INFORMACJA!

1. INFORMACJA! • Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców. Dla właściwego ich wykorzystania konieczny jest komentarz osoby rozumiejącej treści zawarte w prezentacjach. • Dla studentów jest to tylko materiał uzupełniający do studiów w bezpośrednim kontakcie z prowadzącymi, a także ułatwiający zrozumienie treści podręczników. • Przedstawiana wersja jest pierwszą edycją wykładów przeprowadzonych w roku ak. 2009/10 i wymagać może poprawek i uzupełnień. Pobierający te materiały proszeni są o przesyłanie swoich uwag na adres e-mailowy autora: mc@limba.wil.pk.edu.pl.

2. RESUMÉ wiadomości WM1 (1 semestr)

3. 1.PRZYPADKI WYTRZYMAŁOŚCIOWE

4. MzI n P3 P2 MwII SzII SwI O P1 SzI O Pi SwII MwI MzII n Pn {wI} {wII} Redukcja układów sił wewnętrznych – siły przekrojowe {wI} ≡ {ZII} {wII} ≡ {ZI} SwI≡ SzII MwI≡ MzII SwII ≡SzI MwII≡MzI SwI≡ - SwII MwI≡ - MwII

5. Swz Sw Mwz Mw z Swx Swy Mwx Mwy x y Siły przekrojowe w płaskich ustrojach prętowych W ogólności (3D) siły przekrojowe mają trzy składowe Mw{ Mwx , Mwy , Mwz} Sw{ Swx , Swy , Swz} Składowewektorów sumy i momentu siłwewnętrznych:Swx , Swy , Swz i Mwx , Mwy , Mwznazywamy siłami przekrojowymi

6. P Sz z x q Sx y My . M M Siły przekrojowe w płaskich ustrojach prętowych W prętach 2D liczba sił wewnętrznych ulega redukcji, gdyż obciążenie i os pręta leżą w jednej płaszczyźnie (na rys. pł. x, z): Sw{ Sx , 0, Sz} Mw{ 0, My , 0 } Noszą one nazwy: Sx=N - siła podłużna Sz=Q - siła poprzeczna My = M - moment zginający

7. Przypadki wytrzymałościowe Szczególne przypadki redukcji układu sił wewnętrznych noszą nazwę przypadków wytrzymałościowych: N ROZCIĄGANIE – gdy układ sił wewnętrznych redukuje się wyłącznie do sumy stycznej do osi pręta ŚCINANIE – gdy układ redukuje się wyłącznie do sumy leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego pręta Q M ZGINANIE – gdy układ redukuje się wyłącznie do momentu leżącego w płaszczyźnie przekroju poprzecznego pręta Ms SKRĘCANIE – gdy układ redukuje się wyłącznie do momentu stycznego do osi pręta (obciążenie w pł. prostopadłej do osi pręta)

8. 2. STAN NAPRĘŻENIA

9. n {wI} n {ZI} P1 A I Pn Siły wewnętrzne - naprężenia Suma sił wewnętrznych działających na ΔA Δw ΔA Powierzchnia otoczenia punktu A Otoczenie punktu A wektor naprężenia w punkcie A

10. n3 n2 n1 x3 x2 x1 Siły wewnętrzne - naprężenia wektor naprężenia (w punkcie A) jest miarą intensywności sił wewnętrznych i zależy od wyboru punktu i płaszczyzny przekroju Wektory naprężeń: σ33 p1[σ11 , σ12 , σ13 ] p3 σ32 p2[σ21 , σ22 , σ23 ] σ31 σ23 p3[σ31 , σ32 , σ33 ] σ13 p2 p1 σ11 , σ12 , σ13 σ22 σ21 , σ22 , σ23 Tσ σ11 σ21 σ12 σ31 , σ32 , σ33 σ31 , σ32 , σ33 Macierz naprężeń: „obraz” punktu Tσ(σij) Składowe macierzy ijnazywamy naprężeniami a ich wymiar to [N/m2] czyli [Pa] i,j = 1,2,3

11. x3 x2 x1 Siły wewnętrzne - naprężenia X1= 0 itd…. ν(νi ) ΔAν n1 ΔA1 Jeśli: ΔA2 n2 ΔA3 n3

