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Monotonía y curvatura

TVM(x,h). -TVM(x,h). h. f(x+h). h. ] b. ] b. [ a. [ a. x. x+h. x. x+h. Monotonía y curvatura. Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo. f(x). f(x+h). f(x). Función creciente en [a, b]. Función decreciente en [a, b]. f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0.

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Monotonía y curvatura

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Presentation Transcript

  1. TVM(x,h) -TVM(x,h) h f(x+h) h ] b ] b [ a [ a x x+h x x+h Monotonía y curvatura Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo f(x) f(x+h) f(x) Función creciente en [a, b] Función decreciente en [a, b] f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0 f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0 TVM(x, h) > 0 (x, x+h) y h >0 TVM(x, h) < 0 (x, x+h) y h >0 IMAGEN FINAL

  2. a a ] b ] b [ a [ a x x Monotonía y curvatura Derivadas y monotonía Función creciente en [a, b] Función decreciente en [a, b] f '(x) = tg a < 0 x [a, b] f '(x) = tg a > 0 x [a, b] IMAGEN FINAL

  3. 2x Intervalos de monotonía de y = 1 + x2 2(1 - x)(1 + x) 2(1 - x)(1 + x) = 0 x = 1  y ' = 1 + x2 1 + x2 Siempre positivo -1 1 y’ < 0 y’ < 0 y’ > 0 Monotonía y curvatura Ejemplo ; IMAGEN FINAL

  4. ] b [ a ] b ] b ] b [ a [ a [ a Monotonía y curvatura Curvatura: convexidad y concavidad Tasa de variación media positiva y creciente: función convexa Tasa de variación media negativa y creciente: función convexa Tasa de variación media negativa y decreciente: función cóncava Tasa de variación media positiva y decreciente: función cóncava IMAGEN FINAL

  5. a1 a2 a2 a1 [ a [ a ] b ] b x1 x2 x1 x2 Monotonía y curvatura Derivadas y curvatura: convexidad tg a1 < tg a2 f '(x1) < f '(x2) Las pendientes de las tangentes aumentan  f ' es creciente  f " > 0  función convexa IMAGEN FINAL

  6. a2 a1 a2 a1 ] b [ a x1 x2 x1 x2 ] b [ a Monotonía y curvatura Derivadas y curvatura: concavidad tg a1 > tg a2 f '(x1) > f '(x2) Las pendientes de las tangentes disminuyen  f ' es decreciente  f " < 0  función cóncava IMAGEN FINAL

  7. f" < 0 f" > 0 Monotonía y curvatura Puntos de inflexión P(a, f(a)) f"(a) = 0 IMAGEN FINAL

  8. f " (b) < 0 f ' (b) = 0 a f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0 b f ' (a) = 0 f " (a) > 0 Monotonía y curvatura Puntos extremos: máximos y mínimos relativos máximo relativo de coordenadas (b, f(b)) mínimo relativo de coordenadas (a, f(a)) IMAGEN FINAL

  9. Costa 10 km. Monotonía y curvatura Máximos y mínimos (I) B A 7 km. 3 km. Llegar desde A hasta B, tocando en la costa y recorriendo la menor distancia posible IMAGEN FINAL

  10. B A 7 km. 10 - X X 3 km. mínima distancia entre A' y B = mínima distancia entre A y B = = ACB 10 km. 3 x 7 A' 10 -x Monotonía y curvatura Máximos y mínimos (II) C  x = 3 = ¿Se podrían hacer utilizando las derivadas? IMAGEN FINAL

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