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FORMULE DI ADDIZIONE

A. B. C. sin . sin . cos . cos . D. sin( +). cos( +). . . O. R=1. tg + tg  tg(  + ) = 1  tg   tg. cotg  co tg   1 cotg(  + ) = cotg  + co tg.

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FORMULE DI ADDIZIONE

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Presentation Transcript

  1. A B C sin  sin  cos cos D sin(+) cos(+)   O R=1 tg + tg tg(+) = 1  tg tg cotg  cotg  1 cotg(+) = cotg+ cotg FORMULE DI ADDIZIONE Consideriamo l’angolo  con lato origine OA, successivamente l’angolo  con lato origine OB cos  sen sen  cos  sen  sen cos  cos sen(+) = sen  cos + sen  cos cos(+) = cos  cos  sen sen dividendo membro a membro e semplificando:

  2. tg  tg tg() = 1+ tg tg 2tg tg(2) = 1 tg2 cotg2  1 cotg(2) = 2cotg cotg  cotg  1 cotg() = cotg+ cotg FORMULE DI SOTTRAZIONE Sostituendo nelle formule di addizione all’angolo l’angolo, si ottiene: sen() = sen  cos  sen  cos cos() = cos  cos + sen sen FORMULE DI DUPLICAZIONE Ponendo nelle formule di addizione  = , si ottiene: sen(2) = 2 sen  cos cos(2) = cos2  sen2

  3. FORMULE DI BISEZIONE Consideriamo il sistema composto dall’equazione fondamentale e dalla formula di duplicazione del coseno: 1= sen2 + cos2 cos 2 = cos2  sen2 1  cos2 = 2sen2 sottraendola seconda dalla prima: 1  cos = 2sen2(/2) ponendo /2 al posto di : evidenziando sen(/2): sommando la seconda alla prima: dividendo membro a membro:

  4. LE TRE ALTEZZE Le tre altezze si intersecano in un punto H chiamato ortocentro. A b C   hc H ha c Considerando i triangoli retti definiti dalle tre altezze ha, hb, hc, si può scrivere: hb a ha = bsen = csen hb = csen = asen hc = bsen = asen  B

  5. LE TRE MEDIANE Le tre mediane si intersecano in un punto G, detto baricentro del triangolo. b -- 2 b -- 2 Consideriamo i due triangoliABM e AMC A C a2 c2 = ---- + ma2 - a ma cos  4 a2 b2 = ---- + ma2 + a ma cos  4   mc ma c -- 2 a -- 2 G ’  mb Sommando membro a membro: M ’=200C-  a2 b2 + c2 = ---- + 2 ma2 2 c -- 2 a -- 2  1 ma = ---- 2b2 + 2c2 – a2 2 B • Il baricentro G si trova a una distanza dal vertice corrispondente pari ai 2/3 della mediana, e a 1/3 della mediana dal punto medio del lato opposto • AG = 2/3ma - GM = 1/3ma 1 mb = ---- 2a2 + 2c2 – b2 2 1 mc = ---- 2b2 + 2a2 – c2 2

  6. LE TRE BISETTRICI • Le tre bisettrici si intersecano in un punto O, centro del cerchio inscritto. Consideriamo l’area del triangolo ABC, ottenuta come somma di quelle dei due triangoliABN e ANC A b C 1 1  1  --- bc sen= --- cnsen ----+--- bnsen ---- 2 2 2 2 2  --- 2  --- 2  --- 2  --- 2 nc na Applicando la f. di duplicazione del seno al 1° membro: O  1  1  bc sen --- cos --- = --- cn sen ---- + --- bn sen ---- 2 2 2 2 2 2 nb c N a  --- 2 Dividendo per sen(/2):  --- 2  1 1 1 bc cos --- = --- cn+ --- bn = --- n (b + c) 2 2 2 2 B 2 b c  n = ------------cos --- c + b 2 2 a c  n = ------------cos --- a + c 2 2 a b  n = ------------cos --- a + b 2

  7. LA RETTA DI EULERO • In un triangolo i seguenti punti sono allineati: • baricentro G(intersezione delle tre mediane), • ortocentro H(intersezione delle tre altezze), • circocentro O(intersezione degli assi dei tre lati). • La retta che li congiunge viene detta retta di Eulero. A b C   H G c O a  retta di Eulero B

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