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Cap. 1.- Los números reales (ℝ) El primer paso en la creación de los números ℝ fue la invención de los números enteros positivos (ℤ⁺ ) 1, 2, 3….. (también llamadosℕ), originados por la necesidad de contar objetos. Un conjunto numérico resulta inadecuado si al realizar ciertas operaciones el resultado no es un elemento de tal conjunto numérico. Las operaciones de (-, /) en general no se pueden aplicar a los ℤ⁺. De ahí que surgió la necesidad de crear los enteros negativos (ℤ⁻). El conjunto de los números enteros (ℤ) esta formado por los ℤ⁺ ∪ℤ⁻ ∪ {0}.
Un número racional (ℚ) es aquel número que se puede expresar como el cociente de dos números ℤ, siempre que el divisor sea diferente de cero. Como cualquier entero n se puede expresar como un cociente, esto es n = n/1, entonces el conjunto de los ℚ contiene a los ℤ. • Otros números son los irracionales 𝕀, y son aquellos números que no se pueden representar como el cociente de dos ℤ, por ejemplo: el número л, el número ℯ, raíz de 2, etc. • Los ℚ∪𝕀 constituyen el conjunto de los ℝ.
1.2 Representación geométrica de los ℝ • Interpretación de los números ℝ como distancias. Para ello se usarán la línea recta indefinida LL` (recta numérica), un punto O fijo sobre ella, y la unidad de distancia U. • Los números ℚ se encuentran colocados en huecos que hay entre los ℤ. Sin embargo aún quedan huecos vacíos así que éstos son ocupados por los 𝕀.
Los ℝ comúnmente se representan con letras minúsculas. • Se define el conjunto de los ℝ como el conjunto de los números r que se pueden asociar con puntos P situados sobre una línea recta, de tal manera que cada punto P está a una distancia r del punto fijo O. Si P esta a la derecha de O, r es positivo; si P esta a la izquierda de O, r es negativo; si P coincide con O, r es cero. Por esta correspondencia biunívoca entre los número ℝ y los puntos de un eje, es usual referirse indistintamente a un número ℝ o a un punto. • Cero no es positivo ni negativo y únicamente separa a los números positivos de los negativos.
1.3.1.- Propiedades básicas de los ℝ (axiomas) • A1 Para todo a y b en ℝ, a+bЄ R (propiedad de cerradura) • A2 Para todo a y b en ℝ, a+b = b+a (ley conmutativa) • A3 Para todo a, b y c en ℝ, (a+b) + c = a + (b+c) (ley asociativa • A4 Hay un elemento y solo uno al que denotamos por “0”, tal que para todo aЄ ℝ, a+0 = a = 0+a (existencia y unicidad del elemento neutro aditivo) • A5 Para cada aЄℝ, hay un y solo un elemento, al que denotamos por “-a”, tal que a+(-a) = 0 = a – a (existencia y unicidad del inverso aditivo) • M1 Para todo a y b en ℝ, abЄ R (ley de cerradura) • M2 Para todo a y b en ℝ, ab = ba (ley conmutativa) • M3 Para todo a, b y c en ℝ, (ab)c = a(bc) (ley asociativa)
