CORSO DI MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI

CORSO DI MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI LAUREA IN INGEGNERIA CLINICA E BIOMEDICA

MODELLI DEL SISTEMA CARDIOVASCOLARE L’apparato cardiocircolatorio assolve ad una funzione di trasporto, nell’ambito dei meccanismi che contribuiscono al mantenimento della “costanza dell’ambiente interno” (omeostasi). L’attività di trasporto riguarda: i gas respiratori (ossigeno ed anidride carbonica); gli elementi nutrizionali (glucosio, aminoacidi, grassi) ed i loro prodotti di degradazione; gli elementi che trasportano messaggi chimici (ormoni); il calore. L’attività di trasporto avviene attraverso il sangue, che si muove in un sistema chiuso (sistema cardiovascolare). La caratterizzazione del sistema cardiovascolare si può effettuare per mezzo di tre elementi fondamentali: il sangue, la pompa (il cuore) e l’insieme dei vasi che formano il circuito.

MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE Elementi Del Sistema Vascolare Il sangue. È costituito da una sospensione di cellule (per la maggior parte eritrociti) immerse in un mezzo acquoso contenente proteine ed elettroliti (plasma). Il sangue si comporta come un liquido non newtoniano, cioè a viscosità non costante, in quanto questa diminuisce con l’aumentare della velocità e con la riduzione del diametro dei vasi. La viscosità è dovuta in parte alla componente plasmatica del sangue (abbastanza costante) ed in parte alla componente cellulare (più variabile). Il rapporto tra parte cellulare e liquida, denominato ematocrito, varia da soggetto a soggetto. Un valore normale di viscosità è quello compreso nel range 0.03-0.04 Poise. Il sistema delle arterie e delle vene . Il sistema circolatorio si divide in due grosse sezioni: il grande circolo e il piccolo circolo. Il grande circolo origina dal ventricolo sinistro (arteria aorta) e ritorna al cuore attraverso le vene cave (atrio destro). Il piccolo circolo origina dal ventricolo destro (arteria polmonare) e ritorna al cuore attraverso le vene polmonari (atrio sinistro). Il piccolo circolo ha la funzione fondamentale di permettere l’ossigenazione del sangue che irrorerà, attraverso il grande circolo, tutti i distretti periferici. Il grande circolo ha origine dal ventricolo sinistro con l’arteria aorta. Essa è la più grande arteria del corpo, ha un diametro medio di 25-30 millimetri e, con i suoi rami, raggiunge i vari siti dell’organismo. Tutte le diramazioni arteriose che partono dall’aorta si ramificano successivamente dando origine alle arteriole e ai capillari arteriosi. Questi confluendo in capillari venosi e in vene di calibro sempre maggiore tornano all’atrio destro attraverso le vene cave. Si vuole sottolineare che vengono denominate arterie i vasi che escono dai ventricoli (nei quali il sangue ha decorso centrifugo) e vengono denominate vene i vasi che ritornano al cuore (nei quali il sangue ha decorso centripeto -cioè verso il cuore, centro dell’apparato circolatorio-). In tale definizione si prescinde pertanto dal tipo di sangue che essi trasportano (ossigenato o non ossigenato). Infatti l’arteria polmonare porta sangue venoso che deve raggiungere i polmoni per essere ossigenato, le vene polmonari portano il sangue arterioso che passando dall’atrio sinistro al ventricolo sinistro sarà immesso nell’aorta per raggiungere tutti i distretti periferici.

MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE La rete vascolare è costituita essenzialmente da arterie vene e capillari che si distinguono sia per le loro caratteristiche anatomiche che per le funzioni svolte. La modellistica relativa a tale sistema è estremamente vasta e va dalla descrizione del tratto di vaso e della sua interazione con il fluido che l’attraversa, alla rappresentazione di particolari sottosistemi o di interi sistemi (albero arterioso). La scelta di un modello più o meno complesso dipende dal contesto in cui lo stesso deve essere utilizzato. Ad esempio se lo scopo dell’indagine è quello di analizzare il moto del sangue all’interno dei capillari, è necessario, dato il diametro di questi ultimi, rappresentare l’interazione tra la parete del capillare e i globuli rossi, dando origine ad un modello a parametri distribuiti in cui si deve tenere conto della natura discontinua del contenuto del vaso. Se invece la rete dei capillari entra a far parte di un modello dell’intero circolo sistemico, questa può essere rappresentata molto più semplicemente con una sola resistenza. Ci soffermeremo principalmente sulla modellistica dell’albero arterioso in quanto questa è stata quella più sviluppata sia per l’importanza (dal punto di vista fisiopatologico) del sistema di distribuzione del sangue, sia per la possibilità di effettuare ipotesi semplificative che non sono possibili nel caso degli altri sottosistemi.

