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Avec 3 nombres…

Avec 3 nombres…. … ou plus ?. Le problème. Le problème suivant a été posé par Xavier Buff, chercheur à l’université Paul Sabatier : « Peut-on choisir 3 nombres tels que, pris séparément ou additionnés les uns aux autres, on ne tombe pas sur 3 ou un de ses multiples ? ». Sommaire.

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Avec 3 nombres…

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Presentation Transcript

  1. Avec 3 nombres… … ou plus ?

  2. Le problème Le problème suivant a été posé par Xavier Buff, chercheur à l’université Paul Sabatier : « Peut-on choisir 3 nombres tels que, pris séparément ou additionnés les uns aux autres, on ne tombe pas sur 3 ou un de ses multiples ? »

  3. Sommaire • Premiers essais • Recherche par la multiplication • Recherche par l’addition • Conclusion

  4. Premiers essais

  5. Premiers essais -> 7 + 1= 8 > OK 7 + 5 = 12 > NON ! 715 1017 -> 10 + 1 = 11 > OK -> 10 + 7 = 17 > OK -> 1 + 7 = 8 > OK Mais 10 + 1 + 7 = 18 !!! -> 8 + 8 + 1 = 17 > OK Mais 8 + 1 = 9 !! 881

  6. La multiplication

  7. La multiplication • Pour 2 nombres Le problème a évolué en « Peut-on trouver deux nombres entiers dont le produit n’est pas divisible par 2 ? »

  8. La multiplication Règles : 0 . On ne peut jamais choisir 0 comme nombre. 1. Le produit de deux nombres pairs est pair 2. Le produit d’un nombre impair par un nombre pair est pair. 3. Le produit de deux nombres impairs est impair.

  9. La multiplication Preuve de la règle n°3 : (Le produit de deux nombres impairs est impair). • Un nombre impair peut toujours s’écrire comme un nombre pair + 1 Exemple : 17 = 16 (pair ) + 1

  10. La multiplication • Impair x impair = (pair +1 ) x impair = pair x impair + 1 ximpair = pair (règle 2) + impair = impair Exemple : 5 x 7 = (4+1) x 7 = 4 x 7 + 1 x 7 = 28 + 7 = 35

  11. La multiplication Conclusion On peut choisir deux nombres entiers impairs dont le produit ne serait pas divisible par 2

  12. La multiplication Et pour 3 nombres ? • Deux pistes de recherche : * soit 3 nombres consécutifs non multiples de 3 * soit deux identiques et le troisième obtenu en ajoutant 3 au précédent. Exemples : 4 5 6 7 8 8 11

  13. La multiplication Règle : Si on multiplie 2 nombres qui ne sont pas multiples de 3 leur produit ne sera pas un multiple de 3. • Exemple : 4 - 5 -7 Produits possibles : 4 x 5 = 20 4 x 7 = 28 5 x 7 = 35 (4 x 5)x 7 = 140 20, 28, 35, 140 ne sont pas des multiples de 3.

  14. La multiplication Conclusion : on peut choisir 3 nombres de telle sorte que leur produit ne soit pas un multiple de 3

  15. L’additionretour au problème initial …

  16. L’addition • Pour 2 nombres • Peut-on choisir deux nombres tels que pris séparément ou additionnés on ne retombe pas sur un multiple de 2 ? Choix ? • On ne peut pas choisir un nombre pair • Seule possibilité : prendre deux nombres impairs

  17. L’addition Mais : Impair + impair = (pair +1) + (pair +1 ) = pair + pair + 1 + 1 = pair + pair + 2 = pair

  18. L’addition • Conclusion : On ne peut pas choisir deux nombres entiers tels que pris séparément ou additionnés, on ne retombe pas sur un nombre divisible par 2.

  19. L’addition Pour 3 nombres : ? ? ? Rappel : On cherche donc à trouver trois nombres tels que pris séparément ou additionnés entre eux, ne donnent pas un nombre ou une somme divisible par 3.

