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LÓGICA MATEMÁTICA

LÓGICA MATEMÁTICA. Moisés Villena. LÓGICA MATEMÁTICA. Enunciado al que se lo puede calificar o bien como Verdadero o bien como Falso. PROPOSICION. NOTACIÓN:. Primeras letras del abecedario en minúscula. Ejemplos:. a :. " Hoy es Lunes ". b :. " Estoy en la clase de Física ".

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LÓGICA MATEMÁTICA

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Presentation Transcript

  1. LÓGICA MATEMÁTICA Moisés Villena

  2. LÓGICA MATEMÁTICA Enunciado al que se lo puede calificar o bien como Verdadero o bien como Falso. PROPOSICION NOTACIÓN: Primeras letras del abecedario en minúscula Ejemplos: a: "Hoy es Lunes" b: "Estoy en la clase de Física" Moisés Villena

  3. LÓGICA MATEMÁTICA • ¡Ojala deje de llover! • ¿Hiciste el deber de Matemáticas? • NO PROPOSICIONES • Siéntate y quédate quieto. VALOR DE VERDAD Cualidad de una proposición de ser verdadera o de ser falsa. Verdadero: 1 Falso: 0 Moisés Villena

  4. LÓGICA MATEMÁTICA NEGACIÓN • No Lenguaje Relacionado • No es verdad que • No es cierto que OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOS Símbolo : Tabla de verdad Ejemplos : "Hoy no es Lunes " 1 0 :“ NoEstoy en la clase de Física" 0 1 Moisés Villena

  5. LÓGICA MATEMÁTICA OPERADORES LÓGICOS CONJUNCIÓN Lenguaje Relacionado “pero” “y” Símbolo: Ejemplo Tabla de verdad : "Tengo un lápiz" 1 1 1 : "Tengo un cuaderno" 1 0 0 : "Tengo un lápiz y un cuaderno " 0 1 0 0 0 0 Moisés Villena

  6. LÓGICA MATEMÁTICA OPERADORES LÓGICOS DISYUNCION INCLUSIVA Lenguaje Relacionado “O” Símbolo: Ejemplo Tabla de verdad : "Tengo un lápiz" : "Tengo un cuaderno " 1 1 1 : "Tengo un lápiz o un cuaderno " 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Moisés Villena

  7. LÓGICA MATEMÁTICA OPERADORES LÓGICOS DISYUNCION EXCLUSIVA “0……o.…..” Lenguaje Relacionado “o bien……o bien…..” Símbolo: Significa: Ejemplo Tabla de verdad : “Daniel está en España " 1 1 0 : “Daniel está en Italia" 1 0 1 0 1 1 : “Daniel está en España o en Italia" 0 0 0 Moisés Villena

  8. LÓGICA MATEMÁTICA OPERADORES LÓGICOS ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) Lenguaje Relacionado “Si…..entonces.….” Símbolo: Ejemplo : “Apruebas el preuniversitario" : “Te regalaré un carro" : “Si apruebas el preuniversitario entonces te regalaré un carro" Tabla de verdad 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Moisés Villena

  9. LÓGICA MATEMÁTICA OPERADORES LÓGICOS ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) Antecedente Hipótesis Premisa Consecuente Tesis Conclusión. OTROS LENGUAJES RELACIONADOS: • aimplica b • bcada vez que a • Basta a para b • b siempre que a • a sólo si b • bpuesto que a • a solamente si b • bporque a • bsia • bcon la condición de que a Moisés Villena

  10. LÓGICA MATEMÁTICA OPERADORES LÓGICOS ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) Condición Necesaria y Condición Suficiente verdadera “aes condición suficiente para b” “bes condición necesaria para a” Ejemplo: "Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2" 1. “La divisibilidad para 4 es condición suficiente para la divisibilidad para 2" “Es suficiente que un número sea divisible para 4 para que se divisible para 2" 2. “La divisibilidad para 2 es condición necesaria para la divisibilidad para 4" “Es necesario que un número sea divisible para 2 para que se divisible para 4" Moisés Villena

  11. LÓGICA MATEMÁTICA OPERADORES LÓGICOS ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) VARIACIONES LA RECÍPROCA: LA INVERSA: LA CONTRARRECÍPROCA: Ejemplo: “Iré a trabajar si me pagan” Si me pagan entonces iré a trabajar Si voy a trabajar entonces me pagan LA RECÍPROCA: LA INVERSA: Si no me pagan entonces no iré a trabajar Si no voy a trabajar entonces no me pagan LA CONTRARRECÍPROCA: Moisés Villena

  12. LÓGICA MATEMÁTICA OPERADORES LÓGICOS ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) VARIACIONES Importante Condicional: "Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2" RECÍPROCA: "Si un número es divisible para 2 entonces es divisible para 4" Falso Contraejemplo: “6 es divisible para 2, pero no es divisible para 4" Moisés Villena

  13. LÓGICA MATEMÁTICA OPERADORES LÓGICOS BICONDICIONAL Lenguaje Relacionado “…..si y sólo si.….” Símbolo: Significa: TABLA DE VERDAD 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Ejemplo: : “Un triángulo es equilátero” : “Un triángulo tiene sus ángulo de igual medida” : “Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus ángulos de igual medida” Moisés Villena

  14. LÓGICA MATEMÁTICA PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Simples: No poseen operador lógico Formadas por varias proposiciones y operadores lógicos Compuestas: El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de sus proposiciones simples. Ejemplo: Suponga que: Moisés Villena

