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Una muestra de aplicaciones exitosas

Una muestra de aplicaciones exitosas. El Departmento de Policía de San Francisco mejora la forma en que programa a los patrulleros y ahorra $11 millones por año, mejora el tiempo de respuesta en 20%, aumenta el ingreso por multas en $3 millones.

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Una muestra de aplicaciones exitosas

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  1. Una muestra de aplicaciones exitosas • El Departmento dePolicía deSan Francisco mejora la forma en que programa a los patrulleros y ahorra $11 millones por año, mejora el tiempo de respuesta en 20%, aumenta el ingreso por multas en $3 millones. • Digital usa un Modelo de Administración de la Cadena Global de Suministro para localizar sus instalaciones, planear el abasto , la production y la red de distribución. Esta reestructuración ha reducido los costos en $1000 millones y los activos en $400 millones. • Kodak Pty. Ltd.Usa un nuevo sistema para el corte de rollos a partir de grandes rollos de papel fotográfico, ahorrando $2 millones en el primer año en el desperdicio.

  2. American Airlines, tres años asignando la tripulación con un modelo ha permitido un ahorro de $20 millones! Los modelos de optimización de listas de espera, asignación de descuentos y administración de tráfico contribuyen con $500 millones por año a American Airlines. • Reynolds Metals Companyusa un modelo de despacho central para asignar embarques a 14 empresas de transporte a sus 200 instalaciones; ha mejorado el tiempo de entrega y reducido el costo anual de transportación en $7 millones. • GTEusa un modelo para planear sus $300 millones anuales de inversión en nuevas líneas telefónicas y otros sistemas de acceso a clientes.

  3. Problema: New Bedford Steel (NBS) es una empresa que manufactura herramientas de acero 1. Suministro de carbón en una empresa El carbón es usado como materia prima en la producción de acero y NBS adquiere de 1.0 a 1.5 millones tons al año. En la planeación del suministro para el próximo año, Stephen Coggins, director de compras de materia prima en NBS, ha solicitado y recibido cotizaciones de ocho proveedores.

  4. Basándose en pronósticos de mercado y la producción de los últimos años NBS planea aceptar cotizaciones por 1,225 mtons • of coking coal. • Este carbón debe tener en promedio una volatilidad de al menos 19% . • Por problemas sindicales, NBS ha decidido adquirir • al menos el 50% del carbón al sindicato minero • (United Mine Workers) mines. • Finalmente, Steve Coggins debe tomar en cuenta que la capacidad de transportación del carbón por tren está limitada a 650 mtons por año, y la capacidad de transportación • del carbón por camión está limitada a 720 mtons por año.

  5. AshleyBedfordConsolDunbyEarlamFlorenceGastonHopt Capacidad300 600 510 655 575 680 450 490 (mtons) Sin./ U U N U N U N N No Sind. Camión/R T R T T T R R Tren Volatilidad (%)15 16 18 20 21 22 23 25 Precio ($/ton)49.50 50.00 61.00 63.50 66.50 71.00 72.50 80.00

  6. Preguntas: • 1. ¿Cuánto carbón debería Coggins adquirir de cada proveedor? • 2.¿Cuál será el costo total de abasto ? • 3.¿Cuál será el costo promedio de abasto de NBS?

  7. Paso 1: Definir las Variables Se debe decidir cuanto adquirir de cada proveedor. A: # de mtons de carbón de Ashley B: # de mtons de carbón de Bedford C: # de mtons de carbón de Consol D: # de mtons de carbón de Dunby E: # de mtons de carbón de Earlam F: # de mtons de carbón de Florence G: # de mtons de carbón de Gaston H: # de mtons de carbón de Hopt.