M4 Hay un y solo un elemento, al que denotamos por “1”, diferente de cero, tal que para todo a en ℝ, a(1) = a = 1(a) (existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo). • M5 Para cada a en ℝ, diferente de 0, hay un y solo un elemento, al que denotamos por a-1 tal que a(a-1) = 1 = a-1 (a) (existencia y unicidad del inverso multiplicativo). • D Para todo a, b y c en ℝ, a(b+c) = ab +ac (ley distributiva) O1 Para cualesquiera dos elementos a y b en ℝ, una y solo una de las siguientes relaciones se cumple: a<b, a=b, b<a (ley de tricotomía) 02 Si a<b y b<c, entonces a<c (ley transitiva) 03 Si a<b entonces para todo c en ℝ, a+c < b+c O4 Si a<b y 0<c, entonces ac < bc, Si a>b y c<0 => ac<bc
1.3.2 Consecuencias • Sean a, b, c y d números ℝ • a+b = a+c => b= c • a(0) = 0 • ab = ac y a≠0 => b=c • ab = 0 => a = 0 o bien b = 0 • Definimos: • 1) a – b = a + (-b), 2) a/b = a (b)¯¹ con b ≠ 0 • 3) 1/a = a¯¹ si a ≠ 0 • a – b = 0 a = b, a/b = 1 a = b con b ≠ 0
-0 = 0, 1¯¹ = 1, -(-a) = a • (a¯¹)¯¹ = a con a ≠ 0 • -(a+b) = -a-b, (ab)¯¹ = a¯¹ b¯¹ • a(-b) = (-a)b = -(ab), (a-b)c = (ac) – (bc) • (-a)(-b) = ab a/b = c/d ad = bc y bd≠0 • a/b ± c/d = [(ad) ± (bc)]/(bd) • (a/b) (c/d) = ac/bd, • a/(-b) = -(a/b) = (-a)/b, -a/-b = a/b • ab/ad = b/d
Leyes de los exponentes (algunas) • Si n es ℕ se define: • a si n = 1 • aⁿ = { • aⁿ¯¹ a si n>1 • a° = 1 con a ≠ 0, a¯ⁿ = (a¯¹)ⁿ = (aⁿ)¯¹ = 1/aⁿ • ⁿ√a = b => bⁿ = a (si n es par entonces a ≥ 0) • Si n es impar y bⁿ = a => ⁿ√a = b • ⁿ√(a ͫ) = a ͫ′ⁿ si m/n ϵ ℚ • ⁿ√(ab) = ⁿ√a ⁿ√b, ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b • (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ aⁿ a ͫ= aⁿ⁺ ͫ • (aⁿ) ͫ= (a ͫ )ⁿ = aⁿͫ aⁿ/a ͫ= aⁿ¯ ͫ
1.3.3.- Factorización (productos notables) • Por factorizar una expresión algebraica se entiende escribirla como un producto de varios términos. • Sacar factor común: ax ± bx = (a±b) x • Diferencia de cuadrados: a² - b² = (a+b)(a-b) • Factorizar un trinomio: x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b) • Trinomio cuadrado perfecto: a² ± 2ab + b² = (a ± b)² • Cubo perfecto: a³± 3a² b ± 3ab² ± b³ = (a ± b)³ • aⁿ - bⁿ = (a-b)(aⁿ¯¹ b°+aⁿ¯² b¹ +aⁿ¯³ b²+….+a²bⁿ¯³+a¹bⁿ¯²+a°bⁿ¯¹) • aⁿ+bⁿ = (a+b)(aⁿ¯¹ b°- aⁿ¯² b¹ +aⁿ¯³ b² -….+a²bⁿ¯³-a¹bⁿ¯²+a°bⁿ¯¹) • (2a - 3b) ² - (c+d)²= [(2a -3b) + (c+d)] [(2a - 3b)-(c+d)]= (2a – 3b+c+d)(2a - 3b – c - d). • x⁶ + y⁶ = (x²)³ + (y²)³ = (x²+y²)((x²)² (y²)⁰ - (x²)¹(y²)¹ + (x²)⁰(y²)²) = (x²+y²)(x⁴ - x²y² + y⁴).
Teorema del residuo • Si P(x) es un polinomio de grado n y r es una raíz (es decir P(r)= 0) entonces P(x) = (x-r)Q(x) • Sea P(x) = x³-6x²+11x-6; sea x=1 una raiz; P(1)= 1³-(6)(1)²+(11)(1)-6=1-6+11-6=0, luego P(x) es divisible entre (x-1). • Haciendo la división • (X³-6x²+11x-6)/(x-1) • obtenemos como resultado x²-5x+6 • Por lo tanto, el polinomio x³-6x²+11x-6 se puede factorizar como (x-1)(x²-5x+6), es decir • x³-6x²+11x-6 = (x-1)(x²-5x+6).
