“ Pelabelan Total (a,d) – Sisi – Anti Ajaib pada lingkaran dan lintasan“

“ Pelabelan Total (a,d) – Sisi – Anti Ajaib pada lingkaran dan lintasan“ Dartono NIM : 20104020 Oleh PEMBIMBING : Dr. RINOVIA SIMANJUNTAK Institut Teknologi Bandung

TOPIK PEMBAHASAN • KONSEP DASAR • HASIL SEBELUMNYA • PERMASALAHAN • TUJUAN • HASIL UTAMA

KONSEP DASAR • Pelabelan graf adalah suatu pemetaan satu-satu yang memetakan himpunan dari elemen-elemen graf ke himpunan bilangan bulat positif. • Elemen-elemen graf : - Himpunan titik - Himpunan sisi - Himpunan titik dan sisi

Pelabelan graf G = (V, E ) adalah suatu pemetaan: D → N, dimana D : domain, N : himp. label dari G. • D = V maka disebut pelabelan titik • D = E maka disebut pelabelan sisi • D = V UE maka disebut pelabelan total

Bobot sisi : jumlah label sisi dan label dua titik yang menempel pada sisi. • jika semua sisi mempunyai bobot sisi yang sama maka pelabelan tersebut disebut pelabelan total- sisi-ajaib. • Jika semua sisi mempunyai bobot sisi yang berbeda dan himpunan bobot sisi dari semua sisi membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda d maka pelabelan tersebut disebut pelabelan total-sisi-anti ajaib

Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada grafG=G(V,E) adalah pemetaan satu-satu dari V (G) E (G) pada {1, 2, . . . , v + e}, sedemikian hingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di G adalah {a, a + d, a + 2d, . . . , a + (e – 1)d} untuk suatu bilangan bulat positif a dan d. • Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pertama kali diperkenalkan oleh Rinovia Simanjuntak, Mirka Miller, dan Francois Bertault pada tahun 2000.

Hasil-hasil sebelumnya. • Untuk setiap lingkaran Cnsudah ditemukan pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib untuk d = 1 dan d = 2 untuk lingkaran genap Cnserta d = 3 untuk lingkaran ganjil Cn . Simanjuntak dkk [9] tahun 2000 • Untuk setiap lingkaran Cn , n ganjilsudah ditemukan pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib untuk d = 2 dan d = 4 untuk lingkaran ganjil Cn .Baca dkk [3] tahun 2001 • Untuk setiap lintasan Pn , n genap sudah ditemukan pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib untuk d = 1 dan d = 3 untuk lintasan ganjil Pn . Simanjuntak dkk [9] tahun 2000 • Untuk lintasan Pn , n ganjilsudah ditemukan pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib untuk d = 2 dan 4.Baca dkk [3] tahun 2001

PERMASALAHAN Apakah ada pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada lingkaran dan lintasan dengan jumlah titik genap.

TUJUAN Untuk membuktikan bahwa lingkaran dan lintasan dengan jumlah titik genap mempunyai pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib

HASIL UTAMA • Teorema 4.1 Untuk setiap n ≥ 4, dan n genap, lingkaran Cn mempunyai pelabelan total (n+4,3)-sisi-anti ajaib. • Akibat 4.1Untuk setiap n ≥ 4, dan n genap, lingkaran Cnmempunyai pelabelan total (2n+2,3)-sisi-anti ajaib. • Teorema 4.2Untuk setiap n ≥ 4, dan genap, lintasan Pnmempunyai pelabelan total (n+4,4)-sisi-anti ajaib. • Teorema 4.3 Untuk n  2, lintasan Pnmempunyai pelabelan total (6,6)-sisi-anti ajaib.

2 2 8 9 6 7 5 3 5 3 1 10 8 1 4 6 11 4 12 7 Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada lingkaran C4, C6, C8 untuk d = 3 2 11 10 5 3 12 1 8 4 16 13 9 7 15 14 6 (a,d)=(8,3) (a,d)=(10,3) (a,d)=(12,3)

Pembahasan Hasil Utama Teorema 4.1 Untuk setiap n ≥ 4, dan n genap, lingkaran Cn mempunyai pelabelan total (n+4,3)- sisi-anti ajaib. Bukti : Misalkan V (Cn) = {xi│1≤i ≤n} E (Cn)= {xixi+1│1≤i ≤n-1}  {xn x1} Perhatikan pelabelan total: f : V (Cn) E (Cn)  {1, 2, 3, …, 2n}

dan

Maka bobot sisi wf (xixi+1),1 ≤ i ≤ n dari Cn, dan

Maka himpunan bobot sisi Wf : Jadi, untuk setiap n ≥ 4, dan n genap, lingkaran Cn mempunyai pelabelan total (n+4,3)-sisi-anti ajaib.

