Le débat scientifique en classe un exemple concret en cours de maths (niveau BAC)

1. Le débat scientifique en classeun exemple concret en cours de maths (niveau BAC) Julien Douady enseignant-chercheur (sc. physiques) et conseiller pédagogiqueUniversité J. Fourier, Grenoble (France)julien.douady@ujf-grenoble.fr Atelier de formation – École Polytechnique de Montréal – jeudi 26 février

2. 2 / 37 Titre original : « dépoussiérons l’enseignement… »

3. 3 / 37 Les étapes de l’atelier • Le débat scientifique • deux modes cognitifs fondamentaux • la place et les objectifs du débat • L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) • vivre la situation en tant qu’apprenant • découvrir la puissance du dispositif • Comment procéder demain ? • les points cruciaux pour réussir un débat • une méthodologie pour la préparation

4. 4 / 37 Les étapes de l’atelier • Le débat scientifique • deux modes cognitifs fondamentaux • la place et les objectifs du débat • L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) • vivre la situation en tant qu’apprenant • découvrir la puissance du dispositif • Comment procéder demain ? • les points cruciaux pour réussir un débat • une méthodologie pour la préparation

5. 5 / 37 Le débat scientifiquedeux modes cognitifs fondamentaux : des rôles différents Le mode magistral Le mode (socio-)constructiviste montre-démontre-explique tout de manière cohérente cherche à problématiserun savoir qu’il juge essentiel Le professeur Les étudiants doivent comprendre le discours et la logique du professeur :auditeur doivent rentrer dans une problématique commune : auteur Logique de l’explication Logique de la problématisation

6. 6 / 37 Le débat scientifiquedeux modes cognitifs fondamentaux : forces et faiblesses Le mode magistral Le mode (socio-)constructiviste • Discours à la fois rigoureux, cohérent, exhaustif • Rassurant pour l’enseignant • Économe en temps • Doute, incertitude de l’auteur • Prise d’initiative, responsabilité engagée par les étudiants • Richesse et diversité des points de vue exprimés Forces et dynamique Faiblesses et limites • Passivité de l’auditoire • Impuissance face à des concepts ardus (obstacles épistémologiques) • Difficulté à donner du sens profond(à quoi ça sert tout ça ?) • Coût élevé en temps • Prise de risque pour l’enseignant • Improbable capacité à faire émerger des savoirs complets, justes et bien ordonnés

7. 7 / 37 Le débat scientifiqueles objectifs du débat Objectifs du débat scientifique = créer du sens • en générant du doute, en faisant ressurgir les contradictions • en autorisant des rapprochements abusifs • en engageant une responsabilité d’opinion Attention : lesétudiants ne construisent pas le savoir mais ils : • s’associent à une problématique commune • construisent du sens • développent de l’intérêt • pour les savoirs que le professeur va leur enseigner

8. 8 / 37 Le débat scientifiquela place du débat Les deux modes sont opposés et complémentaires Le mode magistral Le mode (socio-)constructiviste • Enseigner des méthodes, des techniques opératoires… • Enseigner des concepts fondamentaux, des notions difficiles… • Un débat se termine par une phase magistrale où l’enseignant • met de l’ordre dans les idées • apporte le contenu qui fait défaut • fait émerger le sens lié à la problématique L’alternance entre les deux modes doit respecter leurs dynamiques propres

9. 9 / 37 Les étapes de l’atelier • Le débat scientifique • deux modes cognitifs fondamentaux • la place et les objectifs du débat • L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) • vivre la situation en tant qu’apprenant • découvrir la puissance du dispositif • Comment procéder demain ? • les points cruciaux pour réussir un débat • une méthodologie pour la préparation

10. 10 / 37 Exemple des intégralesles règles du jeu • 1ère phase = débat privé(quelques minutes)vous pouvez discuter (du sujet) avec qui vous voulez...dans le but de vous forger une opinion personnelle • un vote vous vous déterminez personnellement en fonction des réponses proposées, en étant capable de justifier votre choix • 2ème phase = débat publicvous défendez votre point de vue en donnant vos arguments à vos collègues (et non à moi), pour les convaincre.Le débat privé est alors interdit, tout comme la critique...

