Řešení kubických rovnic

1. Jakub Borovanský Řešení kubických rovnic

2. Co je to kubická rovnice? • Kubickou rovnicí nazveme každou rovnici, která se dá ekvivalentními úpravami převést na tvar ax3 + bx2 + cx + d = 0, kde x je neznámá, koeficienty a, b, c, d jsou z reálných čísel a a ≠ 0. • Obdobně jako u rovnic kvadratických pak ax3 nazveme kubický člen, bx2 nazveme kvadratický člen, cxlineární člen a dabsolutní člen kubického čtyřčlenu. • Číslo a pak nazveme koeficient u kubického členu, bkoeficient u kvadratického členu a číslo ckoeficient u lineárního členu.

3. Řešení pomocí vytýkání Příklady:

4. Viètovy vztahy • Obecně z Viètových vztahů dostaneme pro rovnici n-tého stupně n rovnic, které vyjadřují závyslost kořenů rovnice, na jejích koeficientech. • Jednoduše je lze odvodit ze vztahu:

5. Viètovy vztahy pro K.R. • Vycházíme tedy ze vztahu: • Pokud chceme získat vztahy, dělíme nenulovým číslem a : • Nyní po roznásobení závorek a porovnání koeficientů u jednotlivích mocnin neznámé x dostáváme:

6. Příklady na V.V. • Pomocí Viètových vztahů se dá řešit spousta problémů s rovnicemi. Například: Najděte alespoň jednu kubickou rovnici, která má kořeny 1,2 a 3. Jeden kořen kubicke rovnice x3 + 4x2 +5x + 2 = 0 je -2, nejděte další kořeny. Víme, že rovnice x3 -15x2 +66x - 80 = 0 má tři přirozené kořeny, takové, že se 1. od 2. a 3. od 2. liší o 3. Najděte tyto kořeny.

7. Cardanovy vzorce • Pro každou rovnici, jejíž stupeň je menší než 4 existují vzorce na výpočet kořenů dané rovnice. Pro kubickou rovnici jsou to Cardanovy vzorce. Cardanovy vzorce jsou však velmi složité, proto uvádím jen jejich nástin. • Z první rovnice jsme se k druhé dostaly zavedením substituce x= t − a / 3, čímž jsme se zbavily kvadratického členu. Poté zavedeme další substituci, tentokrát za t. Poté dostáváme tzv. Trinomickou rovnici, jejiž řešení dostaneme dalším zavedením substituce a to za y.