Matematika és tapasztalat 2.

Matematika és tapasztalat 2. A véletlentől a statisztikus világig

A matematika forradalma • A tizenhetedik század során alapvető átalakuláson megy át a matematika • növekvő igények, egyre több diák • algebra terjedése • a hivatásos számolómesterek mellett megjelennek a pénzügyileg nem érdekelt „műkedvelők” • jellemző a különbség pl. Faulhaber és Descartes között

„Csoda” helyett rendszer • Tipikus szemlélet: matematikai gyönyörök kertjének még le nem szakított kis virágocskái • E helyett Descartes: pár szabály, feladatok tipizálása, a matematikai tudás, mint a bizonyossághoz vezető út.

A matematika mint hatalom • A tudományos diskurzusban a matematika, az egzaktság retorikai előnyt is jelent • Newton: prizmakísérletiben fokperc pontossággal adja meg a prizmák törési szögeit, holott a kor prizmái nem mérhetők ilyen pontossággal, sőt, a Nap mozgása nagyságrendekkel nagyobb pontatlanság forrása • Mindmáig „hat” ez a hozzáállás reklámokban, ismeretterjesztő munkákban, stb.

A statisztikus-valószínűségi gondolkodási stílus megjelenése • Ma egészen természetes: reklámok, hírek, stb. matematikai kultúránk alapvető része • régen, pl. egy görög számára, teljesen ismeretlenek voltak az erre vonatkozó fogalmak • egyfajta „gondolkodási stílus” (Ian Hacking): az újkorban jelent meg  új fogalmi lehetőségek • „valószínűség” fogalma: kb. 1660-as évek • statisztikus gondolkodás: 19. sz. első fele: alapos forradalom, átalakítva a 20. sz-i gondolkodást

A véletlen matematikájának születése • Első kérdések (16. sz.): szerencsejátékok (Cardano) • 1654: De Méré lovag kérdése Blaise Pascalhoz:osztozkodási probléma (megszakított játék) • 7 levél Pascal és Pierre Fermat között: megteremtik a valószínűségszámítás klasszikus alapjait • klasszikus megközelítés: ha egy játéknak m egyenlően valószínű kimenete van, és ebből n nyerő, akkor a nyerés valószínűsége n/m • ezt aztán „tapasztalatilag” is igazolják: egy játék sokszori megismétlése azonos körülmények között

„Vizsgáljuk hát meg ezt a kérdést, és állapítsuk meg: »Vagy van Isten, vagy nincs.«… E végtelen távolság legvégén szerencsejáték folyik, s az eredmény fej vagy írás lesz. Melyikre fogad maga? … Mérlegeljük, mit nyerhet vagy veszíthet, ha fejre, vagyis arra fogad, hogy van Isten. Értékeljük ezt a két eshetőséget: ha nyer, mindent megnyer; ha veszít, semmit sem veszít… Minthogy egyforma a nyerés és vesztés esélye, még akkor is fogadhatna, ha csupán két életet nyerhetne egy ellen; ha pedig három életet nyerhetne, akkor már feltétlenül bele kellene mennie a játékba (hiszen úgyis kényszerítve van rá)… Ám itt az örök élet és az örök boldogság a tét… Így ez már nem is fogadás: ahol a végtelen forog kockán, és nem áll szemben végtelen számú vesztési esély a nyerési eséllyel, nincs helye a mérlegelésnek, mindent fel kell tennünk.” (Pascal: Gondolatok, 233.§)

Pascal valószínűségi istenérve • Mire érdemes fogadni: van Isten vagy nincs? • 1. fogadás: van • 1/a: ha tényleg van, akkor végtelen a nyereség (üdv.) • 1/b: ha nincs, akkor véges veszteség: tévedésben élek • 2. fogadás: nincs • 2/a: ha tényleg nincs, akkor véges nyereség: élvhajhászat • 2/b: ha van, akkor végtelen veszteség: kárhozat • Σ: végtelen nyereség / véges veszteség a véges nyereség / végtelen veszteséggel szemben a hülyének is megéri Isten létére fogadni

A val.szám. korai története • a Pascal-Fermat levelezés híre gyorsan terjed • Christiaan Huygens, 1657: De Ratiociniis in Aleae LudoAz alapok + 14 probléma megoldással (5 m. nélkül) kb. 50 évre minden hasonló témájú munka alapjául szolgál • Pepys Newtonhoz 1693. november 22 (29 évesen megtanul szorozni) • „A — 6 kockája van egy dobozban, amellyel egy hatost dob. • B — egy másik dobozban 12 kockája van, amellyel 2 hatost dob • C — egy másik dobozban 18 kockája van, amellyel 3 hatost dob • K[érdés]: egyforma szerencsét feltételezve B-nek és C-nek ugyanolyan könnyű dolga van-e mint A-nak?”[i] • Newton elmagyarázta miért A-nak a legjobbak az esélyei és megadta Pepysnek egy 1000 fontos fogadás esetén a pontosan várható nyereményeket fontban, shilligben és pennyben.