1.4.- Orden de los números ℝ • Cualquier expresión que contenga uno de los cuatro símbolos >, <, ≥, ≤ se llama desigualdad. • Un número a que pertenece a los ℝ es positivo si esta a la derecha del cero y negativo si esta a la izquierda, esto se denota así: a>0 o bien o<a y a<0 o bien 0>a, respectivamente. • a>0 -a < 0 • Si a>b y c<0 => ac<bc • Si a>b y c>d => a+c>b+d • Si a>b y b>c => a>c • Si a≠0 => a²>0 • a² +1 > 0 para todo a en los ℝ • Si a < 0 => aⁿ > 0 si n es par. • Si a < 0 => aⁿ < 0 si n es impar.
Si 0<a<b => 0<aⁿ<bⁿ • aⁿ>bⁿ>0 si n es par • Si a<b<0 => { • aⁿ<bⁿ<0 si n es impar • Si 0<a<b => 0<ⁿ√a<ⁿ√b para n un ℕ • Si a<b<0 => ⁿ√a<ⁿ√b<0 si n Єℕ impar • Si ab>0 y a>0 => b>0 • Si a>0 => a¯¹ >0, Si a<0 => a¯¹<0 • Si a>0 y b>0 => a/b>0 • m/n ≤ p/q <=> mq≤np
Conjuntos • Un conjunto es una colección de objetos de cualquier tipo y a dichos objetos se les denomina elementos del conjunto. En nuestro caso todos los elementos serán ℝ. • Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas A, B, C D,……etc., y a sus elementos por letras minúsculas a, b, c, d,…. etc. • x є A = x es elemento (pertenece a) de A • x ∉ A = x no es elemento (no pertenece a) de A • Un conjunto puede ser expresado por extensión A = {-1, 0, 1….}, por comprensión: A = {todos los x tales que x³ = x} que también se puede expresar simbólicamente A = {x|x³ = x} lo cual se lee A es el conjunto de los elementos x tales que x³ = x.
Un conjunto no se modifica si se cambia el orden de sus elementos. • Un conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se denota con el símbolo Ø. • Si A y B son dos conjuntos, y sucede que todo elemento de A es también elemento de B, se dice que A es un subconjunto de B o bien que A está contenido en B y se escribe A ⊂ B • Cuando A no es subconjunto de B se escribe A ⊄ B • El conjunto A es un subconjunto propio de B si A ⊂ B y además B ⊄ A • Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos y se escribe A = B
Operaciones con conjuntos • La unión de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos. Esto es A ⋃ B = { x | x є A o bien x є B} • La intersección de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de aquellos elementos que pertenecen a ambos conjuntos a la vez. Esto es A ⋂ B = { x | x є A y x є B} • La diferencia de dos conjuntos A menos B se define como el conjunto de todos los elementos que están en A y que no están en B. • Esto es A – B = { x | x є A y x ∉ B} • Dos conjuntos A y B son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, esto es A ⋂ B = Ø • Si A es un conjunto y Ø el conjunto vacío, entonces • A ⋃ Ø = A y A ⋂ Ø = Ø • Si A y B son conjuntos tales que A ⊂ B, entonces • A ⋃ B = B y A ⋂ B = A
