Análisis espectral avanzado

1. Análisis espectral avanzado • En este capítulo consideraremos algunos aspectos del análisis espectral avanzado, en especial el análisis bi-espectral. • Hasta ahora sólo hemos considerado el análisis lineal: interacciones entre ondas independientes (espectro cruzado), correlación lineal, etc. • Pero en particular en el campo del estudio de la turbulencia, se necesitan herramientas más avanzadas. En particular, sabemos que las interacciones entre perturbaciones no son lineales. Como ejemplo, considera el siguiente modelo simplificado para turbulencia (relevante para ondas de deriva en plasma’s):

2. Ecuación de acoplo de ondas ritmo de crecimiento lineal (growth rate) relación de dispersión coeficiente de acoplo de ondas Descripción de ondas planas sin interacción Descripción de interacción cuadrática (segundo orden) f(k,t) es la transformada de Fourier del campo fluctuante f(x,t).

3. Ecuación de acoplo de ondas • La ecuación de acoplo de ondas es relevante en situaciones de turbulencia “débil” o no muy desarrollada, donde todavía existen “modos” coherentes dominantes que pueden interactuar. La situación de turbulencia “fuerte” o desarrollada, donde todos los modos coherentes se han destruido y el espectro se asemeja al de ruido blanco, requiere otras herramientas que describiremos más adelante. • El coeficiente de acoplo L(k1,k2) describe la intensidad del acoplo que da lugar a que una onda (k,w) decaiga en dos ondas (k1,w) y (k2,w). Con signo invertido, L(k1,k2) describe la intensidad del acoplo que da lugar a que dos ondas (k1,w) y (k2,w) produzcan una onda (k,w). • La ecuación de acoplo de ondas surge de la ecuación de Navier-Stokes en la aproximación de segundo orden (inlcuyendo los términos cuadráticos, en particular el término dv/dt = ∂v/∂t + (v·)v; el término de acoplo es producto de la transformada de Fourier del término (v·)v ). k2 k k1

4. Ecuación de acoplo de ondas • Ejemplos de la aplicabilidad de esta ecuación: • Ondas de superficie en agua no profunda • Ondas Rossby en la atmósfera • Ondas de deriva en plasmas de fusión (la turbulencia de ondas de deriva sin disipación se puede descibir por la ecuación de Hasegawa-Mima, que tiene la misma forma que la ecuación de acoplo de ondas). • Obsérvese que la ecuación de ondas presentada es la forma más sencilla de esta ecuación, ya que se han ignorado todos los procesos de acoplo de orden mayor (acoplos entre 4, 5, ... ondas). Esto invalida la ecuación para situaciones donde tales acoplos son importantes, como por ejemplo: • Ondas de superficie en agua profunda. • Turbulencia “fuerte” no-adiabática (donde aparecen términos mixtos entre la densidad y la potencial del plasma).

5. Análisis de datos • Presentaremos un método para estimar los parámetros de la ecuación de acoplo de ondas (gk, wkyL(k1,k2)) a partir de series temporales medidas. • Para tal fin, primero se calculan dos espectros de Fourier: Xk tomado en un tiempo t, y Yk tomado en un tiempo t+t. Yk puede corresponder a la misma señal que Xk o no (por ejemplo, la misma cantidad medida en otra posición), según el caso. • Después se procede a calcular las funciones de tranferencia lineal (Lk) y quadrático (Qk), que expresan cómo el espectro Xk se transforma en Yk en un tiempo t. • Para poder realizar este cálculo, se expresa la derivada temporal en la ecuación de acoplo de modos como una diferencia finita. Por tanto, este cálculo sólo es válido cuando t es (mucho) menor que el tiempo de existencia de las ondas, o el tiempo de decorrelación.

6. Estimación del coeficiente de acoplo • Es importante destacar que el cálculo que vamos a hacer es un cálculo estadístico, y que por tanto se requieren muchas realizaciones estadísticamente independientes del proceso. Esto también invalida su aplicación a la turbulencia desarrollada, ya que se necesita un sistema en estado estacionario para poderlo aplicar. • Se supone que las señales tienen promedio cero (y si no, se resta el promedio primero). • El espectro se descompone en amplitud y fase:

7. Estimación del coeficiente de acoplo • La variación temporal del espectro que aparece en la ecuación de acoplo de ondas se puede aproximar por: • Esta expresión se sustituye en la ecuación de acoplo de ondas para obtener: donde

8. Estimación del coeficiente de acoplo • Mediante esta ecuación podemos calcular el espectro f(k,t+t) a partir del espectro f(k,t) y los coeficientes de acoplo lineal (LLk) y cuadrático (LQk). • Escribiendo: • La ecuación de transferencia se simplifica así:

