ Me(X)) ≥ 1/2. *MOD-UL (sau dominanta), notat Mo(X) , este valoarea (unică sau nu) care are probabilitatea cea mai mare de apariţie.

38. B. Caracteristici de împrăştiere ale unei variabile aleatoare X, pentru care P(X=xi)=pi, i=1,...,r. *DISPERSIA este valoarea numerică asociată variabilei X care se calculează după formula DxD(X)=(x1 – M(X))(x1 – M(X))p1+ … + (xr – M(X))(xr – M(X))pr *ABATEREA MEDIE STANDARD este egală cu rădăcina pătrată pozitivă a dispersiei. *AMPLITUDINEA este egală cu diferenţa dintre cea mai mare şi cea mai mică dintre valorile variabilei X A(X) = max{x1,...,xr} - min{x1,...,xr}

39. SCHEME CLASICE DE PROBABILITATE 1. SCHEMA LUI POISSON P(x) = (p1x + q1)(p2x + q2)…(pnx + qn) 2.SCHEMA LUI BERNOULLI

40. * PROIECT REALIZAT DE STANCIU RALUCA clasa a X a A *LICEUL “ION NECULCE” *Profesor coordonator: CARMEN TAFLARU