Numerické řešení diferenciálních rovnic

1. Numerické řešení diferenciálních rovnic Alex Markopoulos

2. motivační příklad - kytarová struna f(x) L0 DL - Struna je předepnuta – natažena o délku DL L - Vestruně vznikne tzv. předepínací síla T, která je po celé délce konstantní • Známe: • materiál, ze kterého je struna vyrobena • zátěž v každém bodě struny (funkce f(x) ) • uchycení (tvz. okrajové podmínky) • Hledáme: • deformaci struny pod zatěžující liniovou silou

3. kytarová struna – rovnice rovnováhy f(x) rovnice rovnováhy v y-ovém směru f(x) x h deformaci popisuje funkce u(x) L T před deformací a(x+h) a(x) po deformaci x h y T x

4. kytarová struna – rovnice rovnováhy rovnice rovnováhy v y-ovém směru f(x) T před deformací a(x+h) a(x) po deformaci x h y T x

5. kytarová struna – rovnice rovnováhy rovnice rovnováhy v y-ovém směru f(x) T před deformací a(x+h) a(x) po deformaci x h y T x

6. kytarová struna – rovnice rovnováhy rovnice rovnováhy v libovolném bodě struny rovnice rovnováhy v y-ovém směru f(x) před deformací a(x+h) a(x) po deformaci x h y x

7. kytarová struna – rovnice rovnováhy rovnice rovnováhy v libovolném bodě struny je diferenciální rovnice druhého řádu přibližný vztah pro druhou derivaci funkce u(x) Můžeme odvodit rovnici rovnováhy a vyřešit problém, i když ještě neznáme derivace ? 

8. kytarová struna – rovnice rovnováhy bez derivací x0 x1 x2 xi-1 xi xi+1 xn-2 xn-1 xn h h h h h h L i-2 i-1 i i+1 i+2 xi-2 xi-1 xi xi+1 xi+2 h h h h • Po délce struny se vloží tzv. uzly sítě. • Uzly jsou rozloženy s konstantním krokem h (konstantní krok není podmínkou).

9. i-2 i-1 i i+1 i+2 xi-2 xi-1 xi xi+1 xi+2 h h h h h/2 h/2 F= h fi T T

10. i-2 i-1 i i+1 i+2 xi-2 xi xi+1 xi+2 xi-1 h h h h h/2 h/2 ui-1 ui ui+1 F= h fi T T

11. i xi h F= h fi T T

12. numerické řešení – metoda sítí x0 x1 x2 xi-1 xi xi+1 xn-2 xn-1 xn h h h h h h L h F= h fi T T

13. numerické řešení – metoda sítí x0 x1 x2 xi-1 xi xi+1 xn-2 xn-1 xn h h h h h h L

14. numerické řešení – metoda sítí n+1 n-1

15. numerické řešení – metoda sítí n-1 + n-1

16. numerické řešení – metoda sítí + matice tuhosti vektor pravé strany +

17. numerické řešení – metoda sítí + • soustavu řešíme • přímými řešiči (Gussova eliminace, ...) • iteračními řešiči (sdružené gradienty, ...)

18. metody rozložení oblasti + x0 x1 x2 xi-1 xi xi+1 xn-2 xn-1 xn h h h h h h L Velikost matice K souvisí s počtem uzlů struny. Počet uzlů může být natolik vysoký, že matici K nebude možné sestavit.

19. metody rozložení oblasti původní struna se rozdělí např. na tři menší části, teprve pro ty se sestavují matice K. x0 x1 x2 xi-1 xi xi+1 xn-2 xn-1 xn x0 x1 x2 xi-1 xi xi+1 xn-2 xn-1 xn x0 x1 x2 xi-1 xi xi+1 xn-2 xn-1 xn h h h h h h h h h h h h h h h L L L

20. metody rozložení oblasti

21. metody rozložení oblasti vnější kroužek klec vnitřní kroužek hřídel síla uchycení

22. děkuji za pozornost