  8. Paso 2: La Función Objetivo Coggins desea minimizar el costo de adquirir carbón. Su función objetivo es: Minimizar 49.5 A+50 B+61 C+63.5 D+66.5 E+71 F+72.5 G+80 F

  9. Paso 3: Las Restricciones • Coggins debe adquirir 1,225 mtons de carbón • A+B+C+D+E+F+G+H=1,225 • El 50% al menos debe provenir de las minas del Sindicato Minero • A+B+D+F  C+E+G+H i.e. A+B-C+D-E+F-G-H  0 • Se tienen restricciones de capacidad en tren y camión: • camión: B+D+E+F 720 • tren: A+C+G+H 650

  10. Paso 3: Continúa Restriciones ... • La volatilidad promedio debe ser al menos de 19% • (15 A+16 B+18 C+20 D+21 E+22 F+23 G+25 H)  19 (A+B+C+D+E+F+G+H) • vol: - 4 A- 3 B - C +D +2 E + 3 F + 4 G +6 H  0 • Capacidad de cada una de las 8 minas: • ACAP: A  300 • BCAP: B  600 • CCAP: C  510 • DCAP: D  655 • ECAP: E  575 • FCAP: F  680 • GCAP: G  450 • HCAP: H  490

  11. Paso 4: Restricción en las variables No negatividad: A  0 B  0 C  0 D  0 E  0 F  0 G  0 H  0

  12. El Modelo... • Minimizar: 49.5 A+50 B+61 C+63.5 D+66.5 E+71 F+72.5 G+80 F • Sujeto a:demanda: A+B+C+D+E+F+G+H=1,225 • sindicatos: A+B-C+D-E+F-G-H  0 • camión: B+D+E+F  720 • tren: A+C+G+H 650 • volatilidad: - 4 A- 3 B - C +D +2 E + 3 F + 4 G +6 H  0 • ACAP: A  300 • BCAP: B  600 • CCAP: C  510 • DCAP: D  655 • ECAP: E  575 • FCAP: F  680 • GCAP: G  450 • HCAP: H  490 • nonegatividad:A,B,C,D,E,F,G,H  0

  13. Terminología Variables de Decisión:Describe la decisión a tomar, por ejemplo: cuanto producir. Función Objetivo: Una función lineal de las variables de decisión the que debe ser minimizada o maximizada. Restricciones: Expresiones funcionales(lineales) de las variables de decisión que restringen el valor que las variables pueden tomar.Definen el conjunto factible

  14. Pasos en la Formulación de un Modelo de P.L. 1. Definir las variables de decisión 2. Escribir el objetivo como función lineal de las variables de decisión 3. Escribir las restricciones como funciones lineales de las variables de decisión 4. Especificar dominio de definición de las variables (no negatividad, enteras, binarias)

  15. 2. Gemstone Tool Company Gemstone Tool Company(GTC) es una empresa que compite en el mercado de consumo e industrial de herramientas para la construcción. Su planta principal se encuentra en Seattle, Washington pero GTC también opera otras plantas en USA, Canada y México. La planta de Winnipeg, Canada, producellaves para tuercas y tenazas. Estas son hechas de acero y el proceso incluye moldearla herramienta en una máquina y luego ensamblarla en otra. La cantidad de acero requerido para la fabricación de llaves y tenazas, la disponibilidad diaria de acero, la tasa de utilización de las máquinas requerida, la capacidad de las maquinas, lademanda diaria del mercado y la utilidad (por unidad vendida) se muestra en la Tabla I.

  16. Tabla I LLavesTenazasDisp./Capacidad Acero 1.5 1.0 27,000 lbs./día (lbs.) Máquina de Moldeo1.0 1.0 21,000 horas/día (horas) Máquina ensambladora0.3 0.5 9,000 horas/día (horas) Demanda 15,000 16,000 (unidad/día) Utilidad $ 130 $ 100 ($/1,000 unidades GTC desea planear la producción diaria de llaves y tenazas en su planta de Winnipeg de manera de maximizar la utilidad.