Politikai és orvosi aritmetika • egy másik vonal: halálozási adatok • Jacob Bernoulli, 1713 (1690): Ars Conjectandiszerencsejátékok, halálozási jegyzékek + permutáció, kombináció, binomiális tétel, nagy számok törvénye • Centralizált fellépés járványok ellen: ismertetők, táblázatok, karantének, pestisdoktorok • 1662 John Graunt: Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality. London lakossága, katonaképes férfiak száma, legveszélyesebb betegségek, gyermekhalálozás. • fél évszázados adatsorok elrendezése, általános tanulságok • biztosítási matematika alapjai, adózás, statisztika, stb. • 1720 James Jurin. Himlőoltás (himlős sebből emberi sebbe kenet). A Philosophical Transactions-ben és egyéb helyeken hirdetések – adatok, ki mit tud. Európaszerte sokan válaszolnak: milyen veszélyes az oltás 1: 90 vs.1: 7,5 • Később adótáblázatok, születési adatok használata is. • Orvosoknál levelezési láncok –orvosi és betegadatok. • Kórházi szülés (fogó), bábaiskolák

A valószinűségi érvelés • 1710 John Arbuthnot „Argument for Divine Providence” • Londonban az ezt megelőző 82 évben mindig több fiú született, mint lány. • Egyenlő esély feltételezése esetén ennek a valószínűsége 1/(2^82) • Ez olyan kicsi szám, hogy minden bizonnyal a gondviselés a felelős • ez a reductio ad absurdum érvelési forma elterjed

Georges-Louis de Buffon • Hogy a hat bolygó mind egy irányban kering: 1/26, vagyis 1/64. Ez valószinűtlen, így valószínű, hogy Buffon üstököselmélete helyes (ez szakította ki a napból a bolygókat) • Matematika bizonyosság (nincs bizonytalanság) • Morális bizonyosság (1/10 000 a tévedés val.) • Fizikai bizonyosság: ki kell számolni!! • pl. mi az esélye, hogy egy 56 éves férfi meghal a következő 24 órában?

A napfelkelte valószinűsége 1777 Essai d’arithmétique morale • Gondolatkísérlet – felnőtt minden korábbi érzékelés nélkül • Meglátja a napot, az azonban eltűnik • Milyen biztos abban, hogy újra fogja látni? ½ • Ahogyan telnek a napok egyre több adata van, egyre bizonyosabb, hogy újra fel fog kelni a nap • 6000 év alatt 2 190 000-szer (n) látta • a valószínűség, hogy újra látja: 2n-1 az 1-hez.

A véletlen a 18. században • Csak egy puszta szó, de semmit sem jelent • De Moivre, 1738 (1711, 1756): Az esélyek tana„A véletlen szónak esztétikai értéke van, de különben minden jelentést nélkülöz. A létezés semmilyen módozatával nem áll kapcsolatban, sem magával a létezéssel, sem pedig a nemlétezéssel; sem meghatározni, sem megérteni nem lehet, és nem lehetséges a rá vonatkozó kijelentéseket sem igazolni, sem cáfolni, kivéve ezt: ‘Ez nem több, mint egy puszta szó.’” • David Hume, 1739: Értekezés az emberi természetről„Általánosan elfogadott, hogy semmi sem létezik ok nélkül, és a véletlen, ha szigorúan megvizsgáljuk, egy pusztán negatív szó, és semmi olyan valódi erőt nem jelent, amely bárhol is létezne a természetben.” •  a determinisztikus világban nincs helye

A statisztikai forradalom • P.-S. Laplace, 1814: Filozófiai értekezés a valószínűségről„Minden esemény, még ha olyan jelentéktelen is, hogy látszólag nem követi a természet törvényeit, valójában ugyanolyan pontossággal következik belőlük, mint a nap keringései.” nála az észlelési hibák kezelésére kell a val.szám.: a dolog a tudatlanságunk mértékével áll kapcsolatban • C.S. Peirce, 1893: „Válasz a szükségszerűség híveinek”„A véletlen beszivárog az érzékelés minden útján: minden dolgok közül ez a legszembeötlőbb. A legnyilvánvalóbb szellemi meglátásunk az, hogy a véletlen abszolút. Hogy létező, élő és tudatos – ezt még a racionalitás unalmas önképének is aligha van mersze tagadni.” • Hát elég sok minden történt a közben eltelt időben...

„Statisztika” • a szó eredeti jelentése: olyan adatgyűjtés, amely az állam politikai és gazdasági érdekeit szolgálja • Poroszország, 18. sz.: központi statisztikai hivatal korábbi népszámlálások: gyarmati kolóniák (16. sz-tól) • Félig öncélú adatgyűjtés (Leibniz): emberek száma nem szerint, társadalmi rang szerint, fegyverviselésre képes férfiak száma, házasságképes nők száma, népességsűrűség és -eloszlás, gyermekhalandóság, várható élettartam, betegségek eloszlása, halálozási okok, stb. (56 kategória) átfogó és részletes népszámlálások (egyre többkategória) • 1733: az adatokat titkosítják (az ellenségnek segítség) • század második fele: a statisztika amatőr hobbi lesz, majd sorra jönnek létre a helyi statisztikai intézetek

