Paradoxa oder warum denken manchmal hilft

1. Paradoxaoder warum denken manchmal hilft Marcus Bleicher Institut für Theoretische Physik Goethe Universität

2. Eschers Würfel

3. Denkfallen… Die Harvard-Medical-School-Studie Wir betrachten einen Test für eine Krankheit, die die Basisrate 1/1000 besitzt - also: Einer unter eintausend Menschen ist krank. Der Test liefert mit der Wahrscheinlichkeit von 5% ein falsches Ergebnis. Insbesondere hat er eine Falsch-positiv-Rate von 5%. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit einem positiven Testergebnis tatsächlich die Krankheit hat? Scheinbare Antwort: Das häufigste Urteil von Professoren, Ärzten und Studenten ist „95%“.

4. Warum? Der folgende Balken möge eintausend Personen repräsentieren. Von den tausend Personen ist (im Durchschnitt) eine wirklich krank. Sie wird durch das dunkle Feld ganz links repräsentiert. Bei etwa 50 Personen ist der Test falsch-positiv. Von den 51 Personen mit positivem Test ist also nur eine wirklich krank, was einem Anteil von weniger als 2% entspricht (Hell/Fiedler/Gigerenzer, 1993).

5. Beweis für 0 = 1 • Wir starten mit einer unendlichen Reihe von Nullen • Dann verwenden wir 0 = 1 − 1 • Jetzt werden die Klammern umgesetzt • Und natürlich gilt: − 1 + 1 = 0 • Die unendliche Menge an Nullen liefert nichts • Q.E.D. Echte Paradoxa • Logisch: Theseus Schiff • Mathematisch: Banach-Tarski-Paradox • BWL: Eisverkäufer-Dilemma • Rechnerisch (0=1?) • Wahlen: negatives Stimmgewicht

6. Hier und heute • Olbers Paradox • Renewal Paradox • Urlauber-Dilemma • Braess Paradox • Simpson Paradox • Benfordsgesetz • Auktionsparadox

7. Olberssches Paradox Grundannahme der Kosmologie: ∄ besondere Stelle im Kosmos Strahlungsstrom eines Sternes ~ 1/r2 Zahl der Sterne in Kugelsphäre mit Radius r und Dicke d: ~ r2 ➔ Summe über alle solchen Sphären divergent. ➔ Nachthimmel ~ Helligkeit der Sonne

8. Olbers II Wenn wir uns an keiner besonderen Stelle im Kosmos befinden und der Kosmos grenzenlos ist, warum ist es nachts dunkel ? ➔ Endliches Alter des Kosmos ➔ Kosmische Rotverschiebung ➔ Grundergebnisse der Kosmologie: • Zeitliche Begrenzung: Urknall (Hintergrundstrahlung) • Expansion des Kosmos: Rotverschiebung

9. Warum hat mein Bus immer Verspätung? • Warum hat der Bus immer Verspätung wenn ich warte, bzw. • Warum ist der Bus gerade jetzt früher gefahren?

10. Erklärung • Betritt man die Strasse zufällig, landet man mit größerer Wahrscheinlichkeit in einem langen Intervall Abfahrtszeiten der Busse Abends Morgens Theoretisch geht es hierbei um die Renewal Theorie (Inspection Paradox)…

11. Urlauberdilemma I Tanja und Markus haben zwar zur gleichen Zeit auf derselben entlegenen Pazifikinsel Urlaub gemacht; aber sie lernen sich erst nach dem Rückflug auf dem heimatlichen Flughafen kennen – im Büro der Schadenersatzabteilung. Die Fluggesellschaft hat nämlich die antiken Vasen zerdeppert, von denen sich jeder der beiden vor Ort ein Exemplar gekauft hatte. Der Sachbearbeiter erkennt ihren Anspruch ohne Weiteres an, kann jedoch beim besten Willen den Wert der Kunstwerke nicht beurteilen. Von einer Befragung der Reisenden verspricht er sich, abgesehen von großen Übertreibungen, herzlich wenig. Nach einigen Überlegungen entschließt er sich deshalb für ein trickreicheres Vorgehen.

12. Urlauberdilemma II Er bittet beide, unabhängig voneinander den Wert der Vase in Euro auf ein Stück Papier zu schreiben, und zwar als ganze Zahl zwischen 2 und 100. Jegliche vorherige Absprache ist selbstverständlich verboten. Was er aber vorher bekannt gibt, ist das Auszahlungsverfahren: Geben beide denselben Wert an, so wird er diesen als den wahren Kaufpreis erachten und ihn an jeden von ihnen auszahlen. Unterscheiden sich die Angaben jedoch, so wird er die niedrigere Preisangabe für wahr und die höhere für einen Betrugsversuch halten. In diesem Fall bekommen beide den niedrigeren Betrag erstattet – allerdings mit einer Abweichung: Derjenige von beiden, der den niedrigeren Wert aufgeschrieben hat, bekommt 2 Euro mehr als Belohnung für Ehrlichkeit, dem anderen wird eine Strafgebühr von 2 Euro abgezogen. Wählt Tanja also zum Beispiel 46, Markus aber 100, so bekommt sie 48 Euro und er nur 44.