  17. El modelo... W : # de llaves producidas por día (1,000s) T : # de tenazas producidas por día (1,000s) • Maximizar: 130 W + 100 T • Sujeto a:acero: 1.5 W + T 27 • moldeo: W + T  21 • ensamblado: 0.3 W + 0.5 T  9 • demanda de W: W 15 • demanda de P: T  16 • nonegatividad: W, T  0

  18. SOLUCIÓN CON LINDO LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2460.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST W 12.000000 0.000000 P 9.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 60.000000 3) 0.000000 40.000000 4) 0.900000 0.000000 5) 3.000000 0.000000 6) 7.000000 0.000000 • NO. ITERATIONS= 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE W 130.000000 20.000000 30.000000 P 100.000000 30.000000 13.333333 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 27.000000 1.500000 2.250000 3 21.000000 1.000000 1.500000 4 9.000000 INFINITY 0.900000 5 15.000000 INFINITY 3.000000 6 16.000000 INFINITY 7.000000

  19. Tenazas (1,000) Demanda de W 30 Solución Óptima Z=2460 W=12,T=9 25 Acero 20 Demanda de T 15 10 Región Factible Ensamble Llaves (W) (1,000) 5 Moldeo 0 15 30 Solución Gráfica de GTC

  20. Demanda de W 30 Tenazas Soluciones Optimas Múltiples 25 Acero 20 Demanda de T 15 10 Ensamble 5 Moldeo Llaves (W) 0 15 30 Cambia restricción de moldeo 1 hrs para W y 1 hrs para T disponibilidad 21,000 hrs/día 1.3 24600 Región Factible

  21. y 40 30 20 10 x 0 40 0 10 20 30 Problema no Acotado Ejemplo: Maximizar x + 1/3 y x + y  20 Sujeto a: Región Factible -2 x + 5 y  150 x  5 x 0y 0

  22. y 4 3 2 1 0 x 0 1 2 3 Pero ! Ejemplo: Minimizar x + 1/3 y x + y  20 Sujeto a: Región Factible -2 x + 5 y  150 x  5 x 0y 0 Solución Óptima

  23. y y y 4 40 4 3 3 30 2 2 20 1 1 10 0 0 0 x x x 0 1 0 1 2 0 10 20 2 3 3 30 40 Interesante!! Si existe una solución óptima, siempre hay una solución óptima en un extremo (del poliedro) de la región factible

  24. Historia de la Programación Linear 1826 GaussSoluciones de sistemas 1904 Jordande ecuaciones lineales 1826 FourierDesigualdades lineales, mecánica, Soluciones vértice a vértice (similar al simplex) 1939 KantorovichProducción, transbordo Trabajo poco apreciado (ganador del Premio Nobel!) 1940sProblemas de Economía y Transporte Segunda Guerra Mundial

  25. ... Continua 1947Fuerza Aérea de USA (G. Dantzig, M. Wood, J. Norton, M. Geisler) 1953W. Orchard-Hayes con el primer código comercial 1958 R. Dorfman, P. Samuelson y R. Solow publican Linear Programming and Economic Analysis. (Samuelson y Solow mas tarde Premio Nóbel en economía). 1975Premio Nóbel en economía de T. Koopmans, L. Kantorovich por aplicación de PL a la economía. 1984 N. Karmarkar algoritmos de "puntos interiores" para resolver problemas en gran escala (1,000,000 variables o más ). New York Times, Wall Street Journal, Time, etc. Hoy Se puede resolver problemas de PL con 5,000 restricciones 30,000 variables en una PC.

  26. Se puede extender el problema a más dimensiones

  27. Cómo se resuelve el problema? • Las restricciones en un modelo de PL forman un poliedro convexo. • Si podemos determinar los vértices del poliedro, podemos calcular el valor de la función objetivo en estos puntos y encontrar una solución óptima. • El Método Simplex se mueve de manera inteligente de vértice a vértice hasta que encuentra la solución óptima (no siempre).

  28. Solución Óptima ? Tenazas (1,000) Demanda de W 30 25 Acero 20 Demanda de T 15 10 Ensamblado Llaves (W) (1,000) 5 Moldeo 30 15 0 Método Simplex- Geometricamente

  29. La solución óptima para este modelo es: disponibilidad de acero+ restricción de moldeo i.e., resolver: 1.5 W + T = 27 W + T = 21 W = 12 T = 9 Utilidad = 130*12 + 100*9 = $2,460

  30. Método Simplex- Algebraicamente 1.Lindo utiliza el simplex para resolver el problema. 2.El simplex realiza una sucesión de pivoteos. Cada pivoteo comienza con una solución factible inicial y genera un vértice adyacente con mejor valor de la función objetivo o concluye que el vértice actual (solución factible actual) es la solución óptima. 3.En cada pivoteo, se resuelve un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, donde n es el número de variables de decisión del modelo. 4.El número de pivoteos que pueden realizarse es proporcional al número m de restricciones del modelo. Por lo tanto, el tiempo computacional depende del número de restricciones y del número de variables del modelo.