Igualdades • El símbolo (=) se lee “es igual a” y divide a la expresión (igualdad) en dos partes llamadas miembros: lo que esta antes del signo igual es el primer miembro y lo que esta después se llama segundo miembro. • A su vez, si una igualdad en la que aparecen números y letras es cierta para cualquier valor de las letras, decimos que se trata de una identidad; en caso contrario decimos que se trata de una ecuación. • El símbolo ≠ se lee “no es igual a” o bien “es diferente de”. • En cualquier igualdad se pueden intercambiar los miembros, esto es: a=b => b=a • Dos números iguales a un tercero son iguales entre sí: • a=b y b=c => a=c
1.5.- Intervalos • Abierto: (a,b) = {xєℝ|a<x<b} = {xєℝ|x>a y x<b} • Cerrado: [a,b] = {xєℝ|a≤x≤b} = {xєℝ|x≥a y x≤b} • Semiabiertos o semicerrados • Semi abierto por la derecha [a,b) = {xєℝ |a≤x<b} = {xєℝ|x≥a y x<b} • Semi abierto por la izquierda (a,b] = {xєℝ|a<x≤b} = {xєℝ|x>a y x≤b} • Infinitos • (a,∞) = { xєℝ | x>a }, [a,∞) = { xєℝ | x≥a } • (-∞,a) = { xєℝ | x<a } , (-∞,a] = { xєℝ | a≤x }
Debido a que los intervalos son conjuntos (de números) podemos realizar con ellos las operaciones que se efectúan con cualquier par de conjuntos. Por ejemplo: la unión, la intersección y la diferencia. • Si A y B son dos intervalos cualesquiera, entonces • Unión de A ⋃ B = { xєℝ | xєA o bien xєB} • Intersección de A ⋂ B = { xєℝ | xєA y xєB} • Diferencia de A y B = { xєℝ | xєA y x no pertenece a B} • Sea A = (-5,4) y B = [-3,8]. La diferencia A-B será (-5, -3) • Si A es un intervalo cualesquiera, entonces: • A ⋃ Ø = A A ⋂ Ø = Ø • A ⋃ ℝ = ℝ A ⋂ ℝ = A ******
1.6.- Valor absoluto • Sobre la recta numérica, la distancia de un número a al origen, que se denota mediante d(a,0), se conoce como valor absoluto y se expresa de la siguiente manera: d(a,0) = |a|. • Propiedades: • -a si a < 0 • |a| = { • a si a > 0 • |a| ≥ 0, |a| = 0 a = 0, √(a)² = a, |a| = |-a| • - |a| ≤ a ≤ |a|, |a∙b| = |a| ∙ |b|, |a|ⁿ = |aⁿ| para n єℤ • |a/b| = |a|/|b| con b ≠ 0, • |a+b| ≤ |a| + |b| desigualdad del triángulo • |a-b| ≤ |a| + |b| , |a-b| ≥ |a| - |b| Corolarios de la des. del T
Demostraciones • 1.- |a-b| = |a+(-b)| ≤ |a|+|-b| Por la des. del triángulo • => |a-b| ≤ |a|+|b| Por def. de valor absoluto • 2.- |a| = |a-b+b| = |(a-b) + b| ≤ |a-b| + |b| • Por la desigualdad del triángulo • ⇒|a| - |b| ≤ |a-b|+|b| - |b| Restando |b| en ambos lados • ⇒|a| - |b| ≤ |a-b| ⇒ |a-b| ≥ |a| - |b| • Para la clase: • Si |a| ≤ c y |b| ≤ d => |a+b| ≤ c + d
Distancia entre dos puntos • Definimos la distancia entre dos puntos a y b como: d(a,b) = |a-b| • Propiedades de la distancia • d(a,0) = |a-0| = |a|, d(a,a) = 0, d(a,b) ≥ 0 • d(a,b) = d(b,a), • Desigualdad del tríangulo en notación de distancia • d(a,c) ≤ d(a,b) + d(b,c)
Si el número x es igual a M o bien a –M, entonces, la distancia de x al origen es M. • |x|= M x = ± M • El conjunto de números cuya distancia al origen es menor que M consta de aquellos puntos x que están a la derecha de –M y a la izquierda de M. • d(x,0) < M |x|<M -M < x < M xє(-M,M) *** • El conjunto de números x cuya distancia al origen es mayor que M consta de aquellos puntos que están a la izquierda de –M o bien a la derecha de M. • d(x,0) > M |x| > M x < -M o bien x > M • x є (-∞,-M) ⋃ (M, ∞)
