Salvatore Ventre DAEIMI, Università degli Studi di Cassino Associaz.EURATOM/ENEA/CREATE

1. Modelli elettromagnetici veloci e paralleli per analisi di instabilità MHD in dispositivi fusionistici Salvatore Ventre DAEIMI, Università degli Studi di Cassino Associaz.EURATOM/ENEA/CREATE con il contributo di Y. Liu, M. Furno Palumbo, R. Palmaccio, G. Rubinacci, F. Villone

2. Sommario • Introduzione • Il codice CarMa • Metodo Veloce/Parallelo • Risultati • Conclusioni e prospettive

3. Introduzione Instabilità nei dispositivi fusionistici • Plasmi fusionistici descritti da equazioni MHD • Modi instabili di plasma con costanti di tempo  microsecondi • Le correnti indotte sulle strutture passive dalle perturbazioni di plasma hanno un effetto stabilizzante • A causa della resistività finita, le eddy currents decadono  modo ancora instabile ma con costanti di tempo  millisecondi: Resistive Wall Modes (RWM) • E’ possibile controllo attivo per stabilizzare il modo • E’ necessaria un’analisi dettagliata della struttura conduttrice 3D con solutori nel limite magneto-quasi-statico  richiesta una grossa capacità computazionale

4. Il codice CarMa plasma S Resistive wall Approccio modellistico • Si introduce una superficie S: • all’interno di S equazioni MHD • su S appropriate condizioni di raccordo • fuori di S modello delle Eddy Currents: • Formulazione integrale in cui la densità di corrente J è l’incognita • Si sposa con la geometria tipica dei dispositivi fusionistici con alti rapporti vuoto/pieno (solo i conduttori devono essere discretizzati) • Conduttori 3D di forma arbitraria (e.g. no thin-shell approximation) • Trattamento automatico di geometrie con topologia complessa • Possibile anisotropia resistiva • Inclusione nel modello degli elettrodi di alimentazione

5. Il codice CarMa Formulazione numerica Termine dovuto al plasma Tensioni di alimentazione J=T

6. Il codice CarMa Procedura iterativa per la determinazione di autovalori e autovettori instabili Sistema nella forma stato-vettore Risolto usando metodo iterativo 0, : valori di tentativo

7. Il codice CarMa Il “bottleneck” computazionale Assemblare,Immagazzinare,Risolvere un sistema (reale o complesso) denso (# Unknows ~ 200k ) METODO ITERATIVO Risolvere efficacemente Valutare efficacemente il prodotto PRESTAZIONI DIPENDONO DA • tempo per costruire ogni termine di A • memoria necessaria a immagazzinare ogni termine di A • tempo necessario per fare il prodotto di ogni termine di A

8. Il codice CarMa Impatto numerico dei singolo termini

9. Metodo Veloce Il problema non è scalabile efficacemente solo utilizzando il parallelo Memoria O(N2) Inversione (metodo diretto) Matrice piena O(N3) Inversione (metodo iterativo precondizionato) O(N2) Ts(N)=O(N2) Tempo seriale di inversione Tempo parallelo di inversione Usando p processori (ideale) Tp(N)=O(N2/p) Ts(Ns)= Tp(Np)

10. Metodo Veloce Termine L SPARSIFICAZIONE(compressione) IMPROVEMENTS new PARALLELO OBIETTIVO Integrare in maniera efficiente metodo di compressione in una implementazione parallela Fattori determinanti le prestazioni • Assembly balancing: assemblareiltermine in manierada • equilibrarei tempi di calcolotraprocessori • Memory balancing: la memoria locale necessaria per contenere il termine deve essere equidistribuita tra i processori • Computation balancing: il tempo di calcolo per costruireilprodotto locale • deveessereequilibratotraprocessori

11. Metodo Veloce Sparsificazione di L (con complessità quasi lineare) • Introduzione di una griglia multilivello che include tutta mesh • Decomposizione in parte vicina e lontana • Calcolo e compressione della parte lontana, ottenuta secondo una tolleranza assegnata (precisione) • Calcolo esatto della parte vicina

12. Metodo Veloce Introduzione Griglia Multilivello

13. Metodo Veloce . Decomposizione in parte vicina e lontana Calcolata senza errori Matrice di interazione locale tra due box lontane ib1 e ib2 Basso rango # totale di interazioni lontane approssimata

14. Metodo Veloce Compressione QR approssimata della matrice di interazione Siano me and m (ne and n) rispettivamente il numero degli elementi e delle incognite in ib1 (in ib2). r×n m×n m×r ≈ Q R r rango che dipende dalla errore richiesto (Modified Gram-Schmidt QR) (m+n) × r << m×n. EFFICIENTE Si osservi che Memory Required e ComputationTime sono uguali a (m+n) × r

15. Metodo Veloce Implementazione Parallela di LFAR Costo assemblaggio della matrice di interazione locale Costo Totale assemblaggio Distribuire il carico di in maniera equilibrata su p processori Assembly balancing

16. Metodo Veloce Algoritmo di distribuzione dei carichi Problema con complessità esponenziale risolto usando algoritmo sub-ottimo Costo di assemblaggio del k-simo processore In uscita Int2proc(i) fornisce il processore a cui compete l’interazione i Prestazioni dell’algoritmo sub-ottimo

17. Metodo Veloce Memory /Computation balancing di Lfar Sono automaticamente verificati se la dimensione del problema è sufficientemente grande (problemi di interesse per il parallelo) Non c’è bisogno di ulteriori comunicazioni Memory/Computation balancing ottenuti automaticamente

18. Metodo Veloce • Metodo iterativo: standard gmres Dettagli Implementativi • Precondizionatore In cui per si intende valutato sulla sparsità di Come precondizionatore usiamo MUMPS (http://mumps.enseeiht.fr) (free parallel solver for large sparse matrix) MUMPS supporta l’assemblaggio parallelo • Non sono necessarie ulteriori • riallocazioni • comunicazioni • codice è in standard fortran 90 • libreria parallela è MPI (http://www.open-mpi.org/) • Macchina target Altix System (http://www.bsc.es/index.php) (Shared Memory Machine) • In futuro il codice girerà anche su SCOPE (http://www.scope.unina.it/default.aspx) (Grid Computing )

19. Risultati Studio dei RWM in ITER 1/2 # Nodi 329276 # Elementi 173304 # Incognite 206401 Occupazione necessaria per allocare la matrice completa 298GB La mesh usata copre 360° in direzione toroidale! (Metodo fast/parallel) Occupazione reale 25GB distribuita in maniera uniforme tra 32 processori (circa 780 MB per ogni processore)

20. Risultati Studio dei RWM in ITER 2/2 Distribuzione di corrente associata al modo instabile includendo i blanket modules (schermi neutronici) Studiati numerosi equilibri di plasma con diverse assunzioni sul livello di dettaglio delle strutture conduttrici

21. Conclusioni e prospettive • Utilizzando il metodo veloce e la sua parallelizzazione è possibile studiare strutture di interesse fusionistico la cui una complessità computazione non è altrimenti affrontabile dai codici attualmente disponibili: • dettagliata descrizione della geometria • inclusione di loop di controllo • riproduzione di risultati sperimentali • Attività futura: estensione del metodo (sparsificazione + parallelizzazione) ad altri problemi elettromagnetici descritti da una simile formulazione integrale (e.g. materiali magnetici)

22. Grazie per l’attenzione ……