  31. Tenazas (1,000) Demanda de W 30 Solución Óptima 25 Acero 20 Demanda de T 15 10 Ensamblado Llaves (W) (1,000) 5 Moldeo 30 15 0 Puntos Interiores- Geometricamente

  32. Análisis de Sensibilidad • En las aplicaciones, a menudo se requiere saber como se afecta la solución por cambios en los datos del problema. • ¿Qué pasa si los niveles de recursos cambian? • ¿Qué pasa si los costos cambian? • ¿Qué pasa si los datos no son precisos? ¿Qué nivel de error tendremos? • Veamos esto graficamente e intuitivamente.

  33. Tenazas (1,000) 12 Sol. Opt. : W = 12 P = 9 Valor de F. Obj. = 2,460 30 Demanda de W 2,500 Acero 25 moldeo: W + P 21 22 20 1,000 hrs más de moldeo 15 Demanda de T 10 Ensamble Llaves (W) (1,000) 5 Moldeo 0 15 30 10 40$! más ¿Qué pasa si cambia el lado derecho?

  34. Si se tienen 1,000 hrs más de capacidad de moldeo . El segundo miembro de la restricción: 21 to 22 = 21+ 1 la nueva solutionoptima : 1.5 W + P = 27 W + P = 22. W = 10 P = 12 utilidad = 130*10 + 100*12 = $ 2,500 El precio marginal (precio sombra) de la restricción de moldeo para 1,000 lb. más de acero: $40 = $2,500 – $2,460 GTC puede pagar hasta $40/1,000 hrs. por capacidad adicional de moldeo

  35. Precios Sombra • Se asocia un precio sombra a cada restricción • El precio sombra es el cambio en el valor de la función objetivo por unidad de cambio en el segundo miembro, dejando sin cambio los demás datos. • A cada precio sombra se asocia un rango para el cuál el precio sombra es válido. • La mayoría de los paquetes proporcionan precios sombra y rangos. • Los precios sombra tambíen se llaman valores o soluciones duales.

  36. moldeo: W + P 21 Tenazas (1,000) 10 12 Sol. Opt.: W = 12 P = 9 Valor de F.Obj. = 2,460 30 Demanda de W 2,500 Acero 25 23 20 2,000 hrs más de moldeo 15 Demanda de T 10 Ensamble Llaves (W) (1,000) 5 Moldeo 0 15 30 Menos capacidad!’

  37. moldeo: W + P 21 Tenazas (1,000) 14 6 Sol. Opt. : W = 12 P = 9 Valor Opt. = 2,460 30 Demanda de W 2,420 40$!menos Acero 25 20 1,000 hrs menos de moldeo 20 15 Demanda de W 10 Ensamble Llaves (1,000) 5 Moldeo 0 15 30 Qué pasa si Decrece el S.M. de la Rest. ?

  38. moldeo: W + P 21 Tenazas (1,000) 15 4 Sol. Opt. : W = 12 P = 9 Valor Obj. = 2,460 30 Demanda de W 2,350 Acero 25 19 2,000 hrs menos de moldeo 20 15 Demanda de T 10 Ensamble Llaves (1,000) 5 Moldeo 0 15 30 ¿Qué pasa si decrece más ?

  39. Pendiente = 0 Pendiente= 40 Pendiente = 100 Valor de la F. Ob. ¿Qué se tiene? 2,500 2,460 2,400 Valor de S.M moldeo 0 19.520 21 22 En este rango, poe cada unidad que cambia el S.M hay un cambio de 40 unidades en la Función Objetivo. Este valor es el precio sombra de la restricción en este rango.

