1 / 79

Barisan

Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisan Barisan Monoton. Barisan. Barisan Tak Hingga. Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan −bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli.

fai
Download Presentation

Barisan

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisan Barisan Monoton Barisan Matematika Teknik 2 Pu 1324

  2. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Barisan Tak Hingga • Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan −bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli. • Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam bentuk a1,a2,…,an. a1 menyatakan suku ke–1, a2 menyatakan suku ke–2 dan an menyatakan suku ke–n. • Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah

  3. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Barisan Tak Hingga Contoh − contoh barisan • Barisan • Bisa dituliskan dengan rumus • Barisan • Bisa dituliskan dengan rumus • Penentuan an tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba –coba.

  4. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Kekonvergenan barisan tak hingga • Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila • atau • { untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara dan L akan kurang epsilon}

  5. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Kekonvergenan barisan tak hingga • Contoh 1 • Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut • Jawaban • Karena • maka divergen

  6. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Kekonvergenan barisan tak hingga • Contoh 2 • Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut • Jawaban • Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk menyelesaikannya digunakan teorema berikut : • Misal ,bila maka • untuk x  R.

  7. Kekonvergenan barisan tak hingga • Jawaban (lanjutan) • Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka • Berdasarkan teorema maka . • Karena nilai limitnya menuju 0, maka • Konvergen menuju 0. Matematika Teknik 2 Pu 1324

  8. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Kekonvergenan barisan tak hingga • Contoh 3 • Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut • Jawaban • Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda akibat dari nilai cos n, untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap tandanya +. Nilai tidak ada tetapi minimal bernilai –1 dan maksimal bernilai 1. Sedangkan akibatnya untuk n nilai , akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0.

  9. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Sifat – sifat barisan • Misal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu konstanta, maka • 1. • 2. • 3. • 4. • 5.

  10. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Barisan Monoton • Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan menjadi 4 macam : • 1. Monoton naik bila • 2. Monoton turun bila • 3. Monoton tidak turun bila • 4. Monoton tidak naik bila

  11. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Deret Tak Hingga • Deret tak hingga merupakan jumlahan dari yaitu a1+a2+…+an . Notasi deret tak hingga adalah . • Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan barisan jumlahan parsial yaitu , ,dimana : • Dan

  12. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Deret Tak Hingga • Contoh • Selidiki apakah deret konvergen ? • Jawaban • Karena , maka adalah deret konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba.

  13. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Deret Suku Positif • Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku-sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang sering digunakan : • Deret geometri • Deret harmonis • Deret-p • Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral

  14. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Deret Suku Positif • Deret geometri • Bentuk umum : • Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut : • Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga . untuk r  1. Kekonvergenan dari deret geometri bergantung pada nilai r.

  15. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Deret Suku Positif • Deret geometri(lanjutan) • Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret geometri : • Bila r = 1, maka Sn= na sehingga , sehingga deret divergen • Bila | r |<1, maka , sehingga deret konvergen ke • Bila | r | >1, maka , sehingga deret divergen

  16. Deret Suku Positif • Deret harmonis • Bentuk umum : • Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari Sn nya, yaitu Matematika Teknik 2 Pu 1324

  17. Deret Suku Positif • Deret harmonis (lanjutan) • Karena, maka . Sehingga deret harmonis divergen. Matematika Teknik 2 Pu 1324

  18. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Kedivergenan Deret Tak Hingga • Bila deret konvergen, maka . kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah • Bila ,maka deret akan divergen. • Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol, maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.

  19. Kedivergenan Deret Tak Hingga • Contoh • Periksa apakah konvergen ? • Jawaban • Jadi divergen Matematika Teknik 2 Pu 1324

  20. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Uji Deret Positif • Uji integral • Uji Banding • Uji Banding limit • Uji Rasio • Uji Akar

  21. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Uji Deret Positif Uji integral • Misal merupakan deret suku positif dan monoton turun, dimana , maka integral tak wajar dari f(x) adalah . • Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak ada, maka deret divergen. • Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret konvergen.

  22. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Deret Suku Positif • Contoh 1: Uji Integral Deret–p • Bentuk umum : • Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga merupakan deret–p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu • Misal maka . • Selanjutnya nilai f(x)tersebut di integralkan dengan batas 1 sampai .

  23. Deret Suku Positif • Deret–p (lanjutan) • Integral tak wajar dari f(x) adalah • Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen. Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga akan divergen. Matematika Teknik 2 Pu 1324

  24. Deret Suku Positif • Deret–p (lanjutan) • Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut : • Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen • Bila 0p<1, maka ,sehingga deret divergen • Bila p>1, maka , • sehingga deret konvergen. Matematika Teknik 2 Pu 1324

  25. Uji Deret Positif Contoh 2 • Tentukan kekonvergenan deret • Jawaban • Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji integral yaitu : • Misal , maka • Perhitungan integral tak wajar : Matematika Teknik 2 Pu 1324

  26. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Uji Deret Positif Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga divergen.

  27. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Uji Deret Positif Uji Banding • Bila untuk n  N, berlaku bn  an maka • Bila konvergen, maka juga konvergen • Bila divergen, maka juga divergen • Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan suatu deret, bila menggunakan sifat a maka deret pembandingnya adalah yang bersifat konvergen. • Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret pembandingnya adalah yang bersifat divergen.