  20. L’addition Comment choisir ces trois nombres ? • On ne peut pas prendre de multiple de 3. • Reste les autres nombres non multiples de 3

  21. L’addition On appelle : • 1.« nombre de troisième position » tous les multiples de 3 • 2.« nombre de première position » tous les nombres qui s’obtiennent en ajoutant 1 à un nombre de troisième position. • 3. « nombre de deuxième position » , tous les nombres qui s’obtiennent en ajoutant 2 à un nombre de troisième position Principe de position : 0 ---> 3ème position 1 ---> 1ère position 2 ---> 2ème position 3 ---> 3ème position 4 ---> 1ère position 5 ---> 2ème position 6 …… 7 ……. 8 …… 9 …… 10 ….. 11 ---> 2ème position 12 …. 13 ---> 1ère position

  22. L’addition Règles : 1. Nbre 1re position + nbre 1ère position = nbre 2ème position 2. Nbre 1ère positon + nbre 2ème position = nbre 3ème position 3. Nbre 2ème position + nbre 2ème position = nbre 1ère position

  23. L’addition Preuve de la règle n°3: (Nbre 2ème position + nbre 2ème position = nbre 1ère position) On décompose les nombres comme pour les règles pair-impair : Exemple : nbre 2ère position = nbre 3ème position +2 5 = 3 + 2 14 = 12 + 2 Donc nbre 2ème position + nbre 2ième position = nbre 3ème position + 2+ nbre 3ème + 2 = nbre 3ème position + 4 = nbre 3ème position + 3 + 1 = nbre 3ème position + 1 = nbre 1ère position Pour bien comprendre :5 +14= 19= 18 + 1

  24. L’addition Retour au choix des trois nombres … • pas de multiple de 3 • pas de nombre de 1ère position avec un nbre de2èmeposition ( règle 2 : on aurait un nbre de 3ème position..) En résumé : Possibilité 1 : Nbre1ère position ; Nbre 1ère position ; Nbre 1ère position • Pas possible car l’addition des 3 donne un nombre de 3ème position ! Possibilité 2 : Nbre 2ème position ; Nbre 2ème position ; Nbre 2ème position -> pas possible : car 2ème + 2ème = 1ère et 1ère + 2ème = 3ème

  25. L’addition • Pour 2 nombres • Pour 3 nombres • Pour 4 nombres… (les titres sont décidément très variés) • ...Et plus ?

  26. L’addition Le principe de position des nombres est le même, sauf que cette fois, les nombres de 1ère position sont ceux qui succèdent aux nombres de 4ème position …( nombre 4ème position = multiple de 4) On a établi les règles : • Nbre 1ère position + nbre 1ère position = nbre 2ème position • Nbre 1ère position + nbre 2ème position = nbre 3ème position • Nbre 1ère position + nbre 3ème position = nbre 4ème position • Nbre 2ème position + nbre 2ème position = nbre 4ème position • Nbre 2ème position + nbre 3ème position = nbre 1ère position • Nbre 3ème position + nbre 3ème position = nbre 2ème position.

  27. L’addition 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 10 Exemple : -> on enlève tous les multiples de 4 -> on choisit un nombre de 1ère position 5 -> on ne peut pas choisir un nombre de 3ème position -> on choisit un nombre de 2ème position -> on ne peut plus prendre de nombre en 2ème position -> il ne reste plus que les nombres de 1ère position -> Mais … Nbre 1ère pos. + Nbre 2ème pos. + Nbre 1ère pos. = nbre 4éme pos.

  28. L’addition On a étudié tous les choix possibles … et conclu qu’on ne pouvait pas choisir 4 nombres répondant au problème. Puis pareil avec 5 nombres.

  29. Conclusion pour l’addition La recherche pour 6 nombres s’est avérée plus difficile à organiser, mais le principe des « nombres de 1ère, 2ème, 3ème , … position » marche aussi. On suppose que le problème posé n’a pas de solution, on est capable de le prouver jusqu'à 5 nombres mais on n’a pas su trouver une preuve générale.

  30. Vous ont présenté cet exposé : Mattéo Miellet Damien Kermel Elodie Mansalier David Cassin Benjamin Guyot Aubry Desmartin Claire Pouey Ont aidé à la préparation mais n’ont malheureusement pas pu venir : Florette Martinez Manon Delhom Julien Esnay

  31. Merci d’avoir suivi notre exposé Au revoir !

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