Los puntos cuya distancia a b es menor que M son aquellos que están a la derecha de b-M y a la izquierda de b+M. • d(x,b) < M |x-b|< M -M < x-b < M • b-M < x < b+M x є (b-M, b+M) • Los puntos cuya distancia a b es mayor que M son aquellos que están a la izquierda de b-M o a la derecha de b+M • d(x,b) > M |x-b|> M x-b < -M o bien x-b > M x < b-M o bien x > b+M x є (-∞, b-M) ⋃ (b+M, ∞)
1.7.- Resolución de desigualdades • Resolver una desigualdad con una incógnita (x) significa hallar los ℝ tales que la desigualdad se cumple. Llamaremos conjunto solución al conjunto de tales x. • Para resolver una desigualdad son útiles las siguientes propiedades: • 1.- Para pasar un término de un miembro al otro, se le cambia de signo, es decir, si es + pasa al otro miembro con – y viceversa. • a+b ≥ c a ≥ c-b • Se puede pasar un factor diferente de 0 de un miembro al otro poniéndolo como divisor y viceversa, tomando en consideración lo siguiente: • A) Si el factor es + el sentido de la desigualdad se mantiene • a∙b ≥ c y b > 0 a ≥ c/b y b > 0
2.- Si el factor es negativo el sentido de la desigualdad se invierte • a∙b ≥ c y b < 0 a ≤ c/b y b < 0 • Desigualdades del tipo ax+b ≥ 0 con a ≠ 0 y b єℝ • ax+b ≥ 0 => ax ≥ 0-b ax ≥ - b, tenemos dos casos: • Si a>0 entonces x ≥ -b/a, Conj. Solución = [-b/a, ∞) • Si a<0 entonces x ≤ -b/a, CS = (-∞, -b/a] • Geométricamente resolver la desigualdad ax+b ≥ 0 con a≠0 significa hallar las x tales que la recta y=ax+b corta a la recta y=0 o bien esta situada por encima de ella. • Ejemplo: Resolver la desigualdad 2x-5 ≥ 0 • 2x-5 ≥ 0 2x ≥ 0+5 2x ≥ 5, como 2 > 0, entonces • 2x ≥ 5 x ≥ 5/2, el CS = [5/2,∞)
Resolver la desigualdad ¾ x + 2/5 < 0 ¾ x + 2/5 < 0 ¾ x < 0 – 2/5 3/4x < -2/5, Como ¾ > 0, entonces ¾ x < -2/5 x < -(2/5)(4/3) x < -8/15, CS = (-∞, -8/15) Desigualdades del tipo ax + b ≥ cx + d Resolver este tipo de desigualdades significa hallar otra desigualdad equivalente, esto es, que tenga el mismo conjunto solución, pero donde x aparezca solo en uno de los miembros. ax + b ≥ cx + d ax-cx ≥ d-b (a-c)x ≥ d-b Nuevamente tenemos dos casos: Si a-c > 0, entonces x ≥ (d-b)/(a-c), CS = [(d-b)/(a-c), ∞) Si a-c < 0, entonces x ≤ (d-b)/(a-c), CS = (-∞, (d-b)/(a-c)]
Geométricamente resolver la desigualdad ax + b ≥ cx + d significa hallar las x tales que la recta y = ax + b corta a la recta y = cx + d o bien está por encima de ella. • Resolver la desigualdad 5/4 x -2/3 > 8/3 x – 3/2. • 5/4 x -2/3 > 8/3 x – 3/2 5/4 x - 8/3 x > 2/3 – 3/2 • -17/12 x > -5/6 x < 10/17, CS = (-∞, 10/17]. • Desigualdades del tipo a₁x + b₁ ≥ a₂x + b₂ ≥ a₃x + b₃ • Geométricamente, resolver este tipo de desigualdades significa hallar las x tales que la recta y = a₂x + b₂ se encuentra entre las rectas y = a₁x + b₁ y y = a₃x + b₃.
