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Séries infinitas

Séries infinitas. { u k } = {u 1 , u 2 , u 3 , ..., u n ...} é uma sequência infinita. A soma dos termos dessa sequência é uma série infinita. u k são os termos da série infinita. Ex : 0,3333 ... Dízima periódica simples. 0,3333 ... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... = 1/3 Mostrar!.

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Presentation Transcript

  1. Séries infinitas {uk} = {u1, u2, u3, ..., un ...} é uma sequência infinita A soma dos termos dessa sequência é uma série infinita uk são os termos da série infinita Ex: 0,3333 ... Dízima periódica simples 0,3333 ... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... = 1/3 Mostrar! Ex: 2,5434343 ... = 2 Dízima periódica composta

  2. A convergência de uma série • A n-ésima soma parcial da série Sn = {Sn } = sequência infinita de somas parciais (SSP) {Sn } = {S1, S2, S3, ..., Sn, ... } S1= u1; S2 = S1 + u2 = u1 + u2 S3 = S2 + u3 = u1 + u2 + u3 ......... Sn = Sn-1 + un = u1 + u2 + u3 + ... + un

  3. Seja Sn= Se a sequência de somas parciais (SSP) {Sn}n=1 = {S1, S2, ..., Sn, ...} convergir para um limite S dizemos que a série converge para S e que S é a soma da série. Escrevemos S = (na verdade, S = ) Se {Sn} n=1 diverge dizemos a a série diverge (não tem soma).

  4. Exemplo: verificar se as séries convergem ou divergem. 1 -1 + 1 – 1+ ... + (-1)n+1, ... Algumas séries especiais! As séries geométricas para n ≠ 0 convergem para S = se |q| < 1 e divergem se |q| ≥ 1 Exemplos (p. 647)

  5. 2. As séries telescópicas = convergem para 1. 3. As séries p ou séries híper harmônicas (p > 0) = 1+ convergem se p > 1 e divergem se 0 < p < 1 Exemplos: a)

  6. Propriedades das séries (propriedades dos somatórios) Se e - = e = b) Sea ≠ 0 então as séries e ou ambas convergem ou ambas divergem e = c) A convergência ou divergência não é alterada pela retirada de um número finito de termos de uma série, isto é, para Ⱪ > o e inteiro, ambas convergem ou ambas divergem Exemplos (página 654)

  7. Testes de convergência Séries alternadas, convergências condicional e absoluta

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