11. 11 / 37 Exemple des intégralesla consigne • Vous avez 3 propositions à examiner • Pour chacune d’elles, vous devez vous positionner en étant capable de justifier votre choix… • OK (j’adopte cette démonstration) • NON (je refuse ce raisonnement) • Autre (vraiment impossible de choisir OK ou NON)

12. 12 / 37 z r dz z R y O x Situation n°1 Pour calculer le volume V d’une sphère de rayon R, on la découpe en tranches élémentaires parallèles au plan (xOy). Le volume dV d’une tranche de petite épaisseur dzsituée à l’altitude z est donnée par : Le volume total V est donc r(z) •  OK  NON Autre

13. 13 / 37 z H R dz z x O y Situation n°2Pour calculer l'aire latérale du cylindre de rayon R et de hauteur H, on découpe de même en tranches élémentaires parallèles au plan (xOy). L'aire latérale dS d'une tranche de petite épaisseur dz située à l'altitude z est : L'aire totale est donc donnée par : (z) •  OK  NON Autre

14. 14 / 37 z R ri zi Δz y O x Situation n°3Pour calculer le volume V de la sphère de rayon R, on peut aussi découper la demi-sphère supérieure en n tranches de même épaisseur Δz. Le volume ΔVide la tranche Ci située à l’altitude zi est donné par : Comme on a donc (par passage à la limite) Le volume total V est donc •  OK  NON Autre

15. 15 / 37 z H r(z) dz z H-z r(z) x z O R y Situation n°4 En suivant une procédure analogue, pour calculer l'aire latérale d'un cône de hauteur H et de base circulaire de rayon R, on peut découper le cône en tranches élémentaires parallèles à (xOy). L'aire latérale dS d’une tranche de petite épaisseur dz située à l’altitude z est celle du cylindre de rayon r(z) correspondant : Par Thalès, on obtient L'aire latérale totale S est doncOn retrouve ainsi que : l'aire latérale du cône est la moitié de l'aire latérale du cylindre (même base et même hauteur) •  OK  NON Autre

16. 16 / 37 Institutionnalisationautour des procédures infinitésimales La procédureinfinitésimaleestpertinente pour évaluerune grandeur G d'un objet Ω • longueur • aire • volume • masse • travail • potentiel • etc... dontle calcul ne peut pas se faire simplementcar G dépendd’un paramètre qui variedansl’objet. z Ω l(z)

17. 17 / 37 La procédureinfinitésimaleestinutile si le paramètrene varie pas (cylindre) ! Ω l

18. 18 / 37 h li Ωi Philosophie de la procédureinfinitésimale : • découperΩ en tranches Ωi“assez fines” pour que, surchaque tranche, le paramètregênantne variequasiment plus • le calculpartielde Gisurchaque tranche estfacile • le résultat global est la somme des parties Gi = li· h G = ∑ Gi

19. 19 / 37 Dans la pratique: • le professeur choisitun paramétrageastucieux • ilconsidère la tranche ∆Ω oudΩ, d’épaisseur∆zoudz, ilappelle∆GoudG le résultatcorrespondant • les symbolesdou∆sontaccompagnésdes motsmagiques « petit » ou« infiniment petit » • Et ensuite… • dG = f(z)·dzoù f(z) estunefonctionqu’on « arrive à calculer » • on passe de ∑ dG à ∫ f(z)·dzpuis à G = F(b) - F(a) • même sicela tend à montrerque 1 = 0(évitons paradoxes et contradictions)

20. 20 / 37 1er paradoxedisparition des ennuis = disparition de matière ! • Si l’épaisseur de la tranche est nulle: • le paramètrene varie plus • iln’y a plus de matière • “quevautunesommeinfinie de riens ???” • Si l’épaisseur de la tranche est non nulle: • le paramètrevarietoujours un peu • le calculexactsur la tranche redevientimpossible • saufsi la procédureest inutile...

21. 21 / 37 1er paradoxece qui n’est jamais dit… • L’épaisseur de la tranche est non nulle • Giresteincalculable • On prend un modèle Miqui facilite le calcul Δz f(z)

22. 22 / 37 1er paradoxecomment s’en sortir ? • Parhonnêteté, on reconnaîtqueGMi ≠ Gi • Il se créesurchaque tranche uneerreur de mesure Découpage Réel Modèle

23. 23 / 37 2nd paradoxedisparition de l’erreur = disparition de la mesure ! Pour avoirsurchaquetranche... on les rend de plus en plus fines : Dèslorstoutdevientinfiniment petit ! l'erreur et le résultat local

24. 24 / 37 Commeet on aura donc 2nd paradoxece qui n’est jamais dit… La méthode n’est utile que si

25. 25 / 37 2nd paradoxecomment s’en sortir ? • Si l’erreur est du 1er ordre : εi = Δz = H/nalorserreur globaleincompressible • Si l’erreur est du 2nd ordre : εi = Δz² = H²/n²alorserreur globale nulle en passant à la limite • En général, surchaque tranche, ilfaut : GMi >> εi

26. 26 / 37 Synthèsevalidité de la procédure infinitésimale • si on parvient à écrire : Gi = f(z) x Δz + ε(Δz) • et si l’erreur est du 2nd ordre : ε(Δz) < Cste x (Δz)² • alorsla théorie nous assure que : égalité « absolue » ! sinon, on fait n’importe quoi !

