PERTEMUAN 3

1. PERTEMUAN 3 BARISAN DARI BILANGAN-BILANGAN REAL

2. Sasaran Pengkajian yang lebih mendalam tentang barisan dari bilangan – bilangan real.Pokok BahasanBarisan dari bilangan – bilangan real. Barisan – barisan Monoton.

3. Definisi Barisan {an} disebut naik monoton bila an+1 an untuk setiap bilangan alam n. Barisan {an} disebut turun monoton bila an+1 an untuk setiap bilangan alam n. Barisan {an} disebut monoton bila {an} naik monoton atau turun monoton.

4. Teorema (Teorema Konvergensi Monoton) Diberikan barisan {an} yang monoton. Maka, {an} konvergen bila dan hanya bila {an} terbatas.

5. Definisi Pandang barisan {an} dan ambil barisan dari bilangan bilangan alam {nk} yang naik tajam, yaitu n1 < n2 < n3 < Maka barisan {bk} yang didefinisikan dengan bk = untuk setiap bilangan alam k disebut barisan bagian dari barisan {an}.

6. Teorema-teorema • Setiap barisan punya barisan bagian yang monoton. • Setiap barisan terbatas punya barisan bagian yang konvergen. • (Teorema Bolzano – Weierstrass) Misalkan a dan b adalah bilangan dengan a < b. Setiap barisan dalam interval [a,b] punya barisan bagian yang konvergen ke suatu titik dalam [a,b].

7. Proposisi • Diberikan barisan {an} yang konvergen ke limit a. Maka setiap barisan bagian dari {an} juga konvergen ke limit yang sama a.

8. Teorema • (Teorema Nested Interval) Untuk setiap bilangan alam n, misalkan an dan bn adalah bilangan – bilangan sedemikian sehingga an < bn. Ambil In = [an , bn]. Misalkan In+1 In untuk setiap bilangan alam n.