9. Estimación del coeficiente de acoplo • Por consiguiente, la ecuación de acoplo de ondas se representa por un sistema donde la salidaYk tiene respuestas lineales y cuadráticas a la entrada Xk. • Los coeficientes Lk y Qkk1,k2 se conocen como las funciones de transferencia lineal y cuadrática. • Para señales Gaussianas (no correlacionadas), se sabe cuales son sus valores. • Pero, una señal con interacciones no-lineales no es Gaussiana, así que debemos intentar evaluarlas con cuidado. • Multiplicando Yk con el conjugado complejo de Xk y promediando sobre realizaciones independientes <...>, obtenemos: (1) promedio del espectro promedio del bi-espectro

10. Estimación del coeficiente de acoplo • Ya vemos que el bi-espectro juega un papel en el cálculo de las funciones de transferencia. Más adelante se discutirán las propiedades del bi-espectro, ahora seguimos con el cálculo del coeficiente de acoplo. • Similarmente, multiplicando Yk con Xk1*Xk2 * se obtiene: • donde k = k1 + k2 = k’1 + k’2 • El cálculo del término cuadrático es muy complicado pero en muchas teorias de turbulencia “débil” simplemente se ignoran términos donde (k’1, k’2) ≠ (k1, k2), de tal manera que (2) • Existe alguna justificación experimental para esta aproximación.

11. Estimación del coeficiente de acoplo • Ahora, finalmente, tenemos un conjunto de ecuaciones que podemos resolver con métodos algorítmicos lineales para obtener Lk y Qkk1,k2, y de estás últimas podremos deducir las LLk y LQk. • Las cantidades que necesitamos para poder efectuar el cálculo son: espectro espectro cruzado auto-bi-espectro bi-espectro cruzado • La fase que aparece en las ecuaciones para calcular LLk y LQk es:

12. Discusión • Para entender el resultado un poco mejor, vamos a ver qué pasa si Xk corresponde a una señal Gaussiana. • Físicamente, esto quiere decir que antes del tiempo t no hubo interacciones no-lineales, pero que empiezan a actuar sólo a partir de t (y durante el intervalo t). • En este caso, el auto-biespectro de Xk es cero, y se puede evaluar cuál es el resultado de las ecuaciones anteriores (cantidades con superíndice 0 son las que valen en esta aproximación): • Es decir, la frecuencia que corresponde a una longitud de onda k se calcula a partir del cambio de fase producido en el intervalo t.

13. Discusión • Igualmente: • Es decir, el crecimiento lineal de las ondas de longitud de onda k se calcula por una fórmula estrechamente relacionada con la definición habitual de la coherencia lineal, lo cual tiene mucho sentido. Si YkXk* es menos correlacionado que XkXk*, la onda ha perdido “fuerza” (ha decrecido) en el intervalo t, y gk es negativa.

14. Discusión • Finalmente podemos estimar el coeficiente de acoplo de ondas en esta aproximación: • donde k = k1 + k2. • Como se puede observar, el coeficiente de acoplo en esta aproximación es esencialmente igual al bi-espectro. • La corrección de fase - y no de amplitud - (segunda parte de la expresión arriba) es debido a la propagación de las ondas en el intervalo t.

15. Importancia de los coeficientes • La mayoría de los modelos teóricos de turbulencia hablan de los “ritmos de crecimiento” de los modos (y la relación de dispersión) y de los “coeficientes de acoplos de modos” (wave coupling coefficients). Son conceptos fundamentales para casi cualquier modelo turbulento. Con lo anterior, ya podemos estimar el valor de estos parámetros a partir de los datos experimentales (siempre que se cumplan las condiciones de validez de las aproximaciones). • Conociendo el valor de estos parámetros, podríamos en principio predecir cuál sería la forma del espectro turbulento que cabe esperar, ya que la turbulencia debe evoluar hacia una situación estacionaria. • Y podemos avanzar todavía más: podríamos estimar el ritmo de transferencia de energía de unas ondas a otras.

16. Ritmo de transferencia de energía • Para calcular el ritmo de transferencia de energía, multiplicamos la ecuación de acoplo de ondas por f*(k,t) con la finalidad de obtener una ecuación para la potencia espectralPk = ‹fkfk*›. • La ecuación cinética de ondas es: donde • Esto significa que el cambio en la potencia espectral P de la onda k es debido tanto al ritmo de crecimientogk como a la función de transferencia de energíaTk. • Una representación gráfica de esta cantidad nos permitirá ver cuales son las ondas k que ganan (pierden) energía de (a) ondas k1 y k2.

17. Representación gráfica • Como hemos visto, el bi-espectro es esencialmente igual al coeficiente de acoplo de ondas. • La función de transferencia de energía tiene un significado muy relevante para entender cascadas de energía en sistemas turbulentos, y también está relacionada estrechamente con el bi-espectro. • Observa que el bi-espectro es una función matemática que está bien definida para cualquier señal, independientemente de la validez de los hipótesis, mientras que la función de transferencia de energía sólo se puede calcular cuando las hipótesis (estacionaridad, turbulencia “débil”) se cumplan. • Por tanto, en muchas ocasiones es preferible representar el bi-espectro en lugar de la función de transferencia de energía, a pesar de que esta última parece más fácil de interpretar.

