TRIGONOMETRIA

1. αβγδεζηθικλμνξοπρςστυφχαβγδεζηθικλμνξοπρςστυφχαβγδεζηθικλμνξοπρςστυφχαβγδεζηθαβγδεζηθικλμνξοπρςστυφχαβγδεζηθικλμνξοπρςστυφχαβγδεζηθικλμνξοπρςστυφχαβγδεζηθ Tópicos de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA para uso em sala de aula TRIGONOMETRIA ڄټڏګڠٸڃڊڏٻڥڄټڏګڠٸڃڊڏٻڥڄټڏګڠٸڃڊڏٻڥڄټڏګڠٸڃڊڏٻڥڄټڏګڠٸڃڊڏٻڥڄټڏګڠٸڃڊڏٻڥڄټڏګڠٸڃڊڏٻڥڄټڏګڠٸڃڊڄټڏګڠٸڃڊڏٻڥڄټڏګڠٸڃڊڏٻڥڄټڏګڠٸڃڊڏٻڥ Andressa Cerqueira Beatriz Suzana Levin Jéferson Alves Renata Cruz Pissardo

2. Apresentação do livro: • Livro elaborado por: National Council of Teachers os Mathematics – dos Estados Unidos da América • Tem por proposta: Criação de um texto que independesse de pré-requisitos específicos Inclusão de assuntos significativos para todos os níveis escolares Fornecimento de material com possibilidade de uso imediato em sala de aula Possibilidade de servir de motivação Possibilidade de servir de referência

3. Estrutura do livro: • Introdução: visão geral – Edward S. Kennedy • Cápsula 1: O almagesto de Ptolomeu – Larry Mossburg • Cápsula 2: Ângulo – Jerry W. Shereves • Cápsula 3: Ângulos retos – Donald L.Reinknd • Cápsula 4: Medida angular – Philip S. Jones • Cápsula 5: Seno e co-seno – Roger D. Lowe e Cynthia Schanck • Cápsula 6: Tangente e co-tangente – Ruth Anne Miler • Cápsula 7: Identidades trigonométrias – Eleanor Hayes

4. Visão Geral: Astronomia Sombra “Gnomom” Sombra e sombra reversa Trigonometria Função Corda [Mediterrâneo] Seno [Índia] Seno reverso Cosseno A

5. Visão Geral: A Trigonometria Genuína [Síria e Ásia Central] Tábuas Sexagesimais [Europa] Substituição de regras verbais por símbolos Cálculo Infinitesimal Fim da trigonometria como ramo independente da Matemática

6. Tábuas de sombra: • Tábuas de sombra estendida: Sombra do gnômon projetada no solo. Hoje: Sombra cotg θ gnômon θ Comprimento do gnômon θ Sombra projetada

7. Tábuas de sombra: • Tábuas de sombra reversa: Sombra projetada por um gnômon horizontal Hoje: tg Comprimento do gnômon θ Sombra θ Sombra projetada gnômon

8. Função Corda: • Corda: Latim – Chorda (corda de arco) Grego – Chorde (intestino de um animal) • Estudado pelos gregos antes da era cristã • Teon de Alexandria(390 d.C.) mencionou que Hiparco (140 a.C.) havia escrito doze livros sobre cálculo de cordas, incluindo uma tábua de cordas A 60 θ crd θ B

9. Função Seno: A θ/2 Sen(θ/2) • Seno: Indus: jya, uma das grafias da palavra corda Árabes: jyb lida incorretamente como jayb que significa bolso, golfo ou seio Latin: Sinus, tradução em latim do árabe • Surgiu quando pensou-se em calcular metade da corda de um arco duplo • Tábuas mais antigas foram descobertas na Índia, onde se originaram • 500 d.C. – matemático hindu Aryabhata já calculava semi-cordas. 60 B

10. Função Seno: • Algum tempo depois os matemáticos • hindus calculavam tabuas de seno e • seno reverso (R-cos θ) • Rheticus (1550) foi o primeiro europeu que usou as funções trigonométricas como razões entre os lados de um triângulo retângulo • Edmund Gunter (1620): termo co-seno para o complemento do seno de um ângulo

11. Analemas: • Método geométrico descritivo que visa acomodar em um único plano uma esfera • Projeção Estereográfica: provavelmente foi inventada por Hiparco. • Figura plana que pode ser resolvida por • tábuas de sombras e pela função corda. • Planisphaerium e Analemma, ambos • de Ptolomeu.

12. O Almagesto de Ptolomeu: • Almagesto: magiste (o maior) + al = Al-magest Almagesto (13 livros) • A circunferência era dividida em 360 partes (graus) diâmetro dividido em 120 porções divididas em 60 partes (minutae primae) divididas em 60 partes (minutae secundae). Daí os termos minuto e segundo. • A Tábua de Cordas de Ptolomeu fornece a medida das cordas, de meio em meio grau, de 0,5º a 180º. • Teorema de Ptolomeu: • AD . BC = AC . BD – AB . CD sen(U – V) = senU cosV – senV cosU • Maior contribuição: promoção da ideia de que uma descrição matemática dos fenômenos naturais é desejável e possível.

13. Ângulo: • Euclides: “Um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas retas que num plano têm um extremo comum e não estão em prolongamento”. Ângulo raso é “retilíneo”, cujos lados estão na mesma linha reta. • O ângulo é uma quantidade, uma qualidade ou uma relação? (Aristóteles). Proclus diz que é uma combinação dos três. • H. Schotten sumariou as definições de ângulos: diferença de direção entre duas linhas retas, medida de rotação e a porção do plano contida “entre” as duas retas que definem o ângulo. • Pierre Herigone: usava < e para representar ângulos. Em 1923 o “National Commitee on Mathematical Requirements”, recomendou como padrão.

14. Ângulos Retos: • Os antigos mediam altura de um objeto colocando uma vara em ângulo reto com o horizonte e comparando as sombras projetadas. • Euclides deu uma definição em Elementos e mais adiante enunciou o quarto postulado. • O ângulo reto foi usado como padrão para medir outros ângulos. “Ângulo Agudo” e “Ângulo Obtuso” respectivamente menor e maior que um ângulo reto. • Hilbert (1899): enunciou seis axiomas de congruência de triângulos e ângulos e posteriormente provou que todos os ângulos retos são iguais.

15. Medida Angular: • Os Babilônios antigos desenvolveram um sistema numérico de base 60. • A civilização grega absorveu parcialmente a cultura babilônica. Hipísiles foi o primeiro astrônomo grego a dividir o circulo do zodíaco em 360 partes. • Ptolomeu fez uso genérico das frações sexagesimais em seus cálculos. • Thomas Muir e James T. Thomson consideravam a necessidade de uma nova unidade angular, o radian (radiano). • Oliver, Wait e Jones discutiram a expressão de ângulos em termos de “ “. As razões estavam ligadas na simplificação de fórmulas matemáticas e físicas. • “Mil verdadeiro” = ângulo central cujo arco mede 0,001; “Mil” = usado pelo Exército dos Estados Unidos.

16. Livro apresentado: Dados de Catalogação na publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Kennedy, Edward S. História da trigonometria / Edward S. Kennedy; trad. Hygino H. Domingues – São Paulo : Atual, 1992 – (Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula; v. 5) Bibliografia ISBN 85-7056-455-4 1. Matemática (2º grau) 2. Matemática – História 3. Trigonometria – História I. Título. II. Série.