12. n3 σ33 p3 σ32 3 n2 x3 σ31 σ23 σ13 p2 p1 n1 σ22 σ11 2 σ21 σ12 x2 1 x1 Podsumowanie Jeśli w punkcie ciała dany jest w układzie xi stan naprężenia (tzn. znane są 3 wektory na płaszczyznach wyznaczonych przez osie układu), to można znaleźć takie 3 wersory, wyznaczające 3 płaszczyzny, na których wektory naprężeń są prostopadłe do tych płaszczyzn (nie występują na nich naprężenia styczne) a ich wielkości są ekstremalne (naprężenia główne) a układ współrzędnych wyznaczonych przez te wersory nazywa się układem osi głównych naprężeń.

13. Przy wyznaczaniu trzeba pamiętac, że tylko dwa spośród 3. równań są niezależne liniowo a brakujące równanie zastępuje związek: stwierdzający, że wektory są wersorami (wektorami o jednostkowej długości). Można wykazać, że są ekstremalnymi wartościami naprężeń normalnych (wyrazów na przekątnej głównej macierzy naprężeń) i zwykle porządkuje się je w następującej kolejności: Na odcinkach o długości równej tym modułom można zbudować elipsoidę, wewnątrz której znajdują się wszystkie możliwe wektory naprężeń występujące w danym punkcie przy zadanym obciążeniu:

14. Koła Mohra– są obrazem przestrzennego stanu naprężenia w punkcie – na płaszczyźnie naprężeń normalnych i stycznych 0 max 

15. Rozkład przestrzenny naprężeń Na powierzchni ciała wektor naprężenia jest znany: Naprężenia na powierzchni ciała Współrzędne wersora normalnego do powierzchni Są to statyczne warunki brzegowe, które musi spełniać rozwiązanie równania: Równanie to (równanie Naviera) nosi nazwę równania równowagi wewnętrznej.

16. Rozkład przestrzenny naprężeń we współrzędnych: Równanie: (dla Pi=0) Jest to układ 3 rownań różniczkowych : cząstkowych, liniowych, jednorodnych. Do wyznaczenia jest 6 nieznanych funkcji naprężęń, przy spełnieniu trzech warunków brzegowych w każdym punkcie powierzchni ciała: Konieczne jest więc znalezienie dalszych równań, pozwalających na wyznaczenie wszystkich składowych macierzy naprężeń jako fonkcji zmiennych przestrzennych x1, x2, x3 .

17. 3. STAN ODKSZTAŁCENIA

18. Wektor przemieszczenia A A’ Przemieszczenie B A B’ A’ 

19. Macierz odkształceń Odkształcenia dla małych pochodnych przemieszczeń Liniowedla i=j Kątowedla ij Macierz odkształceń - symetryczna wobec przyjętej definicji odkształceń.

20. „Obraz+ macierzy odkształceń x3 x2 x1

21. Macierz odkształceń głównych Wartości własne są ekstremalnymi odkształceniami liniowymi, na płaszczyznach, na których nie występują odkształcenia kątowe. Wyznaczane są one z równania charakterystycznego: gdzie I1, I2, I3są niezmiennikami macierzy odkształceń. Przy przejściu do innego układu współrzędnych za pomocą macierzy przejścia ij obowiązuje wzór: W osiach własnych macierz odkształceń ma postać diagonalną.

22. 4. ZWIĄZKI FIZYCZNE – PRAWO Hooke’a

23. P P u u Sprężystość jest zależnością funkcyjną t.j. jedno-jednoznacznym przyporządkowaniem dwu zmiennych: siły i przemieszczenia, niezależnie od wcześniejszej historii obciążenia i sposobu przyłożenia siły (obciążenie – odciążenie) Po zdjęciu obciążenia ciało powraca do stanu wyjściowego. Materiał nieliniowo-sprężysty Materiał liniowo-sprężysty