18. Representación gráfica • El bi-espectro se dibuja en el plano (k1, k2). • Debido a varias simetrías, no es necesario representar el plano entero. • En una situación de medida, los k’s (o w’s) deben ser inferiores a la frecuencia de Nyquist. • La gráfica es simétrica en k1y k2, y por tanto podemos omitir la mitad k2 ≥ k1. • (-k1, -k2) es igual a (k1, k2) y se puede omitir. k2 k1

19. Normalización • El bi-espectro es: • Es una cantidad compleja. A menudo es conveniente utilizar en su lugar la denominada bi-coherencia, ya que es real y normalizada de tal manera que su valor está entre 0 y 1: • Las tres regiones del área de representación de la bicoherencia sólo difieren en cuanto a la normalización de b2. • Algunos autores normalizan la bicoherencia con el denominador:pero de esa forma se pierde información, y el valor de b2 ya no está comprendido entre 0 y 1.

20. Representación gráfica de la bicoherencia k k2 k1

21. Bicoherencia basado en wavelets • La bicoherencia se puede definir en base a wavelets. • Las definiciones son exactamente las mismas que las de Fourier (pero véase Phys. Plasmas, Vol. 2, No. 8, 1995, p. 3017). • La única observación importante aquí es que los wavelets usados deben ser contínuos (no discretos), ya que, para poder cumplir la regla k = k1 + k2, los valores de k, k1y k2 no pueden estar todos en el conjunto {k0 2n}. • La interpretación ya no debe referirse a ondas planas, sino a “wave packets” (similar a solitones).

22. Nivel de error en bicoherencia experimental • Es necesario poder estimar un nivel de error en la bicoherencia para saber si su valor es significativo. • El error relativo máximo en un espectro es 1 (100%). La bicoherencia involucra promedios sobre realizaciones. Si usamos N realizaciones independientes, entonces un estimado del error relativo en la bicoherencia es: 1/√N.(La modificación de este sencillo argumento para el caso de wavelets requiere alguna elaboración, véase el artículo mencionado). • Esto es comprobable experimentalmente. Empieza con una señal u(t), calcula la transformada de Fourier û(w), randomiza las fases, y calcula la transformada inversa u’(t). La señal u’(t) tiene una bicoherencia igual al nivel de ruido.

23. Nivel de error de la bicoherencia en función de N N: número de realizaciones Análisis de una señal de ruido blanco

24. Resultado de eliminación de información de fase • Señal u(t) inicial • Analizar • Calcula la transformada de Fourier û(w) • Randomiza las fases • Calcula la transformada inversa u’(t). • Analizar

25. Comparación de bicoherencia Fourier-Wavelet Señal experimental (turbulencia medida con sondas en experimento de fusión) Espectro turbulento Bicoherencia

26. Ejemplo de uso de la bicoherencia • Este ejemplo es una aplicación a un modelo matemático. • Dos osciladores “van der Pol” acoplados (modelo usado, entre otros, para describir ciertas interacciones en haces de láser). • Es un sistema que oscilará por sí solo, sin inyección de energía desde el exterior. • Dependiendo de los parámetros puede estar en un estado periódico, cuasi-periódico o caótico. • Cada oscilador tiene 2 coordenadas: x e y. • {i=1, j=2} es el primer oscilador, y {i=2, j=1} es el segundo oscilador. • ei describe el ciclo límite de cada oscilador. • aj describe el acoplado entre los osciladores.

27. Osciladores de van der Pol Los parámetros del sistema para dos osciladores de van der Pol acoplados en un estado periódico y en un estado caótico. Estadoe1e2a1a2 Periódico 1.0 1.0 0.5 -1.75 Chaótico 1.0 1.0 0.5 1.75 Espectro en estado caótico: Espectro en estado periódico:

28. Osciladores van der PolBicoherencia

29. Osciladores van der PolConclusiones • El espectro muestra unos picos, pero no nos informa qué frecuencias se acoplan con otras. • La bicoherencia muestra claramente que el segundo pico (0.34) del espectro (caso periódico) está acoplado con el primero (0.17) y el tercero (0.51). • De esto, se puede deducir que los picos impares (1, 3, 5, ...) del espectro peretenecen a los ciclos límite de los osciladores, mientras que los picos pares (2, 4, ...) se producen por el acoplo entre ellos. • En el caso caótico se produce un fenómeno similar, perocon valores de frecuencia inferiores. Esto es debido al proceso de “doblado de periodo”, mediante el cual el sistema transita al estado caótico. • Aquí el dibujo es menos claro, debido a que la complejidad de las interacciones ha aumentado. Cabe esperar que ahora una buena descripción del acoplo requiere más términos que el término cuadrático.