1 / 42

MATRIKS DAN DETERMINAN

BAB IX. MATRIKS DAN DETERMINAN. 9.1 Matriks. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubungan antar dua atau beberapa besaran , seperti mata kuliah yang diikuti oleh mahasiswa pada suatu program studi tertentu atau nilai hasil semester mahasiswa seperti yang ditunjukkan

miyoko
Download Presentation

MATRIKS DAN DETERMINAN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB IX MATRIKS DAN DETERMINAN

  2. 9.1 Matriks Dalamkehidupansehari-harikitaseringmembuathubungan antarduaataubeberapabesaran, sepertimatakuliah yang diikutiolehmahasiswapadasuatu program studitertentu ataunilaihasil semester mahasiswaseperti yang ditunjukkan padacontohberikut.

  3. Dari bentuknya, matriksdapatdidefinisikansebagaisusunan elemen-elemensedemikianrupasehinggamembentukbarisdan kolom. Elemen-elementersebutdiletakkandiantaraduabuah kurungsiku. • Bentukmatriksdapatditunjukkansebagaiberikut. • Misalterdapatmatriks A yang terdiridari m barisdan n kolom, makabentukmatrikstersebutadalah,

  4. Ukuransuatumatriksditunjukkanolehjumlahbaris m dankolom n. • Padamatriksdiatasukuranmatriks A adalah m x n. • Masing-masingelemenpadamatriksdisebutentri. • Entriaijadalahelemenmatriks yang beradapadabariskei • dankolomke j. • Umumnyasuatumatriksditunjukkandenganhurufkapital yang dicetaktebal. • Selaincarapenulisandiatas, matriksdapatjugaditulissebagai A = [aij ]. • Jika m samadengan n , makamatriksdisebutmatriksbujur • sangkardanentri-entriaijdenganisamadengan j disebut • diagonal matriks.

  5. 9.2 MatriksBentukKhusus Jikakitaidentifikasimasing-masingentridarisuatumatriks, makaterdapatbeberapamatriks yang dapatdikategorikan sebagaimatriksberbentukkhususyaitu, • 9.2.1 VektorKolom Vektorkolomadalahmatriks yang mempunyai m baris dansatukolom. Berikutadalahcontohmatriks 4 x 1 (4 barisdan 1 kolom). 12 40 32 25

  6. 9.2.2 VektorBaris Vektorbarisadalahmatriks yang mempunyaisatubaris dan n kolom. Contohmatriks 1 x 4 atau 1 barisdan 4 kolom adalah [ 4 2 5 1 ] • 9.2.3 MatriksPersegi Matrikspersegiadalahmatriks yang mempunyaijumlah barisdankolom yang sama. Berikutdiberikancontoh matrikspersegi yang berukuran 5 x 5 (5 barisdan 5 kolom).

  7. 9.2.4 MatriksSegitiga Matrikssegitigadapatdikelompokkanmenjadiduabagian, yaitumatrikssegitigaatasdansegitigabawah. • Jikaseluruhentriyang beradadiatas diagonal matriksmempunyainilai 0 dansetidak-tidaknyaadasatuentri yang beradadibawah diagonal ≠ 0, makamatrikstersebutadalahmatrikssegitigabawahatauuntuksetiapi<j, aij = 0. Sedangkanmatriks yang mempunyaientridibawah diagonal = 0 dansetidak-tidaknyaadasatuentri yang beradadiatas diagonal ≠ 0, makamatrikstersebutadalahmatrikssegitiga atasatauuntuksetiapi> j, aij = 0

  8. 9.2.5 Matriks Diagonal Jikaseluruhentridiatasdandibawah diagonal samadengan 0 dansetidak-tidaknyaadasatuentripada diagonal ≠ 0, makamatrikstersebutadalahmatriks diagonal atauuntuk s etiapi ≠ j, aij=0.

  9. 9.2.6 MatriksSkalar Matriksskalaradalahmatriks yang mempunyainilaientri yang samapada diagonal. Jikamatriks diagonal adalah matriks D, maka d11 = d22 = d.. ..= dnn 9.2.7 MatriksIdentitas Matriksidentitasadalahmatriks yang mempunyaientri-entri baikdiatasmaupundibawah diagonal samadengannoldan entripada diagonal samadengan 1.

  10. 9.2.8 Matriks 0 Matriks 0 adalahmatriks yang seluruhentrinyasamadengan 0. 9.2.9 MatriksTranspose Contoh 9.1 • Jika A = , maka AT = • 9.2.10 MatriksSimetridanSkew-Simetri Jikasebuahmatrikssamadengantransposenya (A = AT ) makamatrikstersebutadalahmatrikssimetri. • Contoh 9.2 , maka AT = Jika A =

  11. Karena A = AT, maka A adalahmatrikssimetri. Sedangkanmatriksskew- simetriadalahmatriks yang memenuhi –A = AT. Contoh 9.3 • Misal A = , –A = ,maka AT = Karena –A = AT , maka A adalahmatriksskew-simetri.