Resolver la desigualdad 18-5x > 2x + 3 ≥ 4-3x. • 18-5x > 2x + 3 y 2x + 3 ≥ 4-3x • Resolviendo la primera desigualdad • 18-5x > 2x + 3 -5x -2x > 3-18 -7x > -15 • x < 15/7 CS₁ = (-∞, 15/7) • Resolviendo la segunda desigualdad • 2x + 3 ≥ 4-3x 2x + 3x ≥ 4-3 5x ≥ 1 • x ≥ 1/5 CS₂ = [1/5, ∞) • El conjunto solución de la doble desigualdad es: • CS = CS₁ ⋂ CS₂ = (-∞, 15/7) ⋂ [1/5, ∞) • = [1/5, 15/7)
Desigualdades del tipo | ax + b| ≤ M con M>0 • Por la definición tenemos que –M ≤ ax + b ≤ M • y se cumple cuando ax + b ≥ -M y ax + b ≤ M • Resolver la desigualdad |3x – 5| ≤ 4 • 3x – 5 ≥ - 4 y 3x – 5 ≤ 4 • 3x ≥ -4 + 5 y 3x ≤ 4 + 5 • x ≥ 1/3 y x ≤ 3 • CS₁ = [1/3, ∞) y CS₂ = (-∞, 3] • CS = CS₁ ⋂ CS₂ = [1/3, ∞) ⋂ (-∞, 3] = [1/3, 3]. • Es posible usar otro método: • -4 ≤ 3x-5 ≤ 4 -4+5 ≤ 3x ≤ 4+5 1 ≤ 3x ≤ 9 • 1 (1/3) ≤ (1/3) 3x ≤ (1/3) 9 1/3 ≤ x ≤ 3 • Por lo que el CS = [1/3, 3]
Desigualdades del tipo |ax + b| ≥ M con M >0 • Resolver la desigualdad | 5/3 x + ¾ | > 2/5 • Esta desigualdad se cumple cuando • 5/3 x + ¾ < -2/5 o bien cuando 5/3 x + ¾ > 2/5 • Resolviendo la primera ecuación • 5/3 x + ¾ < -2/5 5/3 x < - 2/5 - 3/4 • 5/3 x < - 23/20 x < -23/20 (3/5) • x < -69/100 CS₁ = (-∞, -69/100) • Resolviendo la segunda desigualdad • 5/3 x + ¾ > 2/5 5/3 x > 2/5 – ¾ • 5/3 x > -7/20 x > 3/5 (-7/20) • x > -21/100 CS₂ = (-21/100, ∞) • CS = CS₁ ∪ CS₂ = (-∞, -69/100) ∪ (-21/100, ∞) • = ℝ - [-69/100, -21/100].
Desigualdades del tipo (ax+b)/(cx+d) ≥ 0 • Resolver la desigualdad: (3x+4)/(2x-5) ≥ 0 ***** • Puede suceder que 2x -5 > 0 o que 2x – 5 < 0. • Si 2x-5 > 0 entonces 3x+4 ≥ 0, así que • 2x-5 > 0 y 3x + 4 ≥ 0 2x > 5 y 3x ≥ -4 • x > 5/2 y x ≥ -4/3 x є (5/2, ∞) y x є [-4/3, ∞) • x є [-4/3, ∞) ⋂ (5/2, ∞) = (5/2, ∞) => CS₁ = (5/2, ∞) • Si 2x - 5 < 0, entonces • 2x – 5 < 0 y 3x + 4 ≤ 0 2x < 5 y 3x ≤ -4 • x < 5/2 y x ≤ -4/3 x є (-∞, 5/2) y x є (-∞, -4/3] x є (-∞, 5/2) ⋂ (-∞, -4/3] = (-∞, -4/3] => CS₂ = (-∞, -4/3] . • Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es • CS = CS₁ ⋃ CS₂ = (5/2, ∞) ⋃ (-∞, -4/3] = ℝ – (-4/3, 5/2).