27. 27 / 37 Retour sur les situations examinées • Situation 1 : aucune vérification, on est chanceux • Situation 2 : aucun paramètre variable, inutile • Situation 3 : vérification faite, on est certain L'erreur  (∆z)  est majorée par la différence de volume des cylindres de hauteur ∆z et de rayons respectifs r(z+ ∆z) et r(z) donc du second ordre :   (∆z ) ≤ Cste· (∆z)2

28. 28 / 37 Retour sur les situations examinées Situation 4 : aucune vérification, foutaise ! L'erreur  commise est de l'ordre de 2  R (l - z)    < z·[ 2  R · (1/cos() – 1)] donc de l'ordre de z (si  ≠ 0) R

29. 29 / 37 Les étapes de l’atelier • Le débat scientifique • deux modes cognitifs fondamentaux • la place et les objectifs du débat • L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) • vivre la situation en tant qu’apprenant • découvrir la puissance du dispositif • Comment procéder demain ? • les points cruciaux pour réussir un débat • une méthodologie pour la préparation

30. 30 / 37 Les étapes de l’atelier • Le débat scientifique • deux modes cognitifs fondamentaux • la place et les objectifs du débat • L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) • vivre la situation en tant qu’apprenant • découvrir la puissance du dispositif • Comment procéder demain ? • les points cruciaux pour réussir un débat • une méthodologie pour la préparation

31. 31 / 37 Comment procéder demain ?les points cruciaux pour réussir un débat Quatre ingrédients essentiels • objectif du cours : consistance épistémologique • situation proposée : pertinente et polémique • débat : dévolution de responsabilité, neutralité • institutionnalisation : contextualisée et percutante

32. 32 / 37 Comment procéder demain ?la consistance épistémologique : avec ou sans ? • Une situation sans consistance épistémologique « Quelle est l’aire de ce parallélogramme ? » 4 m A = 12 x sin(θ) (en m²) 3 m θ • Une situation avec consistance épistémologique 4 m « Quelle est l’aire de ce parallélogramme ? » 3 m A = 12 m²

33. 33 / 37 Comment procéder demain ?la consistance épistémologique - suite Ici, la consistance épistémologique consiste à imaginer, à partir de la situation proposée, d’autres situations possibles : Situations cruciales

34. 34 / 37 Comment procéder demain ?la gestion du débat Pendant le débat, le professeur doit absolument : • laisser assez de temps pour l’appropriation • assurer la dévolution du problème • noter et reformuler les opinions sans les déformer • rester neutre vis-à-vis des arguments exprimés • aplanir les difficultés « secondaires et bruyantes » • faire ressortir les opinions divergentes et incompatibles • épingler intérieurement les arguments-clés qui serviront dans son institutionnalisation

35. 35 / 37 Comment procéder demain ?l’institutionnalisation : étape clé ! L’institutionnalisation est l’étape la plus difficile ; elle doit : • réorganiser les propos exprimés pour en faire un ensemble construit et cohérent • s’appuyer sur les idées émises, et renvoyer aux questions débattues • apporter les concepts manquants • ne pas éviter l’obstacle épistémologique • éviter tout jugement sur les opinions : « nos tâtonnements ont permis de franchir une étape » « contextualisée » et « percutante »

36. 36 / 37 Comment procéder demain ?une méthodologie pour la préparation Uncanevas temporel robuste pour préparer un débat • Avant : • identifier un obstacle épistémologique et une situation pertinente • tester la situation auprès de collègues issus d’autres domaines • imaginer toutes les réponses possibles pour ne pas être pris au dépourvu • Pendant : • Présenter clairement le nouveau contrat • 1ère phase = débat privé (10-15 min) : dévolution du problème • le vote : permet la prise de responsabilité • 2ème phase = débat public (20-60 min) : confrontation des idées • 3ème phase = institutionnalisation (10 min) : réorganisation des savoirs Les premières fois, sollicitez un collègue ou un conseiller pour vous observer

37. 37 / 37 Merci pour votre attentionavez-vous des réactions / des questions ? Le diaporama et le « mémento » sont disponibles sur le site du BAP : http://www.polymtl.ca/bap/doc/index.php julien.douady@ujf-grenoble.fr