13. Urlauberdilemma: Problem • Die erste Wahl ist logischerweise 100, da sich so der meiste Gewinn erzielen lässt. Allerdings kann Spieler A (Markus) seine Auszahlung sogar auf 101 erhöhen, indem er 99 angibt und den Bonus einnimmt. • Tanja, denkt aber genauso und will deshalb nur 98 Euro angeben • Markus, weiss, dass Tanja, weiss….

14. Nash Gleichgewicht • Wenn also beide Spieler ‚vernünftig‘ agieren geben beide 2 Euro an • Dies ist das Nash Gleichgewicht des Problems

15. Braess-Paradox • Warum eine neue Strasse/Brücke/Tunnel den Verkehr ruiniert…

16. Ausgangs-situation Jeder Fahrer versucht den schnellsten Weg von A nach D zu wählen x: Anzahl der Autos in Tausend pro Stunde tAC(x) = tBD(x) = 50 + x  Minuten (Fahrzeit hängt wenig vom Verkehrsaufkommen ab) tAB(x) = tCD(x) = 0 + 10x Minuten (Fahrzeit hängt stark vom Verkehrsaufkommen ab)

17. Nash-Gleichgewicht Angenommen 6000 Tausend Fahrzeuge wollen pro Stunde von A nach D, dann stellt sich folgendes Nash-Gleichgewicht ein tAC(x) = tBD(x) = 50 + x  Minuten (Fahrzeit hängt wenig vom Verkehrsaufkommen ab) tAB(x) = tCD(x) = 0 + 10x Minuten (Fahrzeit hängt stark vom Verkehrsaufkommen ab) 3000 Autos nehmen den Weg oben und die gleiche Anzahl den Weg unten, die jeweilige Fahrzeit beträgt 83 Minuten

18. Mit Tunnel Jeder Fahrer versucht den schnellsten Weg von A nach D zu wählen x: Anzahl der Autos in Tausend pro Stunde Tunnel: tBC(x) = 10 + x Minuten (Fahrzeit hängt wenig vom Verkehrsaufkommen ab) tAC(x) = tBD(x) = 50 + x  Minuten (Fahrzeit hängt wenig vom Verkehrsaufkommen ab) tAB(x) = tCD(x) = 0 + 10x Minuten (Fahrzeit hängt stark vom Verkehrsaufkommen ab)

19. Nash-Gleichgewicht Angenommen 6000 Tausend Fahrzeuge wollen pro Stunde von A nach D, dann stellt sich folgendes Nash-Gleichgewicht ein (jetzt mit neuem Tunnel) tAC(x) = tBD(x) = 50 + x  Minuten (Fahrzeit hängt wenig vom Verkehrsaufkommen ab) tAB(x) = tCD(x) = 0 + 10x Minuten (Fahrzeit hängt stark vom Verkehrsaufkommen ab) tBC(x) = 10 + x  Minuten (Fahrzeit hängt wenig vom Verkehrsaufkommen ab) 2000 Autos nehmen den Weg Autobahn (oben)+Landstraße2000 Autos nehmen den Weg Autobahn (unten)+Landstraße2000 Autos nehmen den Weg Landstrasse + Tunnel+ Landstraße die jeweilige Fahrzeit beträgt auf jedem Weg 92 Minuten

20. Lösung • Alle ignorieren die neue Strecke und die Fahrzeit ist für jeden wieder 83 Minuten • …außer für die, die dann in 70 Minuten den leeren Tunnel nehmen ;-) …

21. Gibt’s das im echten Leben? • Stuttgart 1969: nach großen Investitionen ins Straßennetz rund um den Schlossplatz kam der Verkehrsfluss ins Stocken. Die Situation besserte sich, nachdem ein Teil der Königsstraße zur Fußgängerzone erklärt wurde. • New York 1990: als die 42. Straße zeitweise gesperrt wurde staute sich der Verkehr in der näheren Umgebung plötzlich spürbar weniger als sonst. • Noch wichtiger: Selfish routing im Internet!

22. Simpsons Paradox I • Welchen Baseballstar würden Sie heuern?

23. Simpsons Paradox II In der Tabelle der Sterblichkeit aufgrund von Tuberkulose in New York und Richmond aus dem Jahre 1910 begegnet uns das Simpsonsche Paradoxon (Székely, 1990) : Widerspruch: Bist du weiß, gehe nach Richmond. Bist du farbig, gehe ebenfalls nach Richmond. Bist du weiß oder farbig, dann bleibe in New York.

24. Benfords Gesetz • google game… • 20 beliebige Begriffe • Falls die erste Ziffer der Google hits1,2,3 ist gewinne ich, falls sie4,5,6,7,8,9 ist gewinnen Sie! Ergebnisse 1 - 10 von ungefähr 288.000.000 für mike. (0,14 Sekunden) 

25. Benfords Gesetz • Anfangsziffern sind nicht gleichverteilt • Wenn die Verteilung breit genug ist! P(d) = log((d + 1)/d) http://www.mathematikundschule.de/Facharbeit/Roth/Facharbeit_Roth.pdf

26. Auktionsparadox: Warum der (schlaue) Physiker immer gewinnt…;-) • Meßprozesse liefern immer Gauss-Verteilungen als Ergebnis • Der korrekte Meßwert ist2.00 Euro • Aber Gauss ist auf Seite des Verkaeufers…