  40. 14 7 2,520 acero: 1.5 W + P 27 28 Tenazas (1,000) Sol. Opt. : W = 12 P = 9 Valor Obj. Opt. = 2,460 30 Demanda de W 60$! más Acero 25 20 1,000 lb más de acero Demanda de T 15 10 Ensamblado Moldeo Llaves (1,000) 5 0 15 30 Cambio en otra restricción

  41. Con 1,000 lb. más de acero. El S.M. de la restricción de acero cambia: 27 to 28 = 27 + 1 La nueva solución óptima: 1.5 W + P = 28 W + P = 21. W = 14 P = 7 utilidad = 130*14 + 100*7 = $ 2,520 El precio sombra de la restricción de acero para 1,000 lb. más de acero: $60 = $2,520 – $2,460 GTC puede pagar hasta $60/1,000 lb. acero adicional

  42. Qué se tiene? pendiente = 60 Valor de la F. Obj en el Ópt 2,550 2,520 2,460 2,295 Valor del S.M de acero 0 24.75 25 26 27 28 28.5 En este rango,por cada unidad de cambio en el S.M. se tiene 60 unidades de cambio en la función objetivo. Este es el Precio Sombra de la restricción en este rango.

  43. ¿Cuál es el precio sombra para las otras restricciones: • ¿Capacidad de ensamblado? • ¿Demanda de Llaves? • ¿Demanda de Tenazas?

  44. ? ? ? ? ? Algunas preguntas para G.T.C. GTC tiene la oportunidad de adquirir acero adicional a $55/1,000 lb. Q: ¿Debería comprarlo? GTC está considerando aumentar a 100,000 hrs la capacidad de moldeo a un costo de $4,500. Q: es una buena idea?

  45. ¿Qué ocurre con los precios sombra de las restricciones de no negatividad? • Los precios sombra para las restricciones de no negatividad son los costos reducidos. • El costo reducido de una variables es el cambio en la función objetivo si una variable con valor cero(no básica) tomara un valor positivo

  46. Costo reducido Una variable que toma valor distinto de cero consume recurso que debe transformar en utilidad. En el óptimo se espera que el valor de lo que consume sea equivalente a la utilidad que genera: por cada unidad ($) que consume debe generar ($) una unidad de utilidad. El costo reducido es esta diferencia. Si fuera positivo indicaría que consume más de lo que genera. Es una propiedad relacionada con la condición de optimalidad

  47. x 0 130 W +100 T ¿Qué pasa si cambiamos algún coeficiente de la función objetivo? Gráficamente, • La región factible no cambia • La pendiente de la función objetivo cambia • Hay un rango sobre el cuál la solución óptima no cambia (pero cambia el valor de la función). • El rango lo determina la pendiente de la restricción que es activaen la solución óptima. • En este caso, el rango es • [100, 150] sobre W y [86.66, 130] sobre T.

  48. Otro ejemplo de Análisis de Sensiblidad Problema: Una empresa produce dos líneas de equipo pesado. Una de estas líneas se destina a la industria de la construcción y la otra a la industria forestal. En cada una de estas líneas existe un producto muy demandado, E1 y E2, que se producen en el mismo departamento y con el mismo equipo. Mercadotecnia estima que el próximo mes es posible vender toda la producción de E1 y E2, por lo cual es de gran importancia determinar una meta de producción para ese período. Los principales factores a considerar en la toma de esta decisión son los siguientes:

  49. Por cada unidad de E1 y E2 que se venda se obtendrá una utilidad de $5000 y $4000 respectivamente. • La producción de E1 y E2 requiere de la operación de 2 departamentos A y B. • La disponibilidad de horas de trabajo en estos departamentos y los requerimientos en horas de trabajo de cada producto en cada departamento son los siguientes:

  50. Los productos requieren de un proceso de verificación final que para el próximo mes no debe ser menor a 135 horas. Cada unidad de E1 requiere de 30 horas de verificación y cada unidad de E2 requiere 10 horas. • Con el objeto de mantener posición en el mercado, la firma ha establecido que es necesario producir al menos una unidad de E1 por cada 3 de E2. • Un cliente importante ha ordenado al menos 5 unidades en cualquier combinación de E1 y E2.

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