  12. 9.3 OperasiAritmatikapadaMatriks Operasiaritmatikapadamatriksterdiridaripenjumlahan, perkalianskalardenganmatriks, perkalianmatriksdengan matrikssertakombinasi linier beberapamatriks. • 9.3.1 Penjumlahan Misalterdapatmatriks A = [aij ] dan B = [bij] yang masing-masingberukuran m x n. Jumlah A dan B, ditulis A+B, adalah C = [cij], dengan [cij] = [aij] + [bij]. Perludiingat, bahwaduabuahmatrikshanyadapat dijumlahkanjikamempunyaiorde yang sama. Contoh 9.4 • Misal A = B =

  13. Maka A + B = C 9.3.2 PerkalianSkalardenganMatriks Jikaterdapatsebuahskalar c danmatriks A = [aij], maka perkalianantaraskalar c denganmatriks A adalahcA = [c.aij], ataudapatditulisdalambentuk: cA = c

  14. Contoh 9.5 • Jika A = maka 3A = • 9.3.3 PerkalianMatriksdenganMatriks Perkalianduabuahmatrikshanyadapatdilakukanjikajumlah kolommatrikspertamadanjumlahbarismatrikskeduasama. • Misalmatriks A = [aij] berukuran m x n danmatriks B = [bij] • berukuran n x p, makaperkalianantaramatriks A matriks B, • ditulis AB, adalahsebuahmatriks C = [cij] yang berukuran • m x p.

  15. Nilaidaricijadalah, • Contoh 9.6 A = Diketahui B = Jikaterdapatmatriks C = A.B, maka C =

  16. 9.3.4 Kombinasi linier matriks Jika A1, A2, … , Apadalahmatriks yang mempunyaiukuran Sama, dan k1, k2, … , kpadalahskalar, maka k1 A1 + k2 A2 + … + kpApdisebutkombinasi linier dari A1, A2, … , Ap • Contoh 9.7 Jika , A3 = A1 = A2 = tentukan A1 + 3A2 – 2A3 Penyelesaian

  17. A1 + 3A2 –2A3 9.3.5 Sifat-sifatOperasiMatriks Jika a dan b adalahskalardan A, B, dan C adalahmatriks, makaberlaku:

  18. i) A + B = B + A hukumkomutatifpenjumlahan ii) A + (B + C) = (A + B) + C hukumasosiatifpenjumlahan iii) A(BC) = (AB)C hukumasosiatifperkalian iv) A(B ± C) = AB ± AC hukumdistributifkiri v) (B ± C)A = BA ± CA huklumdistributifkanan vi) a(B ± C) = aB ± aC vii) (a ± b)C = aC ± bC • (ab)C = a(bC) ix) a(BC) = (aB)C = B(aC) x) (AT)T = A xi) (A + B)T = AT ± BT xii) (cA)T =cAT xiii) (AB)T = BT AT

  19. 9.4 Matriks yang Diperluas (Augmented matrix) Matriks yang diperluasadalahmatriks yang berhubungan denganpenyajiansebuahsistempersamaan linier. Misalterdapatsistempersamaan linier, Dari sistempersamaan linier tersebut, dapatdisajikan matrikskoeffisien,

  20. 9.5 MatriksdalambentukEselonBaris Suatumatriksdikatakanmempunyaibentukeselonbarisjika memenuhi: i) Setiapbaris yang keseluruhanelemennyanoldiletakkan padabagianbawahmatriks ii) Elemenpertamadarisetiapbaris yang bukannol (disebutleading coefficientataupivot ) harusterletak disebelahkananleading coefficientpadabarissebelumnya.

  21. Contoh 9.8 Matriksdalambentukeselonbaris Contoh 9.9 Matriksberikuttidak/belumdalambentukeselonbaris Matrikssegitigaatasadalahmatriks yang termasuk yang mempunyaibentukeselonbaris.

  22. 9.6 MatriksdalambentukEselonBarisTereduksi Suatumatriksdikatakanmempunyaibentukeselonbaris tereduksijika: i) Matrikstersebutsudahdalambentukeselonbaris ii) Elemenleading coefficientharusmempunyainilai 1 (selanjutnyadisebutleading 1) dansatu-satunyaelemen matriks yang bukan 0 padakolom yang bersangkutan. Perludiketahuibahwamatrikssatuanadalahbentukkhusus darimatrikseselonbaristereduksi Contoh 9.10 • Suatumatriks yang belumdalambentukeselonbarisdapat • ditransformasikankedalambentukmatrikseselontereduksi • dengancaramelakukanoperasibariselementerterhadap • matrikstersebut.