  15. LÓGICA MATEMÁTICA PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Ejemplo: Determine el valor de verdad de las proposiciones simples sabiendo que el valor de verdad de la proposición compuesta es VERDADERO. Moisés Villena

  16. LÓGICA MATEMÁTICA FORMAS PROPOSICIONALES Expresión constituida por símbolos que representan o conectores lógicos o variables proposicionales. Ejemplo Moisés Villena

  17. LÓGICA MATEMÁTICA FORMAS PROPOSICIONALES TAUTOLOGÍA Si se obtienen sólo proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales Ejemplo CONTRADICCION: Si se obtienen sólo proposiciones falsas Si se obtienen proposiciones verdaderas y otras falsas. CONTINGENCIA: Moisés Villena

  18. LÓGICA MATEMÁTICA IMPLICACIONES LÓGICAS Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A implica lógicamente a B si y sólo si es una tautología. En este caso se escribe: Ejemplo Moisés Villena

  19. LÓGICA MATEMÁTICA IMPLICACIONES LÓGICAS Algunas implicaciones lógicas típicas son: Adición Simplificación Modus Ponens Modus Tollens Silogismo Disyuntivo Silogismo Hipotético Moisés Villena

  20. LÓGICA MATEMÁTICA EQUIVALENCIAS LÓGICAS Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A es lógicamente equivalente a B si y sólo si es una tautología. En este caso se escribe: También: Ejemplo Moisés Villena

  21. LÓGICA MATEMÁTICA ALGEBRA DE PROPOSICIONES Conmutativa Asociativa Idempotencia Identidad Absorción Moisés Villena

  22. LÓGICA MATEMÁTICA ALGEBRA DE PROPOSICIONES Otras: Leyes distributivas Doble negación Leyes de De Morgan Contrarrecíproca Implicación Moisés Villena

  23. LÓGICA MATEMÁTICA ALGEBRA DE PROPOSICIONES Otras: Ley del tercer excluido Ley de la contradicción Ley de exportación Reducción al absurdo Moisés Villena

  24. LÓGICA MATEMÁTICA EJEMPLO Demostrar: Solución: Identidad Contradicción Distributivas Idempotencia Distributivas Contradicción Identidad Moisés Villena

  25. LÓGICA MATEMÁTICA Sea la proposición: EJEMPLO “Si tú eres inteligente y no resuelves el problema entonces desconoces la materia ” Siendo: m: Tú eres inteligente n: Tú resuelves el problema p: Tú desconoces la materia Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN: Solución: a) b) Primero: Traducción: c) Segundo: Transformamos empleando el álgebra de proposiciones: d) e) Implicación Ley de De Morgan Asociativa de la disyunción Implicación Moisés Villena

  26. LÓGICA MATEMÁTICA Sea la proposición: EJEMPLO “Hoy es jueves y tengo que dar un examen, pero si hay huelga, entonces no voy a la Universidad” a: Hoy es jueves Siendo: b: Tengo que dar un examen c: Hay huelga d: Me voy a la Universidad Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN: Solución: a) b) Primero: Traducción: c) Segundo: Transformamos : d) Contrarrecíproca e) Doble Negación Conmutativa Moisés Villena

  27. LÓGICA MATEMÁTICA RAZONAMIENTOS VALIDEZ Un razonamiento es VÁLIDO cuando la forma proposicional que se obtiene de la proposición compuesta que lo define, es tautológica. Moisés Villena

  28. LÓGICA MATEMÁTICA RAZONAMIENTOS EJEMPLO 1 "Si aumenta la producción, aumentan los ingresos; si aumentan los ingresos, se recupera la inversión. Por lo tanto, si aumenta la producción ,se recupera la inversión" SOLUCIÓN: a: Aumenta la producción b: Aumentan los ingresos c: Se recupera la inversión Traducción: Forma proposicional: Moisés Villena

  29. LÓGICA MATEMÁTICA RAZONAMIENTOS EJEMPLO 1 PRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalencias Implicación De Morgan De Morgan Asociativa Distributiva Del Tercero excluido Identidad para la conjunción Asociativa Del Tercero excluido Absorción para la disyunción Moisés Villena

  30. LÓGICA MATEMÁTICA RAZONAMIENTOS EJEMPLO 1 Segundo Método: Reducción al Absurdo VALIDO Moisés Villena

  31. LÓGICA MATEMÁTICA RAZONAMIENTOS EJEMPLO 2 "Si soy estudioso , aprobaré el curso ; si soy fiestero, no aprobaré el curso. Por lo tanto, no puedo ser estudioso y fiestero al mismo tiempo" a: Soy estudioso Solución: b: Aprobaré el curso c: Soy fiestero Traducción: Forma proposicional: Moisés Villena

  32. LÓGICA MATEMÁTICA RAZONAMIENTOS PRIMER MÉTODO: Aplicando leyes de Equivalencias Implicación De Morgan EJEMPLO 2 De Morgan Doble negación Asociativa Distributiva Del tercero excluido Identidad para la conjunción Asociativa Del tercero excluido Absorción para la disyunción Moisés Villena

  33. LÓGICA MATEMÁTICA RAZONAMIENTOS Segundo Método: Reducción al Absurdo EJEMPLO 2 VALIDO Moisés Villena

  34. LÓGICA MATEMÁTICA RAZONAMIENTOS EJEMPLO 3 La Lógica es difícil o no les gusta a muchos estudiantes.Si la Matemática es fácil, entonces la Lógica no es difícil.Por lo tanto, la Lógica es difícil. Solución: a: La lógica es difícil b: La lógica les gusta a muchos estudiantes c: La Matemática es fácil. NO VALIDO Moisés Villena

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