Dengan dualitas (Teorema 3.3.1) kita mempunyai, Akibat 4.1Untuk setiap n ≥ 4, dan n genap, lingkaran Cnmempunyai pelabelan total (2n+2,3)-sisi-anti ajaib.

2 6 4 1 5 3 7 2 4 6 8 10 5 11 1 7 9 3 Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib P4, P6, dan P8 untuk d = 4 (a,d)=(8,4) (a,d)=(10,4) 10 14 2 6 12 8 4 (a,d)=(12,4) 15 7 9 11 13 1 9 11 5 3

Teorema 4.2 Untuk setiap n ≥ 4, dan genap, lintasan Pnmempunyai pelabelan total (n+4,4)-sisi-anti ajaib. Bukti : Labelkan himpunan titik dan sisi dari Pndengan cara sebagai berikut :

Misalkan wgmenyatakan bobot sisi dari Pn dan Wg adalahhimpunan bobot sisi : Jadi, untuk setiap n ≥ 4, dan n genap, lintasan Pn mempunyai pelabelan total (n+4,4)-sisi-anti ajaib.

2 3 1 2 4 5 1 3 2 4 6 1 5 3 7 2 4 6 8 9 7 1 3 5 Pelabelan total (6,6)-sisi-anti ajaib dari P2, P3, P4, P5.

2 4 6 8 10 9 11 1 3 7 5 Pelabelan total (6,6)-sisi-anti ajaib dari P6 dan P8 14 10 12 8 2 6 4 15 13 11 3 7 9 1 5

Teorema 4.3 Untuk n  2,lintasan Pnmempunyai pelabelan total (6,6)-sisi-anti ajaib. Bukti : Labelkan himpunan titik dan sisi dari Pndengan cara sebagai berikut : untuk 1 ≤ i ≤ n untuk 1 ≤ i ≤ n - 1

Maka himpunan bobot sisi Wfdari Pn: Jadi, untuk n  2, lintasan Pnmempunyai pelabelan total (6,6)-sisi-anti ajaib.

Untuk lingkaran Cn ,n genap, dengan d = 4,5, lingkaran Cn, n ganjil dengan d = 5, dan lintasan Pn , n genap dengan d = 5, kami belum dapat menemukan pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib.

1 2 8 2 1 6 5 3 12 3 4 7 11 6 5 8 9 10 4 7 2 1 3 1 10 8 2 12 20 5 3 5 4 19 7 12 17 13 11 9 6 8 9 10 6 18 4 15 14 11 16 7 Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada lingkaran genap C4, C6, C8 dan C10 untuk d = 4

1 6 3 1 1 4 2 4 3 4 2 2 9 6 10 3 6 5 7 9 7 5 11 7 14 5 8 8 8 12 10 12 11 16 15 13 Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada lingkaran genap C4, C6 dan C8 untuk d = 5

2 1 2 3 3 1 2 10 4 7 4 7 9 6 5 11 5 8 9 14 6 10 12 13 8 Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada lingkaran ganjil C5danC7 untuk d = 5 (a,d)=(7,5) (a,d)=(8,5)

2 6 5 3 4 1 7 2 8 5 7 11 6 10 4 1 9 3 Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib darilintasan genap P4danP6untuk d = 5 (a,d)=(6,5) (a,d)=(7,5)

OPEN PROBLEM • Untuk n genap, carilah pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib dari lingkaran Cn dengan d = 4 dan 5. • Untuk n ganjil, carilah pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib dari lingkaran Cn dengan d = 5. • Untuk n genap, carilah pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib dari lintasan Pn dengan d = 5.

TERIMA KASIH

“ Pelabelan Total (a,d) – Sisi – Anti Ajaib pada lingkaran dan lintasan“