„Statisztikus” törvények • Kell hozzá rengeteg adat: Napóleon államszervezete iszonytató mennyiségűt produkál • Kell hozzá a társadalmi törvény fogalma: a francia Felvilágosodás racionalista hagyományában a természetet a természet törvényei, az emberi természetet saját törvényei igazgatják • Kell hozzá egy induktivista szemlélet: adatokból általánosítás programja  „törvények” • + a matematika alkalmazása: Laplace és Gauss: a hibák „normál-eloszlást” mutatnak sok társadalmi adat is  az „emberi természet” fogalmát felváltja a „normális ember” fogalma

Néhány alkalmazás • Orvostudomány: statisztikus betegség-törvényekEgy brit bizottság, 1825: „Megállapítható a betegség mennyisége, melyet egy átlagos egyén évente átél 20 és 70 éves kora között.” • Empirikus szociológia születésePl. öngyilkossági adatok (orvosok gyűjtik, mert az őrültség egy fajtája)  az életszínvonal számszerű indikátora • Bűnüldözés: a bűnözési statisztikák meglepő állandósága a törvényalkotásnál is figyelembe kell venni a devianciát • Bíróságok összetételeCondorcet, Laplace: a bírósági tévedés valószínűségének a priori meghatározása (pl. 7-5 arányú döntés: 1/4 a tévedés esélye)  statisztikai adatok: biztosabbá teszik a képet

„Számokba fojtva” • Charles Babbage, 1832:„ Pillanatnyilag a legszükségesebb, kollektív erőfeszítéséket igénylő tudomány, amely a legtöbb hasznot fogja hozni… az, amelyet úgy kellene nevezni, hogy ‘A természet és a művészet állandói’. Ennek kell tartalmaznia mindazokat a tényeket, melyek számokkal kifejezhetők.” • Babbage 19 állandó-kategóriája:Naprendszer állandói; atomsúlyok; fémek adatai; optikai tulajdonságok; állatfajok számai; emlősök adatai; emberek adatai; emberek munkavégző-képessége; növények; földrajzi eloszlások; légköri jelenségek; anyagok; sebességek (pl. madarak, nyíl, fény); földrajzi adatok; népességek; épületek; súlyok és mértékek; betűk előfordulásai különböző nyelvekben; könyvtári könyvek, egyetemi hallgatók, intézeti dolgozók, stb. száma

A mérték és mérés világa • Az egész világ számokban kifejezhető • Figyelem: ez nagyon messze van akár a 17. sz. geometriai felfogásától!!!  mérés, mérték alapvető • 18. sz.: rengeteg különböző mértékrendszer (pl. Franciaország: kb. 800, összesen kb. 250000 variánssal (?)) • 1790: Súly- és Mértékügyi Bizottság (Lagrange, stb.)  SI • a fizikai világ számszerű viszonyai matematikai viszonyokkal visszaadhatók, pl: (testek, könnyebb, additivitás — valós számok, kisebb, összeadás)  a kettő között  homomorfizmus

A statisztikus perspektíva • A számokba fojtott világ statisztikailag értelmezhető: • nemcsak szociológia, kriminológia, stb, hanem • statisztikus fizika: Maxwell, Boltzmann az „atomok társadalma” segítségével újraértelmezi a klasszikus fizikai fogalmakat • evolúcióelmélet • stb… • 20. sz.: kvantumfizika  a világ eleve nem determinisztikus

Az ember mérése • Szemben a szimmetriaviszonyok, stb. mérésével (ld. Dürer) – a tizenkilencedik század az emberi teljesítményt (is)kezdte kvantifikálni • gyárak (munkaidő, teljesítmény, táplálék) • megfigyelések pontossága (obszervatóriumok, stb.)

Reakcióidő-mérés • 1796 Newill Maskellyne királyi csillagász kirúgja segédét, mert 800 msec-es késéssel jelezte a csillagok áthaladását a greenwichi obszervatórium felett • „az áthaladás megítélésén múlt a greenwichi óra működése, az óra működésétől függött a hosszúsági fokok beállítása, s a hosszúsági fokoktól függött a Brit birodalom”

Bessel, 1820 • Csillagászok leolvasási idejeinek szisztematikus összevetése: szisztematikus eltérések • személyi egyenlet: A-S=0,202 • (Algerander átlagosan 0,202 mp-vel később látta az áthaladást, mint Strube) • De mi volt a valódi áthaladás? Nincs „biztos pont”

A kronoszkóp / kronográf • Mesterséges „időgenerálás” • csillagáthaladások mesterséges modellhelyzetei • de ki kell zárni az egyéb hatásokat (ezek növelik a reakcióidőt és a készülék maga is hangot ad…) • személy-egyenlet, hangszigetelő fülke – a kísérleti pszichofizika megszületik

Irodalom • Ian Hacking: The Emergence of Probability. • Ian Hacking: The Taming of Chance. • Loveland, J. Buffon, the Certainty of Sunrise, and the Probabilistic Reductio ad Absurdum. Arch. Hist. Exact Sci. 2001 (55) 465-477 • Pléh Csaba. A lélektan története. 2000. Osiris

Matematika és tapasztalat 2.