1 / 57

Solusi Sistem Persamaan Lanjar ( Bagian 1)

Solusi Sistem Persamaan Lanjar ( Bagian 1). Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I Oleh ; Rinaldi Munir (IF-STEI ITB). Rumusan Masalah. Persoalan : Temukan vektor x yang memenuhi sistem persamaan lanjar Ax = b , yang dalam hal ini ,

nevaeh
Download Presentation

Solusi Sistem Persamaan Lanjar ( Bagian 1)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SolusiSistemPersamaanLanjar(Bagian 1) BahanKuliah IF4058 TopikKhususInformatika I Oleh; RinaldiMunir (IF-STEI ITB) Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  2. RumusanMasalah • Persoalan: Temukanvektorx yang memenuhisistempersamaanlanjar Ax = b, yang dalamhalini, A = [aij] adalahmatriksberukurann  n x = [xj] adalahmatriksberukurann 1 b = [bj] adalahmatriksberukurann 1 (vektorkolom) a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n xn= b1 a21 x1 + a22 x2 + .... + a2n xn= b2 : : : : an1 x1 + an2 x2 + .... + annxn= bn Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  3. Metodepenyelesaianpraktissistempersamaanlanjar yang dibahasdisiniadalah: • Metodeeliminasi Gauss • Metodeeliminasi Gauss-Jordan • Metodematriksbalikan • MetodedekomposisiLU • Metodelelaran Jacobi • Metodelelaran Gauss-Seidel. • Metode 2, 3, da, 4, didasarkanpadaMetode 1 • Metode 5 dan 6 dikembangkandarigagasanmetodelelaranpadasolusipersamaannirlanjar. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  4. MetodeEliminasiGauss • MetodeiniberangkatdarikenyataanbahwabilamatriksAberbentuksegitigaatassepertisistempersamaanberikutini • makasolusinyadapatdihitungdenganteknikpenyulihanmundur (backward substitution): Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  5. annxn = bnxn= bn/ann an-1, n-1xn-1 + an-1, nxn = bn-1 xn-1 = an-2, n-2xn-2 + an-2, n-1xn-1 + an-2, nxn = bn-2 xn-2= … dst • Sekalixn, xn-1, xn-2, ..., xk+1diketahui, makanilaixkdapatdihitungdengan xk = , k = n-1, n-2, ..., 1 danakk 0. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  6. procedureSulih_Mundur(A : matriks; b : vektor; n: integer; var x : vektor); { Menghitungsolusisistempersamaanlanjar yang sudahberbentukmatriks segitigaatas K.Awal : A adalahmatriks yang berukuran n  n, elemennyasudahterdefinisiharganya; b adalahvektorkolom yang berukuran n  1. K.Akhir: x berisisolusisistempersamaanlanjar. } var j, k: integer; sigma: real; begin x[n]:=b[n]/a[n,n]; for k:=n-1 downto 1 do begin sigma:=0; for j:=k+1 to n do sigma:=sigma + a[k, j] * x[j]; {endfor} x[k]:= (b[k] - sigma )/a[k, k]; end; end; Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  7. Contoh: Selesaikansistempersamaanlanjarberikutdenganteknikpenyulihanmundur 4x1 - x2 + 2x3 + 3x4 = 20 -2x2 + 7x3 - 4x4 = -7 6x3 + 5x4 = 4 3x4 = 6 Penyelesaian: x4 = 6/3 = 2 x3 = x2 = x1 = Jadi, solusinyaadalahx = (3, -4, -1, 2)T. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  8. Metodeeliminasi Gauss padaprinsipnyabertujuanmentransformasisistemAx = bmenjadisistem Ux = y denganUadalahmatrikssegitigaatas. Selanjutnyasolusix dapatdihitungdenganteknikpenyulihanmundur Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  9. Proseseliminasiterdiriatastigaoperasibariselementer: • Pertukaran : Urutanduapersamaandapatditukarkarenapertukarantersebuttidakmempengaruhisolusiakhir. • Penskalaan: Persamaandapatdikalidengankonstantabukannol, karenaperkaliantersebuttidakmempengaruhisolusiakhir. • Penggantian: Persamaandapatdigantidenganpenjumlahanpersamaanitudengangandaanpersamaan lain. Misalnyapersamaandigantidenganselisihpersamaanitudengandua kali persamaan lain; yaitu barisr := barisr - mp,rbarisp Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  10. Nilaiar, rpadaposisi (r, r) yang digunakanuntukmengeliminasixrpadabarisr + 1, r + 2, ..., Ndinamakanelemenpivotdanpersamaanpadabariske-rdisebutpersamaanpivot. • Adakemungkinanpivotbernilainolsehinggapembagiandengannoltidakdapatdielakkan. • Tata-ancangeliminasi yang tidakmempedulikannilaipivotadalahtatancang yang naif (naive) atausederhana. Metodeeliminasi Gauss sepertiinidinamakanmetodeeliminasi Gauss naif (naive Gaussian elimination). • Padametodeeliminasi Gauss naiftidakadaoperasipertukaranbarisdalamrangkamenghindaripivot yang bernilainolitu. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  11. Contoh: Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  12. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  13. procedureEliminasi_Gauss_Naif(A : matriks; b : vektor; n:integer; var x : vektor); { Menghitungsolusisistempersamaanlanjar Ax = b K.Awal : A adalahmatriks yang berukuran n  n, elemennyasudahterdefi- nisi harganya; b adalahvektorkolom yang berukuran n  1 K.Akhir: x berisisolusisistem } var i; k, j : integer; m: real; begin for k:=1 to n-1 do {mulaidaribarispivot 1 sampaibaris pivot n-1} begin fori:=(k+1) to n do{eliminasimulaidaribaris k+1 sampaibaris n} begin m:=a[i,k]/a[k,k]; {hitungfaktorpengali} for j:=k to n do{eliminasielemendarikolom k sampaikolom n} a[i,j]:=a[i,j] - m*a[k,j]; {endfor} b[i]:=b[i] - m*b[k]; {eliminasielemenvektor b padabarisi} end; end; Sulih_Mundur(A, b, n, x); {dapatkansolusinyadenganteknikpenyulihanmundur) end; Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  14. Kelemahaneliminasi Gauss naif • Jikapivot app = 0, bariske-k tidakdapatdigunakanuntukmemgeliminasielemenpadakolomp, karenaterjadinyapembagiandengan nol. • Olehkarenaitu, pivot yang bernilainolharusdihindaridengantata-ancang (strategy) pivoting. Tata-ancangPivoting • jikaap,p(p-1) = 0, caribaris kdenganak,p 0 dank > p, lalupertukarkanbarispdanbarisk. • Metodeeliminasi Gauss dengantata-ancang pivoting disebutmetodeeliminasi Gauss yang diperbaiki (modified Gaussian elimination). Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  15. Contoh: Selesaikansistempersamaamlanjarberikutdenganmetodeeliminasi Gauss yang menerapkantatancangpivoting. x1 + 2x2 + x3 = 2 3x1 + 6x2 = 9 2x1 + 8x2 + 4x3 = 6 Setelahoperasibaris 1, elemena22 yang akanmenjadipivotpadaoperasibaris 2 ternyatasamadengan nol. Karenaitu, padaoperasibaris 2, elemenbaris 2 dipertukarkandenganelemenbaris 3. Tanda (*) menyatakanpertukaranbaristerjadiakibatprosespivoting. Sekarangelemena22 = 4  0 sehinggaoperasibariselementerdapatditeruskan. Tetapi, karenamatriksAsudahmembentukmatriksU, proseseliminasiselesai. Solusinyadiperolehdenganteknikpenyulihanmundur, yaitux3 = -1, x2 = 1, danx1 = 1. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  16. Melakukanpertukarkanbarisuntukmenghindaripivot yang bernilainoladalahcarapivoting yang sederhana (simple pivoting). • Masalah lain dapatjugatimbulbilaelemenpivotsangatdekatkenol, karenajikaelemenpivotsangatkecildibandingkanterhadapelemenlainnya, makagalatpembulatandapatmuncul. • Jadi, disampingmenghindaripembagiandengannol, tatancangpivotingdapatjugadiperluasuntukmengurangigalatpembulatan. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  17. Duamacamtatancangpivoting: 1. Pivotingsebagian ( partial pivoting) • Padatatancangpivotingsebagian, pivotdipilihdarisemuaelemenpadakolomp yang mempunyainilaimutlakterbesar, | ak, p | = max{|ap,p|, |ap+1,p|,…, |an-1,p|,|an,p|} • lalupertukarkanbariske-kdenganbariske-p. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  18. Perhatikanlahbahwateknikpivotingsebagianjugasekaligusmenghindaripemilihanpivot = 0 (sebagaimanapadasimple pivoting) • karena 0 tidakakanpernahmenjadielemendengannilaimutlakterbesar, kecualijikaseluruhelemendikolom yang diacuadalah 0. • Apabilasetelahmelakukanpivotingsebagianternyataelemenpivot = 0, ituberartisistempersamaanlanjartidakdapatdiselesaikan (singular system). Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  19. Pivotinglengkap (complete pivoting) • Jikadisampingbaris, kolomjugadiikutkandalampencarianelementerbesardankemudiandipertukarkan, makatatancanginidisebutpivoting lengkap. • Pivotinglengkapjarangdipakaidalam program sederhanakarenapertukarankolommengubahurutansukuxdanakibatnyamenambahkerumitan program secaraberarti. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  20. Contoh: Denganmenggunakanempatangkabena, selesaikansistempersamaanberikutdenganmetodeeliminasi Gauss: 0.0003x1 + 1.566x2 = 1.569 0.3454x1 - 2.436x2 = 1.018 (a) tanpatatancangpivotingsebagian (Gauss naif) (b) dengantatancangpivotingsebagian (Gauss yang dimodifikasi) (Perhatikan, dengan 4 angkabena, solusisejatinyaadalahx1 = 10.00 danx2 = 1.00} Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  21. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  22. Jadi, x = (3.333, 1.001)T. Solusiinisangatjauhberbedadengansolusisejatinya. Kegagalaniniterjadikarena | a11 | sangatkecildibandingkan |x12|, sehinggagalatpembulatan yang kecilpadax2menghasilkangalatbesardix1. Perhatikanjugabahwa 1.569 - 1.568 adalahpenguranganduabuahbilangan yang hampirsama, yang menimbulkanhilangnyaangkabenapadahasilpengurangannya (loss of significance). Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  23. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  24. y y 2 2 2 x x x 2 -2 -2 -2 2 2 -2 -2 -2 KemungkinanSolusiSPL • Tidaksemua SPL mempunyaisolusi. Adatigakemungkinansolusi yang dapatterjadipada SPL: • mempunyaisolusi yang unik, • mempunyaibanyaksolusi, atau • tidakadasolusisamasekali. (a)Solusibanyak -x + y = 1 -2x + 2y = 2 (b) Solusitidakada -x + y = 1 -x + y = 0 (c ) Solusiunik -x + y = 1 2x - y = 0 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  25. Untuk SPL dengantigabuahpersamaanataulebih (dengantigapeubahataulebih), tidakterdapattafsirangeometrinyasepertipada SPL denganduabuahpersamaan. • Namun, kitamasihdapatmemeriksamasing-masingkemungkinansolusiituberdasarkanpadabentukmatriksakhirnya. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  26. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  27. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  28. Bentukakhirmatrikssetelaheliminasi Gauss untukketigakemungkinansolusidiatasdapatdigambarkansebagaiberikut: SolusiunikSolusibanyakTidakadasolusi Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  29. Kita rangkum “pertanda” kemungkinansolusi SPL dibawahini: • Jikapadahasileliminasi Gauss tidakterdapatbaris yang semuanyabernilai 0 (termasukelemenpadabaris yang bersesuaianpadavektorkolomb), makasolusi SPL dipastikanunik. • Jikapadahasileliminasi Gauss terdapat paling sedikitsatubaris yang semuanyabernilai 0 (termasukelemenpadabaris yang bersesuaianpadavektorkolomb), maka SPL mempunyaibanyaksolusi. • Jikapadahasileliminasi Gauss terdapatbaris yang semuanyabernilai 0 tetapielemenpadabaris yang bersesuaianpadavektorkolombtidak 0, maka SPL tidakmempunyaisolusi. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  30. MetodaEliminasiGauss-Jordan • Metodeeliminasi Gauss-Jordan merupakanvariasidarimetodeeliminasi Gauss. • Dalamhalini, matriksAdieliminasimenjadimatriksidentitasI. Ax = bIx = b‘ • Tidakdiperlukanlagiteknikpenyulihanmunduruntukmemperolehsolusi SPL. Solusinyalangsungdiperolehdarivektorkolombhasilproseseliminasi. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  31. Contoh: Selesaikansistempersamaanlanjardibawahinidenganmetodeeliminasi Gauss- Jordan. 3x1 - 0.1x2 - 0.2x3 = 7.85 0.1x1 + 7x2 - 0.3x3 = -19.3 0.3x1 - 0.2x2 + 10x3 = 71.4 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  32. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  33. Penyelesaian SPL denganmetodeeliminasi Gauss-Jordan membutuhkanjumlahkomputasi yang lebihbanyakdaripadametodeeliminasi Gauss. • Karenaalasanitu, metodeeliminasi Gauss sudahcukupmemuaskanuntukdigunakandalampenyelesaian SPL. • Namunmetodeeliminasi Gauss-Jordan merupakandasarpembentukanmatriksbalikan (inverse). Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  34. Penyelesaiandengan SPL metodematriksbalikantidaklebihmangkusdaripadametodeeliminasi Gauss, sebablebihbanyakproseskomputasi yang dibutuhkan. • Metodematriksbalikanbarumangkusbiladigunakanuntukpenyelesaiansejumlah SPL denganmatriksA yang samatetapidenganvektorkolomb yang berbeda-beda: Ax = bI Ax = bII Ax = bIII ... dst • SekaliA-1telahdiperoleh, makaiadapatdipakaiuntukmenyelesaikansejumlah SPL tersebut. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  35. MatriksBalikan(inverse matrices) • Matriksbalikan, A-1, banyakdipakaidalampengolahanmatriks. • Akanditunjukkanjugabahwamatriksbalikandapatdiperolehdenganmetodeeliminasi Gauss-Jordan. • Cara analitisuntukmenghitungmatriksbalikanuntukmatriks 2  2: Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  36. Nilaia11a22 - a21a12inidisebutdeterminan. Determinandilambangkandenganduabuahgaristegak (| |). • BiladeterminanA = 0, matriksAtidakmempunyabalikan, sehinggadinamakanmatriks singular. • Sistempersamaanlanjar yang mempunyaimatriksA singular (sistem singular) tidakmempunyaisolusi yang unik, yaitusolusinyabanyakatausolusinyatidakada. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  37. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  38. Contoh: TentukanmatriksbalikandarimatriksAberikut Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  39. MetodeMatriksBalikan • MisalkanA-1adalahmatriksbalikandariA. SistempersamaanlanjarAx = bdapatdiselesaikansebagaiberikut: Ax = b A-1Ax = A-1b I x = A-1b (A-1A = I ) x = A-1b • Cara penyelesaiandenganmengalikanmatriksA-1denganbitudinamakanmetodematriksbalikan. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  40. Contoh: Selesaikansistempersamaanlanjar x1 - x2 + 2x3 = 5 3x1 + x3 = 10 x1 + 2x3 = 5 denganmetodematriksbalikan. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  41. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  42. MetodeDekomposisiLU • JikamatriksAnon-singularmakaiadapatdifaktorkan (diuraikanataudi-dekomposisi) menjadimatrikssegitigabawahL (lower) danmatrikssegitigaatasU (upper): A = LU Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  43. SekaliAdifaktorkanmenjadiLdanU, keduamatrikstersebutdapatdigunakanuntukmenyelesaikanAx = b. Metodepenyelesaian SPL dengancarainidikenaldengannamametodedekomposisiLU. Metodeinidinamakanjugametodepemfaktoransegitiga (triangular factorization). Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  44. Tinjausistempersamaanlanjar Ax = b • FaktorkanAmenjadiLdanUsedemikiansehingga A = LU • Jadi, Ax = b LU x = b • Misalkan Ux = y maka Ly = b Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  45. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  46. Jadi, langkah-langkahmenghitungsolusi SPL denganmetodedekomposiLUdapatdiringkassebagaiberikut: 1. BentuklahmatriksLdanUdariA 2. PecahkanLy = b, laluhitungydenganteknikpenyulihanmaju 3. PecahkanUx = y, laluhitungxdenganteknikpenyulihanmundur • TerdapatduametodeuntukmemfaktorkanAatasLdanU: • MetodeLU Gauss. • MetodereduksiCrout. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  47. PemfaktorandenganMetode LU Gauss Di sinikitamenggunakansimbolmijketimbanglij, karenanilailijberasaldarifaktorpengali (mij) pada proseseliminasi Gauss. Langkah-langkahpembentukan LdanUdarimatriksAadalahsebagaiberikut: Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  48. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  49. Sepertihalnyametodeeliminasi Gauss, tatancangpivoting danpenskalaanjugadapatditerapkanpadametodaini untukmemperkecilgalatpembulatan. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

  50. Contoh: Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I

More Related