Matemáticas Discretas

1. Matemáticas Discretas (Mini) Cursos Propedéuticos 2012 Ciencias Computacionales INAOE Dr. Hugo Jair Escalante hugojair@inaoep.mx http://ccc.inaoep.mx/~hugojair Oficina 8319 Este material se basa en versionesprevias del mismopor: Dr. Enrique Muñoz de Cote Dr. Enrique Sucar Dr. Luis Villaseñor

2. SÉPTIMA PARTE • Series • Notación • Series y recurrencias • Manipulación de series • Series múltiples

3. Series • Una serie o secuencia o sucesión es una lista donde se toma en cuenta el orden. • Cada elemento en la serie tiene un número índice asociado • Puede ser infinita • Una sumatoria es una notación compacta para la suma de todos los términos en una serie posiblemente infinita

4. Series • Se denota por s ó {sn}, y por sn identificamos al n-ésimo elemento de la serie • Una secuencia o serie {an} se identifica con una función generatriz f :S  A de algún subconjunto SN y para algún conjunto A. • Si f es una función generatriz de una serie {an}, entonces para n  S,el símbolo andenota f(n), también llamado término n de la serie. • El índice de an es n (comúnmente se intercambia por i)

5. Series • Una serie se denota comúnmente por una lista de sus primeros y/o últimos elementos. • Ejemplo • “{an} = 0, 1, 4, 9, 16, 25, …” es equivalente a nN,an = n2.

6. Ejemplos de secuencias o series • Un ejemplo de una serie infinita: • Considere la serie {an} = a1, a2, … donde (n1) an= f(n) = 1/n • Equivalentemente: {an} = 1, 1/2, 1/3, … • Una serie puede contener instancias repetidas de un elemento • Considere la secuencia {bn}= b0, b1, … (notar que 0 es un índice) donde bn = (1)n. • {bn}denota una secuencia infinita de 1’s y 1’s, no el conjunto con 2 elementos {1, 1}.

7. Inferencia de secuencias • Algunas veces sólo se proporcionan los primeros términos de una secuencia • Encontrar cuál es la función generatriz, ó • Procedimiento para enumerar la secuencia • ¿Cuál es el siguiente elemento de la secuencia? • 1, 2, 3, 4, ... • 1, 3, 5, 7, 9, … • 2, 3, 5, 7, 11, …

8. Cadenas • Sea  un conjunto finito de símbolos, i.e.un alfabeto • Una cadena sobre el alfabeto  es cualquier secuencia {si} de símbolos, si, normalmente indexados por N. • Si a, b, c, … son símbolos, la cadena s = a, b, c, … puede escribirse como abc… • Si s es una cadena finita y t es cualquier otra cadena, entonces la concatenacióndes con t, se denota como st

9. Cadenas • La longitud |s| de una cadena finita s es el número de posiciones (i.e., el número de valores del índice i). • Si s es una cadena finita y nN, • Entonces sn denota la concatenación de ncopias de s. • Ejemplos • s = abc | s | = 3 • t = de | t | = 2 • st = abcdets = deabc • s2t3 = abcabcdedede

10. Notación sumatorias Dada una serie{an}, una cota inferior entera(o límite)j0, y una cota superior enterakj, entonces la sumatoria de{an}de j a k se define y denota por: i se denomina índice de la sumatoria

11. Sumatorias generalizadas • Para una serie infinita, se puede denotar: • Para sumar una función sobre todos los miembros de un conjunto X={x1, x2, …}: • Si X={x|P(x)}, se puede escribir

12. Sumatoria finita Ejemplo: sumatoria

13. Ejemplos: sumatoria Una serie infinita con un resultado finito Uso de predicados para definir un conjunto de elementos sobre una sumatoria

14. Operaciones de sumatorias Algunas identidades útiles:

15. Operaciones de sumatorias Otras identidades útiles:

16. Sumatorias múltiples • Ejemplo: • Note la independencia de los límites de sumatoria

17. n+1 … n+1 n+1 Ejemplo • Evalué la sumatoria: • 1+2+… +(n/2)+((n/2)+1)+ …+(n-1) +n • Hay n/2 pares de elementos que suman n+1

18. n+1 … n+1 n+1 Ejemplo • Evalué la sumatoria: • 1+2+… +(n/2)+((n/2)+1)+ …+(n-1) +n • Hay n/2 pares de elementos que suman n+1

19. Progresión geométrica • Una progresión geométrica es una serie de la forma a, ar, ar2, ar3, …, ark, donde a, r  R • Por ejemplo, 5,15,45,135… es una progresión geométrica con razón r=3, ya que: 5 × 3 = 15 5 × 32 = 45 5 × 33= 135y así sucesivamente.

20. Progresión geométrica Sea: s = a+ar+ar2+...+arn-1 Al multiplicar por r sr =ar+ar2+ar3+...+arn Entonces s – sr = s(1-r) = a – arn Por lo tanto:

21. Progresión geométrica De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. 

22. Progresión geometrica: cuando n tiende a infinito Cuando n tiende a infinto, el valor absoluto de r tiene que ser < 1 para que la serie no diverga Para r < 1, la suma queda:

23. Convergencia para r < 1Demostración Sea: s = 1 + r + r2 + … Al multiplicar por r sr =r+r2+r3+... Entonces s – sr = s(1-r) = 1 Por lo tanto: Y

24. Expresiones útiles