24. Uogólnione prawo Hooke’a Uogólnienie prawa Hooke’a polega na zastąpieniu wielkości wektorowych odnoszących się do całego ciała zmiennymi stanu (naprężenie, odkształcenie) zdefiniowanymi w każdym punkcie ciała. Współczynniki w takim równaniu zależeć będą wyłącznie od własności materiału a nie od kształtu konstrukcji. Dla liniowego prawa Hooke’a funkcja f jest funkcją liniową, wiążącą 9 składowych macierzy naprężeń z 9 składowymi macierzy odkształceń. Liczba współczynników wynosi więc 81 i najwygodniej ją zapisać w postaci macierzy o 34=81 składowych: Sumacjawszystkich składowych macierzy odkształceń po indeksach kldla każdej składowej macierzy naprężeń odzwierciedla liniowy charakter związku fizycznego.

25. Uogólnione prawo Hooke’a stałe Lamé [Pa] Delta Kroneckera Sumacja ! Związki pomiędzy naprężeniami normalnymi i odkształceniami liniowymi Związki pomiędzy naprężeniami stycznymi i odkształceniami kątowymi

26. Uogólnione prawo Hooke’a moduł Younga [Pa] współczynnik Poissona [0] Delta Kroneckera Sumacja ! Związki pomiędzy naprężeniami normalnymi i odkształceniami liniowymi Związki pomiędzy naprężeniami stycznymi i odkształceniami kątowymi

27. Prawa zmiany objętości i postaci Prawo zmiany objętości Prawo zmiany postaci

28. 5. ZADANIE BRZEGOWE TEORII SPRĘZYSTOŚCI

29. Zestawienie równań liniowej teorii sprężystości RN SWB , KWB RC RH Układ równań (RN, RC, RH) jest układem 15 liniowych równań różniczkowo-algebraicznych – i jest taki sam dla każdego zadania (za wyjątkiem stałych materiałowych w RH). Zróżnicowanie zadań polega na sformułowaniu warunków brzegowych, które zawierają: kształat ciała( νj), obciążenie ( qνi), oraz warunki podparcia (przemieszczenia lub/i ich pochodne na brzegu ciała). Stąd nazwa: ZADANIE BRZEGOWE TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.

30. Hipotezy de Saint-Venanta i Bernoulliego 1. Hipoteza dSV: • W punktach ciała dostatecznie odległych od miejsca przyłożenia obciazenia rozkład naprężeń i odkształceń nie zależy od sposobu przyłożenia tego obciążenia – pod warunkiem, że są one statycznie równoważne • Pozwala ona na uogólnienie rozwiązania ZB TS na różne przypadki obciążenia (różne Statyczne Warunki Brzegowe), w wyniku czego otrzymujemy komplet rozwiązania w postaci naprężeń, odkształceń i przemieszczeń. • Rozwiązanie zadania brzegowego TS z uwzględnieniem hipotezy dSV uwalnia nas od posługiwania się pojęciem przypadków wytrzymałościowych • Przykładem zastosowania zasady dSV jest przypadek swobodnego skręcania pręta pryzmatycznego, który pokazuje, że przekroje płaskie po przyłożenia obciążenia nie zawsze takimi pozostają.

31. Hipotezy de Saint-Venanta i Bernoulliego 2. Hipoteza B: • Przekroje poprzeczne pręta płaskie przed przyłożeniem obciążenia pozostają płaskie także po jego przyłożeniu • Pozwala ona (szczególnych przypadków redukcji sił przekrojowych) na założenie - dla poszczególnych przypadków wytrzymałościowych - przemieszczeń przekroju poprzecznego pręta i na tej podstawie wyznaczenie odkształceń a następnie naprężeń. Wyznaczenie przemieszczeń wymaga uwzględnienia kinematycznych warunków brzegowych. • Hipoteza B pozwala na określenie naprężeń i odkształceń w dowolnym przekroju pręta bez potrzeby uciekania się każdorazowo do rozwiązywania skomplikowanego zadania brzegowego TS. • Hipotezę B stosuje się do podstawowych przypadków wytrzymałościowych: rozciąganie skręcanie a także ścinanie – przy odpowiednich ograniczeniach co do geometrii pręta (pręt pryzmatyczny, o długości znacznie większej niż wymiary poprzeczne)