  23. 9.7 OperasiBarisElementer Operasi yang dapatdilakukanterhadapbarisdankolomsuatu matriksadalah: i) Perkaliansembarangbarisdenganskalar ii) Penukaranposisisuatubarisdenganbaristertentu iii) Penjumlahanantarai) danii). KetigaoperasidiatasdisebutOperasiBarisElementer (OBE) Contohpenggunaannotasi yang digunakanpadaoperasibaris dankolom: i) R3 2R3artinyabarisketigamatriksdigantidengan 2 kali barisketiga ii) R1  R2artinyabarispertamadankeduasalingdipertukarkan. iii) R2  R2 + 3R3artinyabariskeduadigantidenganbariskedua ditambahdengantiga kali barisketiga

  24. Contoh 9.11 Lakukan OBE terhadapmatriksberikut, sehinggamenjadimatriks eselonbaristereduksi. Penyelesian Elemen pivot 2 1 – 1 3 4 4 7 5 Elemendieliminasi

  25. Langkahpertama Ubahelemen pivot menjadi 1 dengancaramengalikanbaris pertamadengan 1/2. ½ R1 –5R1+R2 –4R1+R3 2R2

  26. 9.8 Determinan Determinanadalahbesaranataunilai yang berhubungan denganmatrikspersegi. Jikadeterminansuatumatriks persegitidaksamadengannolmakamatrikspersegi tersebutmempunyaibalikan (inverse). Sebaliknya, jikadeterminansuatumatrikspersegitidaksama dengannol, makamatrikstersebuttidakmempunyaibalikan.

  27. Jikaterdapatmatriks , makadeterminan darimatriks A adalah • Contoh 9.12 Penyelesaian Tentukandeterminandari 9.8.1 Sifat-sifatdeterminan i) Setiapmatriksdantransposenyamempunyaideterminan yang samaataudet A = det AT

  28. ii) Jikaterdapatmatriks A danmatriks B, makaberlaku det(AB)=det (A) det (B) iii) Determinandarimatrikssegitigaadalahperkalian daridiagonalnya • Jikamatriks B adalahmatriks yang didapatdari • mempertukarkanduabuahbarismatriks A, maka • determinanmatriks B berlawanandengandeterminan • matriks A

  29. v) Jikamatriksdan c adalahkonstanta, maka a) b) • Jikaseluruhelemendarisalahsatubarissuatumatrikssama • dengannol, makadeterminanmatrikstersebutsamadengan • nol.

  30. 9.8.2 Kofaktor Misal A = [aij] adalahmatriksnxn, danmisalkan M adalah matriks (n-1)x(n-1) yang diperolehdari A dengan menghapusbariskeidankolomnke j padamatriks A. Determinandari M disebut minor dariaij (selanjutnya ditulisMij). Sedangkancijadalahkofaktoraijdandidefinisikansebagai, Contoh 9.9 Diketahui Tentukan minor dankofaktordari a11dan a13 Penyelesaian

  31. 9.8.3 Determinandarimatriks n x n Secaraumumuntukmenghitungdeterminandarimatriks orde n x n adalahsebagaiberikut. Jika A adalahmatrikspersegi n x n, makadeterminandari matriks A adalah

  32. Contoh 9.10 Tentukandeterminandari Penyelesaian Karena A adaahmatriks 3 x 3, makanilaiidiambilantara 1, 2, atau 3. Kita tentukani=1 Dari rumus 9.4a didapat, det A =

  33. = –8 + 9 – 30 = –29 det A =(–4)(2)+(1)(9)+(5)(–6) • Kerjakanulangcontoh 9.10 denganmenggunakanrumus 9.4b dengannilai j = 2. Selainmenggunakanrumus 9.4, menentukandeterminan matriksorde 3 dapatjugamenggunakancaraSarrus. Jikaterdapatmatriks

  34. –( ) –( ) –( ) Makadet A = +( ) +( ) +( ) A = a11a22a33 + a12a23a34 + a13a21a32 • – a31a22a13 – a32a23a11– a33a21a12

  35. 9.9 Adjoin Matriks Jikaterdapatmatriks A = [aij], maka Contoh 9.11 , tentukan adjoin A • Penyelesaian

  36. 9.10 BalikanMatriks (Inverse of a Matrix) Jikamatriks A = [aij] adalahmatrikspersegi n x n, maka balikan (inverse) dari A dilambangkandengan A-1merupakan matriks n x n sehinggamemenuhi 9.10.1 Menentukanbalikanmatriksdenganrumus

  37. Salahsatucarauntukmenentukanbalikanmatriksadalahdengan mencari adjoin dandeterminandarimatriks yang dicaribalikannya terlebihdahulu. • Setelahitugunakanrumus Contoh 9.12 , tentukan Penyelesaian

  38. 9.10.2 Balikanmatriksdenganmenggunakaneliminasi Gauss-Jordan Untukmenentukanbalikanmatriks A denganeliminasi Gauss-Jordan berartikitaharusmelakukaneliminasi matriks A menjadibentukeselonbaristereduksi. • Misal A adalahmatriks non-singular n x n. • AB = I jikadanhanyajika B =A-1 Bukti AB = I A-1 AB = A-1 I  IB = A-1 B = A-1atau A|I  AB |B  I|A-1 Berarti, jikakitaberhasilmengeliminasi A|I menjadi I|X, makakitadapatmemastikanbahwa X = A-1

  39. Contoh 9.13 Dari contoh 9.12, tentukan A-1denganmetodeeliminasi Gauss-Jordan Penyelesaian R2 –2/3 R1 R3 –R1 R3 –6/7 R2

  40. R1 + 2/3R2 R2 +4/7R3 R1–9/7R3

More Related