  28. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Uji Deret Positif • Contoh 1 • Uji kekonvergenan • Jawaban • Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih yang paling mirip dengan deret yang akan diuji. • Dapat dipilh sebagai deret pembanding. • Karena dan merupakan deret • p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen

  29. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Uji Deret Positif • Contoh 2 • Uji kekonvergenan • Jawaban • Dengan uji banding, digunakan deret pembanding , dimana . Karena merupakan deret konvergen, maka juga konvergen.

  30. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Uji Deret Positif • Contoh 3 • Uji kekonvergenan • Jawaban • Karena untuk , maka deret pembanding yang digunakan adalah .Karena dan • merupakan deret konvergen, maka juga konvergen

  31. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Uji Deret Positif Uji Banding Limit • Misal dan , merupakan deret suku positif dan , berlaku • Bila 0 < L <  , maka kedua deret bersama-sama konvergen atau bersama-sama divergen • Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka . juga konvergen • Bila L =  dan adalah deret divergen maka . juga divergen

  32. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Uji Deret Positif • Contoh 1 • Uji kekonvergenan deret • Jawaban • Deret pembanding yang digunakan adalah dan diketahui sebagai deret divergen ( sebagai ). • Karena . dan deret pembandingnya divergen, maka . juga divergen.

  33. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Uji Deret Positif • Contoh 2 • Uji kekonvergenan deret • Jawaban • Deret pembanding yang digunakan adalah dan diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis). • Karena . dan deret pembandingnya divergen, maka kedua deret bersama-sama divergen .

  34. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Uji Deret Positif • Uji Rasio • Misal merupakan deret suku positif dan maka berlaku • Bila <1, maka deret konvergen • Bila >1, maka deret divergen • Bila =1, maka uji gagal

  35. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Uji Deret Positif • Contoh • Uji kekonvergenan deret • Jawaban • Dengan uji rasio diperoleh • Karena  = 0 < 1 , maka konvergen.

  36. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Uji Deret Positif • Uji Akar • Misal merupakan deret suku positif dan , maka berlaku • Bila r < 1, maka deret konvergen • Bila r > 1, maka deret divergen • Bila r = 1, maka uji gagal

  37. Uji Deret Positif • Contoh • Uji kekonvergenan deret • Jawaban • Dengan uji akar diperoleh • Karena , maka konvergen. Matematika Teknik 2 Pu 1324

  38. Uji Deret Positif • Panduan Pemilihan uji deret Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka dapat dipilih uji banding atau uji banding limit Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku – sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral Matematika Teknik 2 Pu 1324

  39. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Deret Ganti Tanda • Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk . dengan an> 0 untuk semua n dilakukan uji tersendiri. • Notasi deret ganti tanda adalah . atau . • Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila • a. (monoton tak naik) b.

  40. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Deret Ganti Tanda • Contoh • Tentukan kekonvergenan deret • Jawaban • merupakan deret ganti tanda • dengan rumus suku ke–nnya adalah . • Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut : • . • Nilai

  41. Deret Ganti Tanda • a. • Karena jadi {an} adalah monoton tak naik. • b. • Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen. Matematika Teknik 2 Pu 1324

  42. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat • Deret dikatakan konvergen mutlak, bila deret mutlak konvergen (suku an bisa berupa suku positif atau tidak). • Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila divergen, maka . juga divergen. • Kovergen bersyarat terjadi bila konvergen tetapi divergen.

  43. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat • Contoh 1 • Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ? • Jawaban • Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji banding, dimana deret pembandingnya adalah maka diperoleh bahwa untuk semua nilai n. • Karena merupakan deret konvergen, maka juga konvergen. Sehingga konvergen mutlak.

  44. Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat • Contoh 2 • Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ? • Jawaban • Deret mutlaknya adalah . • Dengan uji rasio diperoleh . • Karena =0<1, maka konvergen. • Sehingga konvergen mutlak. Matematika Teknik 2 Pu 1324

  45. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat • Contoh 3 • Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ? • Jawaban • Deret mutlaknya adalah yang merupakan deret divergen. • Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda • a. (monoton tak naik) • Diperoleh bahwa benar • b. Jadi deret ganti tandanya konvergen. • Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret mutlaknya divergen maka konvergen bersyarat .

  46. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Uji rasio untuk kekonvergenan mutlak • Misal deret dengan suku tak nol dan , tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah : • Bila r<1, maka konvergen mutlak • Bila r>1, maka divergen • Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan) • Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .

  47. Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat • Contoh 1 • Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen? • Jawaban • Dengan uji rasio mutlak diperoleh : • Karena , maka konvergen mutlak. Matematika Teknik 2 Pu 1324

  48. Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat • Contoh 2 • Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen? • Jawaban • Dengan uji rasio mutlak diperoleh : • Karena r > 1, maka divergen . Matematika Teknik 2 Pu 1324

  49. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Deret Pangkat Bentuk umum : • Contoh deret pangkat • 1. • 2. • 3.

  50. Matematika Teknik 2 Pu 1324 Deret Pangkat • Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel, yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkan nilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak, yaitu pada saat r < 1. • Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret • maupun disebut interval kekonvergenan. • Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing – masing deret.

More Related