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Mathematische Modellierung am Beispiel verschiedener Fallstudien

Mathematische Modellierung am Beispiel verschiedener Fallstudien. Seminar Angewandte Mathematik für LAK Professor Schmitt Maria Hutsteiner, Kerstin Kranz . Überblick. Was ist Modellierung? Fallbeispiele: 1. Müllabfuhr – Optimierungsproblem 2. Rettungshubschrauber – Standortbestimmung

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Mathematische Modellierung am Beispiel verschiedener Fallstudien

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  1. Mathematische Modellierung am Beispiel verschiedener Fallstudien Seminar Angewandte Mathematik für LAK Professor Schmitt Maria Hutsteiner, Kerstin Kranz

  2. Überblick • Was ist Modellierung? • Fallbeispiele: • 1. Müllabfuhr – Optimierungsproblem • 2. Rettungshubschrauber – Standortbestimmung • Zusammenfassung

  3. Modellbildung Analyse Simulation Überprüfung Interpretation Modellierung Reales Problem Mathematisches Problem Reale Lösung Mathematische Lösung

  4. Müll MüllMüll • Stadtreinigungen entsorgten 2007: • Hamburg: ~754000 t, 587 kg pro Einwohner, 2066 t täglich • Österreich: ~430 kg pro Einwohner • Optimale Route: Spart Treibstoff, Zeit Geld • Mei Go Guan „Chinesisches- Postboten-Problem“

  5. Routenplanung -Müllabfuhr • Optimierungskriterien: • Sackgasse • Einbahnstraße • jede Straße mind. einmal abfahren • Anfangspunkt = Endpunkt

  6. Modellierung- Graphentheorie • aus Straßennetz Graph erstellen • Graph: Ein Graph besteht aus einer Menge von Knoten, Kanten und einer Zuordnung, die jeder Kante ein Knotenpaar zuweist (Knoten sind Endpunkte der Kante) • Grad: Anzahl der Kantenenden an einen Knoten

  7. Modellierung- Graphentheorie • Straßen gerade Kanten • Kreuzungen, Ende Sackgasse Knoten • Kantengewichte (verschiedene Parameter wie z.B. Weglänge, Durchfahrtszeit usw.)

  8. Eulergraphen- Eulertouren • Eulerweg: Ein Weg, der durch jede Kante eines zusammenhängenden Graphen genau einmal führt, heißt Eulerweg • Eulergraph: Ein Graph, der eine Eulertour enthält, heißt Eulergraph • Eulertour:Eulerweg mit gleichem Start-und Zielpunkt • Algorithmen: • Zwiebelschalen- Algorithmus (Hierholzer-Algorithmus) • Fleurys Algorithmus

  9. Zwiebelschalen-Algorithmus • 1. Schritt: Wähle einen Startknoten • 2. Schritt: Gehe auf unmarkierten Kanten und markiere diese • Falls alle markiert Schritt 3 • Falls nicht, suche neuen Startknoten, wiederhole Schritt 2

  10. 3. Schritt: Gehe entlang des ersten Kreises bis er einen weiteren berührt; gehe weiter auf dem neuen bis dieser wieder einen weiteren berührt usw. • Gehe den zuletzt begonnenen zu Ende, dann den vorhergehenden, usw. bis alle Kanten besucht wurden

  11. Fleurys- Algorithmus • Brücke: Kante in einem Graphen, bei deren Wegnahme der Graph in zwei Komponenten zerfallen würde • 1. Schritt: beginne mit beliebiger Kante

  12. 2. Schritt: wähle nächste Kante so, dass sie im Restgraphen keine Brücke bildet … grün = Brücke

  13. Ungerade Knoten • Knoten besitz ungeraden Grad • Bsp. 2 ungerade Knotengrade • Mehr als 2 ungerade Knotengrade: • Anzahl gerade: wie oben • Anzahl ungerade: ????

  14. Ungerade Knoten • Satz: In jedem Graphen ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade. • Satz: Die Summe aller Knotengrade eines Graphen = doppelte Anzahl der Kanten, (da jede Kante die Summe aller Knotengrade genau um 2 erhöht (Anfangs- und Endknoten)) aus jedem Graph lässt sich Eulergraph entwickeln

  15. The perfectmatch • Matching: Teilgraph, in dem alle Knoten höchstens Grad 1 haben • Minimal: Summe der Kantengewichte ≤ Summe der Kantengewichte bei jedem anderen Matching, das diese Knoten verbindet • Perfektes Matching: nur Knoten vom Grad 1, alle Knoten sind zu Paaren verbunden

  16. STANDORTWAHL FÜR RETTUNGSHUBSCHRAUBER AUSGANGSPROBLEM: Ein Rettungshubschrauber soll mehrere Einsatzgebiete optimal versorgen.  Was heißt „optimal“? BEISPIEL: gleichmäßig schnelle Versorgung der Unfallopfer

  17. BSP.: Gleichmäßig schnelle Versorgung Vereinfachte Modellannahmen: Modellieren Einsatzgebiete sowie Hubschrauberstandort als Punkte in der Ebene Flugzeit zw. A und B – proportional zur Länge der geraden Strecke zw. A und B Es wird nur die Zeit bis zur Erstversorgung des Unfallopfers berücksichtigt Unfallhäufigkeit ebenfalls nicht berücksichtigt

