Formule goniometriche

1. Formule goniometriche

2. Angoli associati Due angoli orientati si dicono: • complementari quando…. • supplementari quando… • opposti quando … • esplementari quando….

3. Si chiamano “angoli associati” all’angolo alfa gli angoli le cui funzioni goniometriche sono complessivamente uguali, in valore assoluto, a quelle dell’angolo alfa.

4. B AOM=NOB= N K AON=90°- M O H A

5. Le coordinate dei punti sono:

6. I triangoli HOM, NOK sono congruenti, quindi: MH=NK OH=OK Allora:

8. Costruendo altri triangoli congruenti al triangolo MOH, si ottengono le altre formule degli angoli associati

15. Formule di addizione e sottrazione POA = B QOA= Q P O A AOB=

16. I punti hanno le seguenti coordinate: A (1,0) P (cos , sen ) B (cos( ) , sen ( )) Q (cos , sen ) La corda AB sottende l’angolo BOA = La corda PQ sottende l’angolo QOP =

17. PQ = AB PQ 2 = AB 2

19. PQ 2 = AB 2 Essendo sostituendo si ottiene: =

20. Semplificando: = Quindi:

21. Dalla formula di sottrazione del coseno si ottiene la formula di addizione del coseno:

22. Dalla formula precedente si ottiene la formula di addizione del seno:

23. Analogamente ottengo la formula di sottrazione del seno:

24. Formule di addizione e sottrazione si hanno anche per la tangente:

26. Formule di duplicazione

29. Formule di bisezione

32. Formule parametriche

36. Formule di prostaferesi Sommo membro a membro le due relazioni:

37. Sostituisco:

38. Ottengo:

39. Sottraendo membro a membro le due relazioni iniziali, ottengo: Con le sostituzioni precedenti si ottiene:

40. Procedendo in modo analogo si ha:

41. Formule di Werner