Desigualdades del tipo (ax + b)/(cx + d)≥k • Resolver la desigualdad (2x+3)/(4x-5) ≥ -6 Tenemos dos casos: • Si 4x-5 < 0 entonces (la desigualdad se invierte) • (2x+3)/(4x-5) ≥ -6 • [(2x+3)/(4x-5) ]∙ (4x-5) ≤ -6 (4x-5) • 2x+3 ≤ -24x+30 2x+24x ≤ 30 -3 • 26 x ≤ 27 x ≤ 27/26 • Pero 4x – 5 < 0 4x < 5 x < 5/4. • Se debe cumplir entonces que • x < 5/4 y x ≤ 27/26. • Ambas desigualdades se cumplen cuando x ≤ 27/26 • Por lo tanto el CS₁ = (-∞, 27/26].
Si 4x -5 es > 0 entonces (la desigualdad no cambia de sentido) • (2x+3)/(4x-5) ≥ -6 • [(2x+3)/(4x-5)]∙ (4x-5) ≥ -6(4x-5) • 2x+3 ≥ -24x+30 2x+24x ≥ 30-3 • 26 x ≥ 27 x ≥ 27/26 • Pero 4x-5 > 0 4x > 5 x > 5/4. • Se debe cumplir que x > 5/4 y x ≥ 27/26. • Ambas desigualdades se cumplen cuando • x > 5/4. • Se tiene en este caso CS₂ = (5/4, ∞) • Finalmente CS = CS₁ ⋃ CS₂ = (-∞, 27/26] ⋃ (5/4, ∞) = ℝ – (27/26, 5/4]
Otras desigualdades • Desigualdades de la forma |(2x+3)/(4x-5)| ≤ 6 • Esta desigualdad no es del tipo (ax+b)/(cx+d) ≥ k pero se puede reducir a resolver dos desigualdades de este tipo usando las propiedades de valor absoluto. • |(2x+3)/(4x-5)| ≤ 6 -6 ≤ (2x+3)/(4x-5) ≤ 6 • -6 ≤ (2x+3)/(4x-5) y (2x+3)/(4x-5) ≤ 6 • El CS de la desigualdad original será la intersección de los conjuntos solución de las desigualdades • (2x+3)/(4x-5) ≥ -6 (1) y (2x+3)/(4x-5) ≤ 6 (2) • (para hallar el CS ver transparencia anterior) • CS₁ = (-∞, 27/26] ⋃ (5/4, ∞) = ℝ – (27/26, 5/4] • CS₂ = (-∞, 5/4) ⋃ [3/2, ∞) = ℝ – [5/4, 3/2). • Finalmente realizamos la intersección de CS₁ y CS₂ • CS= CS₁ ⋂ CS₂ = ℝ – (27/26, 5/4] ⋂ ℝ – [5/4, 3/2) • = ℝ – (27/26, 3/2)
Cómo graficar la función ax²+bx+c • La función representa una curva llamada parábola. Si a>0 entonces sus ramas se abren hacia arriba (Concavidad hacia arriba) y si a<0 entonces se abren hacia abajo (Concavidad hacia abajo). • El vértice de la parábola es el punto mas bajo de la curva si ésta se abre hacia arriba y es el punto mas alto si se abre hacia abajo. Para hallarlos se usa el método de completar un cuadrado. • Ejemplo: Halle el máximo o mínimo de la función • y = 2x²-4x+10 = 2[(x²-2x)+5] = 2[(x²-2x+1)+5-1] = 2[(x-1)²+4]. • Como a>0 entonces las ramas se abren hacia arriba y por lo tanto lo que buscaremos será un mínimo. Si la primera expresión dentro de los corchetes no es cero entonces es positiva. Por consiguiente, el valor de y crece según el valor numérico de x-1 y el valor de y será mínimo cuando esta expresión sea cero, esto es, cuando x=1. Por tanto el valor mínimo de y es y = 2[(1-1)²+ 4] = 8 • Los ceros de una función de segundo grado son las abscisas de los puntos en donde la gráfica cruza el eje de las x, es decir cuando y = 0. Como se pueden hallar?
