a minory s ą postaci:

2. Ü     warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne spełniały warunek: • tworzony jest Hessian:

3. a minory są postaci:

4. Ü     Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne były równe zero. • Ü     Warunek dostateczny jest spełniony wtedy, gdy minory Hessiana: • dla maksimum - zmieniają znaki na przemian „-”, „+”, „-”,... • dla minimum - wszystkie minory są dodatnie

5. Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x1,x2,...,xn) oraz jednym warunku dodatkowym g(x1,x2,..,xn.)=0 Dla funkcji n-zmiennych postaci y=f(x1,x2,...,xn) o własnościach analogicznych jak dla dwóch zmiennych oraz jednym warunku dodatkowym w postaci funkcji liniowej g(x1,x2,...,xn)=0 tworzymy funkcję Lagrange’a: F(x1,x2,...,xn,)=f(x1,x2,...,xn)+g(x1,x2,...,xn)

6. Ü    warunkiem koniecznym istnienia ekstremum tej funkcji jest by pierwsze pochodne cząstkowe były równe zero:

7. Ü     warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum dla:maksimum jest by znaki głównych minorów Hessiana zmieniały się na przemian „-”, „+”, „-”, „+”,...minimum - wszystkie minory powinny być dodatnieWyznacznik Hessiana ma postać:

8. Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x1,x2,...,xn) oraz wieloma warunkami dodatkowymi liniowymi gj(x1,x2,..,xn.)=cj • Dla funkcji n-zmiennych y=f(x1,x2,...,xn) oraz j-ograniczeniach dodatkowych (liniowych) gj(x1,x2,...,xn)=cjgdzie m<n; j=1,2,...,m funkcja Lagrange’a ma postać:

9. a Hessian obrzeżony: gdzie: fin - drugie pochodne cząstkowe funkcji Y, - pierwsze pochodne cząstkowe funkcji gj po zmiennych i

10. 1 Warunki Kuhn-Tucker,a wystarczające dla istnienia maksimum globalnego. • Dla funkcji f(x) w przypadku, gdy jest ona ciągła, różniczkowalna w przedziale i wypukła, warunkiem istnienia ekstremum lokalnego w punkcie x1 jest:

11. Dla funkcji n-zmiennych warunek ten ma postać: • gdzie: • fj - pierwsze pochodne funkcji, • xjfj - warunek komplementarności.

12. Przy wprowadzaniu m-ograniczeń nieliniowych, problem optymalizacji funkcji n-zmiennych przyjmie postać: a funkcja Lagrange’a jest postaci:

13. Dla istnienia ekstremum musza być spełnione warunki Kuhn-Tucker’a:

14. gdzie: • i=1,2,...,m • j=1,2,...,n • Dwa pierwsze równania są podobne do warunków koniecznych, w przypadku warunków ubocznych w formie równań. Różnica jest taka, że te pochodne cząstkowe niekoniecznie muszą być równe zero, a jedynie są niedodatnie w pierwszym równaniu, i nieujemne w drugim. • Dwa następne warunki gwarantują nieujemność wszystkich zmiennych, w tym i mnożników Lagrange’a. • Kolejne dwa równania są warunkami komplementarności.

15. Dla wypukłych f(x1,...,xn) i gi(x1,...,xn) gdzie i=1,2,...,m warunki Kuhn-Tucker'a są wystarczające dla istnienia maksimum globalnego. • Przy minimalizacji wystarczy zmodyfikować te warunki, jeżeli wszystkie funkcje są wklęsłe, bądź wystarczy maksymalizować funkcję ze znakiem ujemnym.

16. W przypadku maksymalizacji funkcji f(x1,...,xn) przy i-warunkach dodatkowych (i=1,2,...,m): gi(x1,...,xn) xj funkcja Lagrange’a ma postać:

17. Warunki Kuhn-Tucker’a są następującej postaci:

18. Mnożniki Lagrange’a przy warunkach ubocznych w formie nierówności mierzą stopę wzrostu wartości optymalnej funkcji celu przy jednostkowych zmianach w warunkach ubocznych, o ile są zdefiniowane odpowiednie pochodne cząstkowe.

19. Dla problemu produkcji, interpretacja jest następująca: fj-wartość graniczna produktu, - cena korzyści czynnika i („cena cieniowa”), - ilość użytego czynnika i do produkcji jednostki marginalnej dobra j , - marginalne koszty zastosowania czynnika i w produkcji dobra j . -agregaty marginalnychkosztów produkcji dobra j .