  18. BSP.: Gleichmäßig schnelle Versorgung Wenn wir annehmen, dass M Einsatzorte Ex1(a11 | a12), Ex2(a21 | a22),..., ExM(aM1 | aM2) zu beachten sind und X(x1 | x2) irgendein Standort für den Hubschrauber ist, so ist für m = 1,…, M die Euklidische Entfernung zwischen dem m-ten Standort Exm(am1 | am2) und X

  19. BSP.: Gleichmäßig schnelle Versorgung CENTER ZIELFUNKTION CENTER STANDORTPROBLEM

  20. Ex2(-1,5 | 10) X(1 | 8) Ex1(3,5 | 6) ZWEI EINSATZORTE:  Mittelpunkt der Strecke zw. den beiden Einsatzorten 10 8 6 4 2 -4 2 4 -2 6 10 8

  21. In der (gelben) Kreisscheibe um Ex1 mit Radius r* hat jeder Punkt X außer X* eine Entfernung von Ex2, die größer als r* ist. Analog hat jeder Punkt X außer X* in der (grünen) Kreisscheibe um Ex2 mit Radius r* eine Entfernung von Ex1, die größer als r* ist. Außerhalb der beiden Kreisscheiben ist die Entfernung sowohl von Ex1 als auch von Ex2 größer als r*. 4 3 r* r* 2 Ex2(5 | 2) Ex1(1 | 2) X*(3 | 2) 1 1 2 3 4 5

  22. Ex2(5 | 9) X(3 | 4) Ex1(-2 | 2) Ex3(-5 | -1) DREI EINSATZORTE – FALL1:(Spitzwinkeliges Dreieck)  Umkreismittelpunkt 10 8 6 4 2 -4 2 4 -2 6 10 8 -2

  23. X*(4 | 2) Ex2(2 | 6) 6 4 2 Ex3(8 | 0) 2 4 6 8 10 -2 Ex1(2 | -2) Der einzige Punkt mit Euklidischer Entfernung kleiner oder gleich r* zu allen drei existierenden Standorten ist X*.

  24. Ex2(1 | 3) Ex1(-5 | 3) XM(0 | 1) XU(-2 | -4) Ex3(5 | -1) FALL2:(Stumpfwink. Dreieck) 6 4 2 -8 -4 2 4 -6 -2 6 -2 -4 -6

  25. FALL2:(Stumpfwink. Dreieck) Seien Ex1 und Ex2 die Endpunkte der längsten Seite und X* der Mittelpunkt dieser Seite. Dann gilt für jeden Standort X, der von X* verschieden ist:

  26. FALL 3 (?) – rechtwinkeliges Dreieck

  27. SATZ:

  28. MEHR ALS DREI EINSATZORTE: Lösung durch Probieren?

  29. Ex4(4 | 15) X1(4 | 5) Ex3(7 | 13) Ex1(0 | 0) Ex2(9 | -2) 14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 10 8 -2

  30. Ex4(4 | 15) Ex3(7 | 13) Ex1(0 | 0) Ex2(9 | -2) 14 12 10 8 6 X2(5 | 4) 4 2 2 4 6 10 8 -2

  31. Ex4(4 | 15) Ex3(7 | 13) Ex1(0 | 0) Ex2(9 | -2) 14 12 10 8 6 X3(5 | 5) 4 2 2 4 6 10 8 -2

  32. Ex4(4 | 15) X1(4 | 5) Ex3(7 | 13) Ex1(0 | 0) Ex2(9 | -2) 14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 10 8 -2

  33. MEHR ALS DREI EINSATZORTE: Zurückführung auf das Problem mit zwei oder drei Einsatzorten Für alle Paare und Tripel in der Menge Ex mache das folgende: Schritt 1: Bestimme den optimalen Center Standort X‘ und den optimalen Zielfunktionswert r‘ für das Center Standortproblem mit zwei bzw. drei Einsatzorten. Schritt 2: Bestimme den Kreis mit Radius r‘ um X‘. Falls die entsprechende Kreisscheibe alle Punkte in Ex enthält, ist X‘=X* und r‘=r* (X*... Optimaler Center Standort, r*... Optimaler Center Zielfunktionswert)

  34. 15 12 9 Ex2(14 | 7) r* ≈ 15,8 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 X*(3 | -1) -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  35. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  36. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  37. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  38. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  39. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  40. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  41. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) > 90° 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  42. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  43. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 > 90° Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  44. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  45. 15 12 9 Ex2(14 | 7) r* ≈ 15,8 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 X*(3 | -1) -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  46. Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE Intuitive Lösungsfindung w1, w2 ... Unfallhäufigkeiten in Ex1 u. Ex2 Bsp.: w1< w2 , etwa w1=1, w2=2 - Hubschrauber wird näher an Ex2 heranrücken Ex2 Ex1  Schwerpunkt

  47. Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE Zielfunktion und Optimierung

  48. Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE Zielfunktion und Optimierung

  49. Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE Zielfunktion und Optimierung Minimierung der Zielfunktion führt zur Lösung:  Schwerpunkt

  50. Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit EIN HUBSCHRAUBER – N EINSATZORTE Zielfunktion: Bedingung: Lösung:

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