Breviario cultural • ax² + bx + c = 0 • x=-b/2a ± [√b²-4(a)(c)]/2a • Sea r= =-b/2a + √b²-4(a)(c)/2a y • s = -b/2a - √b²-4(a)(c)/2a • r + s = -b/a y rs = c/a • => b=-a(r+s) y c = ars. Por otro lado • ax²+bx+c = ax²- a(r+s)x + ars = a[x²-(r+s)x+rs]= • a(x-r)(x-s) • Este método es apropiado cuando los coeficientes son números grandes.
Desigualdades de la forma ax²+bx+c ≥ 0 con a ≠ 0 • Resolver la desigualdad 2x²+x-6 ≥ 0 • Primero hallamos las raíces de la ecuación 2x²+x-6=0 • x=-1/4 ± √1²-4(2)(-6)/4= (-1±7)/4 • x₁ = 3/2 x₂ = -2, con las raíces factorizamos el trinomio • 2x²+x-6 = 2 (x-3/2)[x-(-2)] = 2(x-3/2)(x+2). • Luego resolvemos la desigualdad • 2x²+x-6 ≥ 0 2(x-3/2)(x+2) ≥ 0 (x-3/2)(x+2) ≥ 0 • x-3/2 ≤ 0 y x+2 ≤ 0 o bien x-3/2 ≥ 0 y x+2 ≥0 • x ≤ 3/2 y x ≤ -2 o bien x ≥ 3/2 y x ≥ -2 • x є (-∞, 3/2] y x є (-∞, -2] o bien x є [3/2, ∞) y x є [-2,∞) • x є (-∞, 3/2] ⋂ (-∞,-2] o bien x є [3/2,∞) ⋂ [-2,∞) • => x є (-∞, -2] ⋃ [3/2, ∞). Por lo tanto, el conjunto sol. de la desigualdad es CS = (-∞, -2] ⋃ [3/2, ∞) = ℝ – (-2, 3/2)
Desigualdades de la forma a₁x²+b₁x+c₁≥a₂x²+b₂x+c₂ con a₁ ≠ a₂ • a₁x²+b₁x+c₁ ≥ a₂x²+b₂x+c₂ => a₁x²+b₁x+c₁-(a₂x²+b₂x+c₂) ≥ o • => (a₁-a₂) x² + (b₁-b₂)x + (c₁-c₂) ≥ 0 • Esta es una desigualdad del tipo anterior y por lo tanto se resuelve de la misma manera. • Ejemplo, resolver la siguiente desigualdad: 3x²-4x+5 ≤ 9x-3x²+10 • 3x²-4x+5 ≤ 9x-3x²+10 3x²-4x+5-(9x-3x²+10) ≤ 0 • 6x²-13x-5 ≤ 0. Resolviendo la ecuación 6x²-13x-5 = 0 • como antes, obtenemos las raíces x₁ = 5/2 y x₂ = -1/3. • La factorización del trinomio nos da 6(x-5/2)(x+1/3) • Resolviendo la desigualdad • 6x²-13x-5 ≤ 0 6(x-5/2)(x+1/3) ≤ 0 (x-5/2)(x+1/3) ≤ 0 • x-5/2 ≤ 0 y x+1/3 ≥ 0 o bien x-5/2 ≥ 0 y x+1/3 ≤ 0 • x ≤ 5/2 y x ≥ -1/3 o bien x ≥ 5/2 y x ≤ -1/3 • x є (-∞, 5/2] ∩ [-1/3, ∞) o bien x є [5/2, ∞) ∩ (-∞, -1/3] • CS = [-1/3, 5/2] ∪ ∅ = [-1/3, 5/2]