Q C QR R P MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE Albero arterioso sistemico (Windkessel). Il primo modello dell’albero arterioso sistemico (e dell’albero arterioso polmonare) risale alla fine del XIX secolo (Frank 1899) che sviluppò un modello ancora oggi diffusamente utilizzato nelle sue differenti formulazioni. In tale modello viene utilizzata un’analogia elettrica in base alla quale il tratto arterioso di cui si vogliono sintetizzare le caratteristiche viscose, inerziali e elastiche viene rappresentato con il modello elettrico di figura in cui R è la resistenza (di Poiseuille) per unità di lunghezza, C è la compliance per unità di lunghezza, m è la viscosità del fluido, r è il raggio della sezione del vaso, h è lo spessore della parete, E è il modulo di Young. In tale rappresentazione (Windkessel semplice o classico) la resistenza (R) tiene conto dell’effetto viscoso e inerziale e la compliance (C) dell’effetto elastico. Impedenza [Z(j)]

p(t) Aorta t Ventricolo Sinistro q(t) t T MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico Il modello windkessel semplice, utilizzato per rappresentare l’impedenza di ingresso dell’albero sistemico si discosta, però dall’impedenza d’ingresso ottenuta sperimentalmente misurando pressione P (nell’analogia elettrica equivalente alla tensione V) in aorta (a cui viene sottratta la pressione venosa se necessario) e portata Q (equivalente alla corrente I) all’ingresso dell’aorta e utilizzando le trasformate in w di tali grandezze. Z f Z f

Hz Impedenza [Z(j)] Q Rc Q Rc L C P R QR C QR P R Hz Hz MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico Per rendere più simili gli andamenti dell’impedenza d’ingresso ottenuti dal modello e dal sistema reale il Windkessel semplice è stato modificato introducendo, in serie, un elemento resistivo Rc (resistenza caratteristica), il cui valore ammonta al 5-10% della resistenza periferica totale. L’aggiunta della resistenza caratteristica non modifica sostanzialmente il comportamento dell’impedenza d’ingresso alle basse frequenze ma consente di tenere conto della costanza del modulo alle alte frequenze. Tuttavia anche questo modello (Windkessel modificato) non permette di riprodurre le oscillazioni del modulo e l’attraversamento dello zero osservabili nell’impedenza d’ingresso misurata.Il modello descritto è stato ulteriormente complicato aggiungendo nel ramo serie una inertanza, in questo modo le proprietà viscose ed inerziali vengono rappresentate dall’insieme resistenza R più inertanza L. Modelli più complessi si possono ottenere disponendo in cascata più Windkessel Impedenza [Z(j)] Fase

MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico Modello di Womersley Il modello di Womersley rappresenta il moto pulsato del sangue all’interno di un’arteria. È un modello lineare a parametri distribuiti e quindi richiede che siano verificate alcune ipotesi semplificative inerenti le caratteristiche del vaso e del sangue. Il sangue viene considerato come un mezzo continuo, incomprimibile, e newtoniano (viscosità costante). Le ipotesi fatte sono applicabili a vasi di grosso calibro (arterie). Si assume inoltre che il moto del sangue sia laminare, che soddisfi le condizioni di aderenza alla parete del vaso e che sia irrotazionale; infine viene supposta la temperatura costante. Le equazioni di moto e di continuità per il sangue e per le pareti del vaso sono equazioni differenziali alle derivate parziali nelle tre coordinate spaziali dove il tempo è la variabile indipendente. L’equazione di stato, che lega la pressione, la densità e la temperatura del sangue, in condizioni fisiologiche può essere omessa (fluido incomprimibile avente densità r a temperatura costante). Verificate le condizioni di simmetria cilindrica le equazioni che in generale devono essere prese in considerazione sono: 1) l’equazione del moto del fluido di Navier-Stokes; 2) l’equazione di continuità; 3) l’equazione di moto delle pareti. Ulteriori ipotesi aggiuntive sono: moto del fluido stazionario in un tubo cilindrico orizzontale di lunghezza infinita, con pareti sottili e piccole variazioni elastiche del raggio.

MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico Modello di Womersley Equazione di moto del fluido (Navier-Stokes). Rappresenta il bilancio delle forze che agiscono sul fluido e nella formulazione generale viene scritta come: r·Dv/Dt = -p - m x ( x v) D/Dt = / t + v· Nelle ipotesi fatte la velocità del sangue e la pressione p sono funzione di sole due coordinate spaziali (oltre che del tempo), una coordinata longitudinale (z) e una coordinata radiale (r), le equazioni di moto diventano: r n z t=tempo, p=pressione, r=densità del sangue, h=viscosità cinematica del sangue (h=m/r), vz=velocità istantanea parallela all’asse del vaso, vr=velocità istantanea del fluido lungo la coordinata radiale, F=somma delle forze esterne (gravità etc.).Nel modello di Womersley le forze esterne agenti sul vaso sono considerate nulle.

MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico Modello di Womersley Equazione di moto del fluido (Navier-Stokes). Nel caso in cui si consideri prevalente la componente della velocità in direzione assiale le equazioni vengono ulteriormente semplificate e si riducono all’unica equazione di seguito rappresentata: Dove sono state trascurate le perdite per attrito. Tenendo conto della relazione sulla portata Q=vz·S (S è la sezione del vaso) si ricava: Si ricava che il gradiente di pressione su un segmento di vaso (avente sezione S) è dovuto essenzialmente alla somma di due termini: il primo legato all’inerzia del fluido, il secondo alla resistenza per unità di lunghezza dovuta alla sua viscosità.

MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico Modello di Womersley Equazione di continuità. Nella forma generale l’equazione di continuità assume la forma: ·Q=0 Nel caso di condotto (vaso) deformabile, avente sezione S e attraversato da una portata Q l’equazione assume la forma: La variazione di portata tra due sezioni del vaso è dovuta essenzialmente alla perdita di fluido attraverso le pareti per fenomeni di filtrazione (primo addendo - G’ è la dispersione per unità di lunghezza dovuta a filtrazioni) e alla perdita di portata dovuta alla deformazione del vaso (secondo addendo –assumendo che la S sia funzione di t solo attraverso la p, cioè S(p(z,t),z))

u ur uz MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico Modello di Womersley • Equazione di moto delle pareti. Si assuma l’ipotesi per cui il vaso possa essere rappresentato come un tubo rigido avente sezione costante, pareti sottili e uniformi e caratterizzato dalle seguenti condizioni: • lo spessore della parete h è << del raggio interno R del vaso • gli spostamenti radiali della parete e le loro derivate sono infinitesimi • le proprietà fisiche (viscoelastiche) della parete sono lineari • il materiale della parete è isotropo e omogeneo • le forze elastiche in gioco nella parete sono >> di quelle viscose • la densità della parete è uguale a quella del sangue • sono trascurabili i moti longitudinali della parete rispetto a quelli radiali

MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico Modello di Womersley Equazione di moto delle pareti. Assumendo che lo spostamento del generico punto della parete rispetto alla sua posizione di riposo sia caratterizzato dalle componenti radiale (ur) e longitudinale (uz), le equazioni di moto delle pareti assumono la forma: dove K=costante elastica del vincolo assiale esterno, E=modulo di elasticità di Young, s=coefficiente di Poisson. Queste insieme alle equazioni di Navier-Stokes, di continuità, alle condizioni iniziali, alle condizioni di congruenza (vz|r=R=uz/t e vr|r=R=ur/t) e alle condizioni al contorno (vz/r|r=0=0 e vr|r=0=0) costituiscono il modello matematico del vaso proposto e risolto da Womersley.

MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico Modello di Womersley Equazioni di propagazione dell’onda di pressione e di portata Le equazioni di Navier-Stokes e di continuità danno luogo al sistema costituito dalle equazioni di propagazione dell’onda di pressione e di portata capace di descrivere il comportamento di un tratto di arteria: Simili alle equazioni che si ottengono per lo studio del comportamento di una linea elettrica a conducibilità uniforme (problema del telegrafo). dove z=coordinata spaziale, t=tempo, p=pressione, Q=portata, r=densità del sangue, S=sezione del condotto circolare avente raggio r, W’=resistenza per unità di lunghezza, G’=dispersione per unità di lunghezza dovuta a filtrazione, dS/dp=compliance per unità di lunghezza. dove V=tensione, i=corrente, R’=resistenza per unità di lunghezza C’=capacità per unità di lunghezza, 1/R’l=conduttanza per unità di lunghezza.

MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico Modello di Womersley Studiare il comportamento di un fluido avente moto unidirezionale è equivalente a studiare il passaggio di corrente in una linea elettrica.

MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Albero arterioso sistemico Modello di Womersley Le relazioni ottenute, possono essere modificate considerando, anziché un tratto infinitesimo di vaso, un tratto di lunghezza finita Dz. In queste nuove ipotesi le equazioni perdono la dipendenza dalla coordinata spaziale, mantendo la dipendenza dalla variabile temporale. Una ulteriore semplificazione, valida dal punto di vista fisiologico, si ottiene supponendo che non vi sia dispersione di flusso (filtrazione) tra due sezioni delimitanti un tratto di vaso. Questa ipotesi permette di annullare, nel circuito idraulico, il termine G’, ovvero nell’analogo elettrico permette di considerare la R’l infinitamente grande Per risolvere analiticamente il modello, bisogna scegliere una delle due possibili rappresentazioni (elettrica o idraulica) e un metodo approssimante (ad esempio Eulero, Runge-Kutta etc.) per la risoluzione del sistema di equazioni differenziali.

MODELLI DEL SISTEMA VASCOLARE – Operatori in coordinate cilindriche . D F=  2 F = , =

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