Oleh : Watik Purnomo S A 410 080 083

RELASI DAN FUNGSI Oleh : Watik Purnomo S A 410 080 083

^ Relasi & Fungsi ^ Materi : Pendahuluan : RELASI (pengertian) Menyatakan Relasi FUNGSI (pengertian) Notasi fungsi Banyak pemetaan 2 himp. Merumuskan Fungsi Standar kompetensi Kompetensi dasar Indikator

STANDAR KOMPETENSI MEMAHAMI BENTUK ALJABAR, RELASI, FUNGSI DAN PERSAMAAN GARIS LURUS

KompetensiDasar Memahami Fungsi & Relasi

INDIKATOR Menjelaskandengankata-katadanmenyatakanmasalahsehari-hari yang berkaitandenganrelasidanfungsi Menyatakansuatufungsidengannotasi

A. RELASI Diketahui A={ Ayu, Bayu, Cindy, Doni } dan B = { Bukutulis, Pensil, Penggaris} . Jikahimpunan A kehimpunan B dinyatakanrelasi “ membeli “ , makalebihjelasnyadapatditunjukkanpadagambardibawah :

membeli B A Diagram disamping dinamakan diagram panah . Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah “ membeli“ A . B . C . D . .1 .2 .3

PengertianRelasi: Relasi ( hubungan ) darihimpunan A ke B adalahpemasangananggota-anggota A dengananggota-anggota B. Relasidalammatematikamisalnya : lebihdari , kurangdari , setengahdari , faktordari , dansebagainya .

Menyatakan Relasi Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan .

Contoh : Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka basket dan sepakbola . Buatlah Diagram Panah keadaan tersebut apabila A adalah himpunan anak dan B adalah himpunan olahraga .

Suka akan A B Anto . Andi . Budi . Badri . . Voli . Basket . Bulutangkis . Sepakbola

2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram panah yang menyatakanrelasidari P dan Q denganhubungan : a. Setengahdari b. FaktordariJawab : a. Setengah dari P Q 1 1 . 2 . 3 . 4 . . 2 . 4 . 6 . 8

b. Faktor dari P Q • . • . • . • . • . 2 • . 4 • . 6 • . 8

b. Diagram Cartesius Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 1, 2, 3, …, 10 }. Gambarlah diagram cartesius yang menyatakanrelasi A ke B dengan hubungan : a. Satulebihnyadari b. Akarkuadratdari

10 9 8 7 6 Himpunan B 5 4 3 2 1 0 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 Jawab : a . Satu lebihnya dari Himpunan A

10 9 8 7 6 Himpunan B 5 4 3 2 1 0 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 Himpunan A Jawab : b. Akar kuadrat dari

C. Himpunanpasanganberurutan Contoh : Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan B = { 1, 2, 3, … , 10 } . Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : a. kuadrat dari b. dua kali dari c. Satu kurangnya dari

Jawab : a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7),(16,8), (18,9),(20,10) }c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10) }

B. FUNGSI Pengertian Fungsi Sebuah fungsi f : x  y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut . Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh berikut :

Contoh : Perhatikan diagram panahdibawahini : B A . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 0 . 2 . 4 . 6 . Daerah hasil/ Range Daerah asal/ Domain Daerah kawan/ kodomain

Dari diagram panahdiatasdapatdilihatbahwa : 1. Fungsi A ke B adalahrelasikhusus yang memasangkansetiapanggota A dengan tepatsatuanggota B. 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebutdaerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } disebutdaerahkawan ( Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebutdaerahhasil ( Range ).

NotasiFungsi Fungsi/ pemetaandapatdinotasikan denganhurufkecil f , g , h , dan sebagainya. Misal : f : x y dibaca f memetakkan x ke y , maka : y = f(x) dibacasamadengan f dari x digunakanuntukmenunjukkanbahwa y adalahfungsidari x .

Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan . Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a  1 , i  2 , u 1 , e  4 , o  2 . b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c . Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan .

Jawab : a . Diagram panah A B a . i . u . e . o . . 1 . 2 . 3 . 4

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 u a i e o b. Diagram cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan { (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }

Banyaknya pemetaan dari dua himpunan Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan A ke B adalah ba dan himpunan B ke A adalah ab Contoh : Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut : a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1} b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b }

c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1} d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c } e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b} f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3} g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N = {1,2,3,4,5} Jawab : a. n(A) = 1 , n(B) = 1 Banyak pemetaan 11 = 1 b. n(C) = 1 , n(D) = 2 Banyak pemetaan 21 = 2

c. n(E) = 2 , n(F) = 1 Banyak pemetaan 12 = 1 d. n(G) = 1 , n(H) = 3 Banyak pemetaan 31 = 3 e. n(I) = 2 , n(J) = 2 Banyak pemetaan 22 = 4 f. n(K) = 5 , n(L) = 3 Banyak pemetaan 35 = 243 g. n(M) = 4 , n(N) = 5 Banyak pemetaan 54 = 625

Merumuskan suatu fungsi f : x y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x) . Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y . Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x  x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x <6, x  A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !

Jawab : a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2  f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3  f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4  f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5  f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai x = 13

Uji Kompetensi 4 • Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } • Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka : • a. Himpunan pasangan berurutan : • { ( 2,0), (3,…), (…,2), (…,…) } • b. Diagram Panah

Pembahasan 1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3,1), (4,2), (5,3) } b. Diagram Panah Dua lebihnya dari A B 2 . 3 . 4 . 5 . .0 . 1 . 2 . 3

2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan diagram panah. Kemudian tentukan termasuk fungsi atau bukan fungsi ! a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } b. { (1,1), (2,2), (3,3) } c. { (3,4), (5,6), (7,8) } d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

Pembahasan a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } bukan fungsi karena ada anggota x yang berpasangan lebih dari satu dengan anggota y . x y Bukan fungsi . 2 . 3 . 4 . 5 1 . 2 . 3 .

b. { (1,1), (2,2), (3,3) } A B . 1 . 2 . 3 1 . 2 . 3 . Fungsi

P Q . 4 . 6 . 8 3 . 5 . 7 . Fungsi c. { (3,4), (5,6), (7,8) }

d. { (2,3), (3,4), (4,5) } K L 2 . 3 . 4 . . 3 . 4 . 5 Fungsi

3 . Fungsi f : x  x + 3 mempunyai domain { -2, -1, 0, 1, 2 } . Tunjukkanfungsi f dalam diagram panah . Nyatakandalamhimpunanpasanganberurutan . Tulis range dari f .

Pembahasan a. Fungsi f : x  x + 3 , jadi f(x) = x + 3 Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1 x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2 x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3 x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4 x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5 x x+3 -2 . -1 . 0 . 1 . 2 . . 1 . 2 . 3 . 4 . 5

b. Himpunan pasangan berurutan { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) } c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 ) 4. Suatu persamaan fungsi f(x) = ½ x + 1 dengan daerah asal { 2, 4, 6, 8, 10 } . Tentukan : a. Daerah hasil / bayangan . b. Himpunan pasangan berurutan .

Pembahasan: a. f(x) = ½ x + 1 f(2) = ½ . 2 + 1 = 1 + 1 = 2 f(4) = ½ . 4 + 1 = 2 + 1 = 3 f(6) = ½ . 6 + 1 = 3 + 1 = 4 f(8) = ½ . 8 + 1 = 4 + 1 = 5 f(10) = ½ . 10 + 1 = 5 + 1 = 6 Jadi Range / daerah hasil / daerah bayangan = { 2, 3, 4, 5, 6 } b. Himpunan pasangan berurutan { (2,2), (4,3), (6,4), (8,5), (10,6) }

Selamat Belajar

Oleh : Watik Purnomo S A 410 080 083